Karamö, le prof virtuelLeçon 38 sur 47
Oscillations électriques forcées
Je sais décrire le régime forcé d'un circuit RLC série alimenté par un générateur sinusoïdal, reconnaître et exploiter la résonance d'intensité.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer oscillations libres et oscillations forcées (excitateur, résonateur)
- Utiliser l'impédance Z et la relation Um = Z·Im d'un circuit RLC série
- Caractériser la résonance d'intensité (fréquence, intensité maximale, déphasage nul)
- Calculer la bande passante, le facteur de qualité et la surtension
Avant de commencer : Les oscillations électriques libres (circuit LC, pulsation propre ω₀ = 1/√(LC)), l'amortissement dans un circuit RLC, les fonctions sinusoïdales.
1Je découvre
Le soir, à Labé, Mamadou tourne le bouton de la vieille radio de son grand-père pour écouter les informations. Au début, il n'entend qu'un souffle. Puis, en tournant lentement, une voix apparaît, devient très forte, et disparaît si l'on dépasse le bon réglage.
Pourtant, dans l'air, les ondes de dizaines de stations arrivent en même temps sur l'antenne. Comment la radio fait-elle pour « choisir » une seule station et ignorer les autres ? Le grand-père explique qu'à l'intérieur, le bouton modifie un condensateur relié à une bobine. Mamadou reconnaît le circuit LC étudié en classe… mais cette fois, ce n'est pas un condensateur chargé qui l'alimente : c'est un signal extérieur qui l'oblige à osciller.
Que se passe-t-il quand on impose à un circuit RLC une tension sinusoïdale de fréquence réglable, et pourquoi le courant devient-il très grand pour une fréquence particulière ?
2Je comprends
1. Oscillations libres et oscillations forcées
Dans un circuit RLC livré à lui-même (condensateur initialement chargé), le courant oscille à une pulsation voisine de la pulsation propre ω0 = 1√LC, puis s'éteint : ce sont des oscillations libres amorties.
Branchons maintenant le circuit RLC série sur un générateur basse fréquence (GBF) qui délivre une tension sinusoïdale u(t) = Umcos(ω t + varphi) de fréquence f réglable. Après un court régime transitoire, le courant oscille à la fréquence du générateur, et non à la fréquence propre : ce sont des oscillations forcées.
- Le générateur est l'excitateur : il impose sa fréquence.
- Le circuit RLC est le résonateur : il répond plus ou moins fort selon la fréquence imposée.
On observe les deux tensions à l'oscilloscope : sur une voie, la tension u du GBF ; sur l'autre, la tension uR = R i aux bornes de la résistance, qui est l'image de l'intensité i.
2. Amplitude et impédance
En régime forcé, on écrit i(t) = Imcos(ω t) et u(t) = Umcos(ω t + varphi), où varphi est le déphasage de la tension par rapport à l'intensité.
L'expérience et le calcul montrent que Um = Z Im, où Z est l'impédance du circuit, en ohms :
Z = √R2 + (Lω - 1Cω)2 et tanvarphi = Lω - 1CωR.
Ici R est la résistance totale du circuit (résistance ajoutée plus résistance de la bobine). Tu apprendras dans les leçons suivantes à établir ces formules avec la construction de Fresnel ; retiens pour l'instant comment les utiliser.
- Si Lω > 1Cω (fréquence élevée), varphi > 0 : la tension est en avance sur l'intensité, le circuit est dit inductif.
- Si Lω < 1Cω (fréquence basse), varphi < 0 : la tension est en retard, le circuit est capacitif.
3. La résonance d'intensité
À tension Um fixée, Im = UmZ est maximale quand Z est minimale. Or Z ≥ R, avec égalité quand Lω - 1Cω = 0, c'est-à-dire LCω2 = 1.
À la résonance d'intensité
- la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre : ω = ω0 = 1√LC, soit f0 = 12π√LC ;
- l'impédance est minimale : Z = R ;
- l'intensité est maximale : I0 = UmR ;
- la tension et l'intensité sont en phase : varphi = 0 (le circuit se comporte comme une simple résistance).
La fréquence de résonance ne dépend pas de R. En revanche, R fixe la hauteur et la largeur du pic.
4. Bande passante et facteur de qualité
La bande passante à -3 dB est l'intervalle des fréquences pour lesquelles Im ≥ I0√2. Ses bornes f1 et f2 vérifient Z = R√2, et le calcul donne :
Δω = ω2 - ω1 = RL, soit Δ f = f2 - f1 = R2π L.
