Karamö, le prof virtuelLeçon 30 sur 47
L'appareil à déviation magnétique
Je sais décrire la trajectoire d'un faisceau d'électrons dans un appareil à déviation magnétique et calculer sa déviation angulaire et la déflexion sur l'écran.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire le dispositif (canon à électrons, zone de champ, écran)
- Calculer l'angle de déviation à la sortie du champ
- Établir l'expression de la déflexion magnétique sur l'écran dans l'approximation des petits angles
- Comparer la déviation magnétique et la déviation électrique
Avant de commencer : Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme (R = mv / (|q|B)) ; l'accélération d'une particule sous une tension U ; le champ créé par une bobine (B proportionnel à I) ; la trigonométrie.
1Je découvre
Dans son atelier de Kindia, Ousmane répare encore de vieux téléviseurs « à gros dos ». Il montre à son neveu Mamadou le long tube de verre caché derrière l'écran : « Au fond, il y a un canon qui envoie des électrons. Autour du col, tu vois ces bobines de cuivre ? Ce sont elles qui promènent le faisceau sur tout l'écran, ligne après ligne, pour dessiner l'image. »
Mamadou, en Terminale SM, fait le lien avec son cours : un champ magnétique fait tourner les électrons sur un cercle. Mais ici, le faisceau ne tourne pas en rond : il est juste un peu dévié, puis il file tout droit vers l'écran. Il se demande de combien le point lumineux se déplace quand on change le courant dans les bobines.
Comment un champ magnétique limité à une petite zone dévie-t-il un faisceau d'électrons, et comment calculer la position du point d'impact sur l'écran ?
2Je comprends
1. Le dispositif
Un appareil à déviation magnétique comprend trois parties, dans une enceinte où l'on a fait le vide :
- 1Canon à électrons : une cathode chauffée émet des électrons, accélérés par une tension U ; ils sortent en O avec la vitesse v0 = √(2eU/m).
- 2Zone de champ : sur une largeur ℓ, des bobines créent un champ B uniforme perpendiculaire à v0 ; l'électron y décrit un arc de cercle de rayon R.
- 3Zone sans champ : à la sortie S, l'électron n'est soumis à aucune force et se déplace en ligne droite.
- 4Écran fluorescent : l'électron le frappe au point P ; la distance O'P est la déflexion Y.
On appelle O' le point de l'écran qu'atteindrait l'électron sans champ (spot non dévié), et D la distance entre le milieu de la zone de champ et l'écran.
2. Dans la zone de champ : un arc de cercle
Dans la zone de largeur ell, l'électron subit la seule force de Lorentz (poids négligeable). D'après la leçon précédente, il décrit un arc de cercle à vitesse constante v0, de rayon :
R = m v0e B
Le centre C du cercle se trouve sur la perpendiculaire à v0 passant par O, du côté où la force est dirigée.
3. L'angle de déviation
À la sortie S de la zone de champ, la vitesse a tourné d'un angle α, appelé déviation angulaire. Comme le rayon CS est perpendiculaire à la vitesse en S, on lit dans le triangle rectangle formé par C, O et la projection de S :
sinα = ellR = e B ellm v0
Cette relation n'a de sens que si ell < R (sinon l'électron fait demi-tour dans le champ et ne sort pas du côté de l'écran).
4. La déflexion sur l'écran
Après S, la trajectoire est une droite qui fait l'angle α avec la direction initiale. Dans les appareils réels, l'angle α est petit (quelques degrés). On fait alors deux approximations :
- tanα ≈ sinα ≈ α (en radians) ;
- la droite de sortie semble provenir du milieu de la zone de champ.
La déflexion vaut donc Y ≈ Dtanα ≈ D ellR, soit :
Y = e B ell Dm v0
Conséquences :
- Y est proportionnelle à B. Or B est proportionnel à l'intensité I dans les bobines : la déflexion est proportionnelle au courant. En faisant varier I, on promène le spot sur l'écran ; c'est le principe du balayage des téléviseurs et des écrans à tube cathodique.
- Y est inversement proportionnelle à v0, donc à √U : des électrons plus rapides sont moins déviés.