Le facteur de qualité mesure l'acuité (la finesse) de la résonance :
Q = f0Δ f = ω0Δω = Lω0R = 1R√LC (sans unité).
- R petite : Q grand, résonance aiguë (pic étroit et haut) : le circuit est sélectif, comme dans la radio de Mamadou.
- R grande : Q petit, résonance floue.
5. Le phénomène de surtension
À la résonance, l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur vaut :
UCm = I0Cω0 = UmRCω0 = Q Um (car 1RCω0 = Lω0R puisque LCω02 = 1).
Si Q > 1, la tension aux bornes du condensateur (et de la bobine) est plus grande que celle du générateur : c'est la surtension. Avec Q = 10 et un générateur de 5 V, le condensateur supporte 50 V ! Il faut en tenir compte pour ne pas le détruire.
6. Analogie mécanique
On retrouve le même phénomène avec une balançoire qu'on pousse au bon rythme, ou un pont que des soldats font vibrer en marchant au pas. Le tableau résume l'analogie.
| Oscillateur mécanique | Oscillateur électrique |
|---|---|
| masse m | inductance L |
| raideur k | inverse de la capacité 1C |
| frottement | résistance R |
| élongation x | charge q |
| vitesse v | intensité i |
| force excitatrice | tension du générateur |
Méthode
Pour étudier un circuit RLC série en régime forcé :
- Je convertis les unités (mH en H, µF en F) et je calcule ω = 2πf.
- Je calcule Lω et 1/(Cω), puis Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²) avec la résistance TOTALE.
- J'en déduis Im = Um / Z et tan φ = (Lω − 1/(Cω)) / R (signe de φ : inductif ou capacitif).
- À la résonance : f₀ = 1/(2π√(LC)), Z = R, I₀ = Um / R, φ = 0.
- Bande passante Δf = R/(2πL), facteur de qualité Q = f₀/Δf = Lω₀/R, surtension U_Cm = Q·Um.
Exemple
Un circuit RLC série comprend R = 20 Ω (résistance totale), L = 0,1 H et C = 10 µF. Le GBF impose une tension d'amplitude Um = 4 V.
a) Résonance : LC = 0,1 × 10⁻⁵ = 10⁻⁶ s², donc ω₀ = 1/√(10⁻⁶) = 1000 rad/s et f₀ = 1000/(2π) ≈ 159 Hz.
b) Intensité à la résonance : I₀ = Um / R = 4/20 = 0,2 A.
c) Facteur de qualité : Q = Lω₀/R = 0,1 × 1000/20 = 5. Bande passante : Δf = f₀/Q ≈ 31,8 Hz (on vérifie : R/(2πL) = 20/(0,628) ≈ 31,8 Hz).
d) Surtension : U_Cm = Q × Um = 20 V. Vérification : I₀/(Cω₀) = 0,2/(10⁻⁵ × 1000) = 20 V.
Exemple
Même circuit, mais le GBF est réglé sur f = 100 Hz.
ω = 2π × 100 ≈ 628,3 rad/s.
Lω = 62,8 Ω ; 1/(Cω) = 1/(10⁻⁵ × 628,3) ≈ 159,2 Ω.
Lω − 1/(Cω) ≈ −96,3 Ω.
Z = √(20² + 96,3²) = √(400 + 9277) ≈ 98,4 Ω.
Im = 4/98,4 ≈ 0,041 A : cinq fois moins qu'à la résonance.
tan φ = −96,3/20 ≈ −4,82, donc φ ≈ −78°. La tension est en retard sur l'intensité : le circuit est capacitif (on est en dessous de f₀).
3Je retiens
Je retiens
En régime forcé, le circuit oscille à la fréquence imposée par le générateur (excitateur) ; le circuit RLC est le résonateur.
Um = Z·Im avec Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²) ; tan φ = (Lω − 1/(Cω))/R.
Résonance d'intensité : ω = ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC)), Z = R minimale, I₀ = Um/R maximale, φ = 0.
Bande passante : Δω = R/L, Δf = R/(2πL) ; bornes où I = I₀/√2.
Facteur de qualité : Q = f₀/Δf = Lω₀/R = (1/R)√(L/C). Plus R est petite, plus la résonance est aiguë.
Surtension : à la résonance, U_Cm = Q·Um.
4Erreurs fréquentes
- Croire que le circuit oscille à sa fréquence propre : en régime forcé, c'est toujours la fréquence du GBF qui s'impose. Seule l'amplitude dépend de la fréquence.
- Oublier la résistance de la bobine : R dans Z, Δf et Q est la résistance TOTALE du circuit.