Exemple
Des électrons accélérés sous U = 2 000 V entrent dans un champ B = 1 × 10⁻³ T qui règne sur ℓ = 2 cm. L'écran est à D = 30 cm du milieu de la zone de champ. On donne e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C et m = 9,1 × 10⁻³¹ kg.
Vitesse : v0 = √(2eU/m) = √(2 × 1,6 × 10⁻¹⁹ × 2 000 / 9,1 × 10⁻³¹) ≈ 2,65 × 10⁷ m/s.
Rayon : R = m v0 / (eB) = 9,1 × 10⁻³¹ × 2,65 × 10⁷ / (1,6 × 10⁻¹⁹ × 10⁻³) ≈ 0,151 m.
Déviation angulaire : sin α = ℓ / R = 0,02 / 0,151 ≈ 0,133, donc α ≈ 7,6°.
Déflexion : Y ≈ D ℓ / R = 0,30 × 0,02 / 0,151 ≈ 0,040 m, soit environ 4 cm.
(Un calcul sans approximation donne 4,01 cm : l'approximation est excellente.)
Exemple
Avec le même appareil, quel champ faut-il pour obtenir une déflexion de 5 cm ?
Y = e B ℓ D / (m v0), donc B = Y m v0 / (e ℓ D).
B = 0,05 × 9,1 × 10⁻³¹ × 2,65 × 10⁷ / (1,6 × 10⁻¹⁹ × 0,02 × 0,30) ≈ 1,26 × 10⁻³ T.
Vérification par proportionnalité : 1 × 10⁻³ T donne 4 cm, donc 5 cm demandent 10⁻³ × 5/4 = 1,25 × 10⁻³ T. Cohérent.
5. Déviation magnétique et déviation électrique
On peut aussi dévier un faisceau entre deux plaques soumises à une tension (déviation électrique, étudiée plus tôt). Comparons :
| Déviation électrique | Déviation magnétique | |
|---|---|---|
| Force | F = qE, constante | F = qv wedge B, toujours perpendiculaire à v |
| Trajectoire dans le champ | arc de parabole | arc de cercle |
| Valeur de la vitesse | augmente | reste constante |
| Déflexion proportionnelle à | la tension entre les plaques | l'intensité dans les bobines |
| Dépendance en v0 | 1v02 | 1v0 |
Pour les faisceaux très rapides, la déviation magnétique est plus efficace, car elle ne diminue qu'en 1v0. C'est pourquoi les grands tubes de télévision utilisaient des bobines, tandis que les oscilloscopes, qui doivent réagir très vite, utilisaient des plaques.
Méthode
Pour traiter un appareil à déviation magnétique :
- Je calcule la vitesse d'entrée : v0 = √(2eU/m).
- Je calcule le rayon du cercle : R = m v0 / (eB), et je vérifie que ℓ < R.
- J'obtiens la déviation angulaire : sin α = ℓ / R.
- Si α est petit, j'écris Y ≈ D tan α ≈ D ℓ / R = e B ℓ D / (m v0), avec D mesurée depuis le milieu de la zone de champ.
- J'interprète : Y proportionnelle à B, donc au courant I des bobines.
En plus pour SM : sans l'approximation des petits angles, on calcule la déflexion à la sortie du champ, yS = R(1 - cosα), puis on ajoute la partie rectiligne : Y = R(1 - cosα) + L'tanα, où L' est la distance de la sortie du champ à l'écran.
3Je retiens
Je retiens
Dans la zone de champ (largeur ℓ), l'électron décrit un arc de cercle de rayon R = m v0 / (eB) à vitesse constante.
À la sortie : déviation angulaire sin α = ℓ / R = eBℓ / (m v0) (il faut ℓ < R).
Hors du champ : mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'écran.
Petits angles : Y = D ℓ / R = e B ℓ D / (m v0), D mesurée du milieu de la zone de champ à l'écran.
La déflexion est proportionnelle à B, donc à l'intensité dans les bobines : principe du balayage des tubes cathodiques.
Déviation électrique : parabole, Y en 1/v0² ; déviation magnétique : cercle, Y en 1/v0.