- Confondre f et ω : ω = 2πf. Écrire Lf au lieu de Lω donne une impédance fausse.
- Penser que R change la fréquence de résonance : f₀ ne dépend que de L et C ; R change la hauteur et la largeur du pic.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la fréquence de résonance d'un circuit RLC série avec L = 40 mH et C = 0,1 µ F.
Voir le corrigéCacher le corrigé
LC = 0,04 × 10-7 = 4 × 10-9 s2 ; √LC ≈ 6,32 × 10-5 s.
f0 = 12π√LC = 12π × 6,32 × 10-5 ≈ 2,52 × 103 Hz, soit environ 2,52 kHz.
2Exercice 2
Un circuit RLC série (R = 100 Ω au total, L = 0,5 H, C = 5 µ F) est alimenté par un GBF de tension d'amplitude Um = 10 V.
a) Calcule f0.
b) Calcule l'intensité maximale I0 à la résonance.
c) Quel est le déphasage entre u et i à la résonance ?
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a) LC = 0,5 × 5 × 10-6 = 2,5 × 10-6 ; √LC ≈ 1,58 × 10-3 s ; f0 ≈ 12π × 1,58 × 10-3 ≈ 101 Hz (ω0 ≈ 632 rad/s).
b) I0 = UmR = 10100 = 0,1 A.
c) À la résonance, varphi = 0 : tension et intensité sont en phase.
3Exercice 3
Pour f = 50 Hz, calcule l'impédance du circuit de l'exercice 2 et l'amplitude de l'intensité. Le circuit est-il inductif ou capacitif ?
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ω = 2π × 50 ≈ 314,2 rad/s.
Lω = 0,5 × 314,2 ≈ 157,1 Ω ; 1Cω = 15 × 10-6 × 314,2 ≈ 636,6 Ω.
Lω - 1Cω ≈ -479,5 Ω ; Z = √1002 + 479,52 = √10 000 + 229 920 ≈ 489,8 Ω.
Im = 10489,8 ≈ 0,020 A.
Lω - 1Cω < 0 donc varphi < 0 : le circuit est capacitif (normal, 50 Hz < f0).
4Exercice 4
Une courbe de résonance donne f0 = 500 Hz, f1 = 475 Hz et f2 = 525 Hz. La résistance totale du circuit vaut R = 31,4 Ω.
a) Calcule la bande passante et le facteur de qualité.
b) Déduis-en l'inductance L, puis la capacité C.
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a) Δ f = 525 - 475 = 50 Hz ; Q = f0Δ f = 50050 = 10.
b) Δ f = R2π L donc L = R2πΔ f = 31,42π × 50 = 31,4314,2 ≈ 0,10 H.
f0 = 12π√LC donc C = 14π2 f02 L = 139,48 × 250 000 × 0,1 ≈ 1,0 × 10-6 F = 1 µ F.
5Exercice 5
(Type BAC) Un dipôle RLC série comprend un conducteur ohmique et une bobine (résistance totale R = 50 Ω), d'inductance L = 0,5 H, et un condensateur de capacité C = 2 µ F. Un GBF impose une tension sinusoïdale d'amplitude Um = 5 V et de fréquence réglable.
a) Indique comment visualiser à l'oscilloscope une tension image de l'intensité.
b) Calcule la pulsation et la fréquence de résonance.
c) Calcule l'amplitude de l'intensité à la résonance.
d) Calcule le facteur de qualité et la largeur de la bande passante.
e) Calcule l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur à la résonance. Quel phénomène met-on en évidence ?
f) On double R. Que deviennent f0, I0 et Q ?
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a) On branche une voie de l'oscilloscope aux bornes du conducteur ohmique : uR = R0 i est proportionnelle à i (même forme, même phase), la masse étant commune avec le GBF.
b) LC = 0,5 × 2 × 10-6 = 10-6 s2, ω0 = 1√10-6 = 1000 rad/s et f0 = 10002π ≈ 159 Hz.
c) I0 = UmR = 550 = 0,1 A.
d) Q = Lω0R = 0,5 × 100050 = 10 ; Δ f = R2π L = 502π × 0,5 ≈ 15,9 Hz (on vérifie : f0Q = 15910 ≈ 15,9 Hz).
e) UCm = I0Cω0 = 0,12 × 10-6 × 1000 = 50 V = Q × Um. La tension aux bornes du condensateur est dix fois celle du générateur : c'est la surtension.
f) f0 ne change pas (il ne dépend que de L et C). I0 = 5100 = 0,05 A est divisée par 2. Q = 500100 = 5 est divisé par 2 : la résonance est plus floue.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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