4Erreurs fréquentes
- Écrire que la trajectoire dans le champ magnétique est une parabole : c'est un arc de cercle (la parabole, c'est pour le champ électrique uniforme).
- Mesurer D depuis l'entrée du champ au lieu du milieu de la zone de champ dans la formule approchée.
- Utiliser sin α = R / ℓ : le sinus est toujours inférieur à 1, donc c'est ℓ / R.
- Oublier de mettre l'angle en radians quand on écrit tan α ≈ α.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Cite les trois zones d'un appareil à déviation magnétique et donne la nature du mouvement de l'électron dans chacune.
Voir le corrigéCacher le corrigé
- Le canon à électrons : les électrons sont accélérés (mouvement rectiligne accéléré). 2) La zone de champ magnétique : mouvement circulaire uniforme (arc de cercle). 3) La zone sans champ jusqu'à l'écran : mouvement rectiligne uniforme.
2Exercice 2
Des électrons accélérés sous U = 1 000 V traversent un champ B = 5 × 10-4 T sur une largeur ell = 3 cm.
a) Calcule v0 et R.
b) Calcule la déviation angulaire α.
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a) v0 = √2eUm = √2 × 1,6 × 10-19 × 1 0009,1 × 10-31 ≈ 1,88 × 107 m/s.
R = m v0eB = 9,1 × 10-31 × 1,88 × 1071,6 × 10-19 × 5 × 10-4 ≈ 0,213 m.
b) sinα = ellR = 0,030,213 ≈ 0,141, donc α ≈ 8,1°.
3Exercice 3
Dans l'appareil de l'exercice 2, l'écran est à D = 25 cm du milieu de la zone de champ. Calcule la déflexion Y (approximation des petits angles).
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Y ≈ DellR = 0,25 × 0,030,213 ≈ 0,035 m, soit environ 3,5 cm.
4Exercice 4
Les bobines de déviation créent un champ proportionnel au courant : B = kI avec k = 2 × 10-3 T/A. Pour I = 0,5 A, la déflexion vaut 4 cm.
a) Quelle est la déflexion pour I = 0,8 A ?
b) Que se passe-t-il si l'on inverse le sens du courant dans les bobines ?
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a) Y est proportionnelle à B, donc à I : Y' = 4 × 0,80,5 = 6,4 cm.
b) Le champ change de sens, donc la force de Lorentz aussi : le spot est dévié de la même distance, mais de l'autre côté de O'.
5Exercice 5
(Type BAC) Des électrons, émis sans vitesse, sont accélérés sous U = 1 500 V. Ils pénètrent en O dans une zone de largeur ell = 4 cm où règne un champ uniforme B = 8 × 10-4 T perpendiculaire à leur vitesse. L'écran est à D = 20 cm du milieu de la zone de champ. On donne e = 1,6 × 10-19 C, m = 9,1 × 10-31 kg.
a) Calcule v0.
b) Montre que dans le champ le mouvement est circulaire uniforme ; calcule R.
c) Calcule l'angle de déviation α.
d) Calcule la déflexion Y avec la formule approchée. Un calcul exact donne 5,05 cm ; commente.
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a) v0 = √2 × 1,6 × 10-19 × 1 5009,1 × 10-31 ≈ 2,30 × 107 m/s.
b) L'électron n'est soumis qu'à F = -ev wedge B (poids négligeable). F ⊥ v : puissance nulle, v constante. Deuxième loi de Newton : an = v02R = e v0 Bm, R constant : mouvement circulaire uniforme.
R = m v0eB = 9,1 × 10-31 × 2,30 × 1071,6 × 10-19 × 8 × 10-4 ≈ 0,163 m.
c) sinα = 0,040,163 ≈ 0,245, donc α ≈ 14,2°.
d) Y ≈ DellR = 0,20 × 0,040,163 ≈ 0,049 m, soit 4,9 cm. L'écart avec le calcul exact (5,05 cm) est d'environ 3 % : l'angle (14°) n'est plus vraiment « petit », l'approximation commence à être moins précise.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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