Karamö, le prof virtuelLeçon 41 sur 47
Circuits en courant sinusoïdal : caractéristiques du circuit
Je sais déterminer les caractéristiques d'un circuit en courant sinusoïdal (impédance, déphasage, facteur de puissance) et calculer la puissance qu'il consomme réellement.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Étudier l'impédance et le déphasage d'un circuit RLC série en fonction de la fréquence
- Établir l'expression de la puissance instantanée et de la puissance moyenne P = UI cos φ
- Utiliser le facteur de puissance cos φ = R/Z et la puissance apparente S = UI
- Déduire R, Z et cos φ de mesures au voltmètre, à l'ampèremètre et au wattmètre
Avant de commencer : Les circuits parcourus par des courants sinusoïdaux (impédances R, Lω, 1/(Cω), construction de Fresnel), les valeurs efficaces, la formule cos a · cos b = ½[cos(a + b) + cos(a − b)].
1Je découvre
Dans un atelier de menuiserie de Nzérékoré, Hawa, qui aide son père à la comptabilité, compare deux machines branchées sur le réseau (220 V). La plaque du chauffe-colle indique « 1 100 W ». La plaque du moteur de la scie indique aussi une puissance de 1 100 W, avec la mention « cos φ = 0,625 ».
Elle mesure les intensités avec une pince ampèremétrique : 5 A pour le chauffe-colle, mais 8 A pour le moteur ! Pourtant, les deux appareils consomment la même puissance. Le produit U × I donne 1 100 pour le premier, mais 1 760 pour le second. Qu'est-ce que ce « cos φ » écrit sur la plaque, et pourquoi le moteur a-t-il besoin d'un courant plus fort pour la même puissance ?
Quelles sont les grandeurs qui caractérisent un circuit en courant sinusoïdal, et quelle puissance consomme-t-il vraiment ?
2Je comprends
1. Les caractéristiques d'un dipôle en régime sinusoïdal
Un dipôle alimenté sous tension sinusoïdale est caractérisé, à une fréquence donnée, par :
- son impédance Z = UI (en Ω) ;
- le déphasage varphi de la tension par rapport à l'intensité (-π2 ≤ varphi ≤ π2) ;
- son facteur de puissance cosvarphi.
Pour un circuit RLC série (résistance totale R) :
Z = √R2 + (Lω - 1Cω)2 ; tanvarphi = Lω - 1CωR ; cosvarphi = RZ.
2. Influence de la fréquence
Ces caractéristiques dépendent de la fréquence :
| Fréquence | Comparaison | Déphasage | Comportement |
|---|---|---|---|
| f < f0 | 1Cω > Lω | varphi < 0 | capacitif : u en retard sur i |
| f = f0 | Lω = 1Cω | varphi = 0 | résistif : résonance, Z = R minimale |
| f > f0 | Lω > 1Cω | varphi > 0 | inductif : u en avance sur i |
Aux très basses fréquences, le condensateur impose une impédance énorme ; aux très hautes fréquences, c'est la bobine. Entre les deux, Z passe par un minimum égal à R à la fréquence propre f0 = 12π√LC.
3. La puissance instantanée
Avec i = Imcos(ω t) et u = Umcos(ω t + varphi), la puissance reçue par le dipôle est :
p = u · i = UmImcos(ω t + varphi)cos(ω t).
Avec cos acos b = 12[cos(a + b) + cos(a - b)] et UmIm2 = UI :
p = UIcosvarphi + UIcos(2ω t + varphi).
La puissance instantanée est la somme d'un terme constant et d'un terme qui oscille à la pulsation 2ω. Parfois p < 0 : le dipôle rend alors momentanément de l'énergie au générateur (c'est l'énergie stockée dans la bobine ou le condensateur).
4. La puissance moyenne (ou active)
Sur une période, la moyenne de cos(2ω t + varphi) est nulle. La puissance moyenne, appelée aussi puissance active, est donc :
P = UIcosvarphi (en watts, W), avec U et I efficaces.
Pour un circuit RLC série, comme cosvarphi = RZ et U = ZI :
P = ZI × I × RZ = RI2.
Seules les résistances consomment de la puissance en moyenne (effet Joule, ou travail d'un moteur représenté par une résistance équivalente). Une bobine idéale ou un condensateur (varphi = ± π2, cosvarphi = 0) ont une puissance moyenne nulle : ils stockent de l'énergie puis la restituent.
5. Puissance apparente et facteur de puissance
- La puissance apparente est S = UI ; elle s'exprime en voltampères (VA). Elle fixe l'intensité que doivent supporter les câbles et le générateur.
- Le facteur de puissance est k = PS = cosvarphi, compris entre 0 et 1.
L'énergie électrique consommée pendant la durée t est W = Pt (en joules, ou en kilowattheures : 1 kWh = 3,6 × 106 J). C'est cette énergie active que compte le compteur électrique.
6. Pourquoi un bon facteur de puissance est important
À puissance P et tension U fixées : I = PUcosvarphi. Plus cosvarphi est petit, plus l'intensité est grande. Or les câbles de la ligne, de résistance r, perdent une puissance rI2 : un mauvais facteur de puissance augmente les pertes en ligne et oblige à utiliser des câbles plus gros. C'est pourquoi les distributeurs d'électricité demandent aux gros consommateurs (usines, ateliers à moteurs) de relever leur facteur de puissance, par exemple en branchant des condensateurs en parallèle sur les moteurs : ils compensent l'effet inductif des bobinages.
- P = 1100 W
- cos φ = 1
- I = 1100/220 = 5 A
- S = 1100 VA
- Pertes dans une ligne de 0,5 Ω : 12,5 W
- P = 1100 W
- cos φ = 0,625
- I = 1100/(220 × 0,625) = 8 A
- S = 1760 VA
- Pertes dans une ligne de 0,5 Ω : 32 W
7. Déterminer expérimentalement les caractéristiques
Avec un voltmètre (U), un ampèremètre (I) et un wattmètre (P), on obtient :
Z = UI ; cosvarphi = PUI ; R = PI2 ; puis |X| = √Z2 - R2, où X = Lω - 1Cω est la réactance.
Méthode
Pour déterminer les caractéristiques et la puissance d'un circuit :
- Je calcule les impédances à la fréquence de travail, puis Z et tan φ (ou cos φ = R/Z).
- Je calcule l'intensité efficace I = U/Z.
- Je calcule la puissance active P = UI cos φ et je vérifie avec P = RI² (R totale).
- Je calcule, si on le demande, S = UI (en VA) et l'énergie W = P·t.
- À partir de mesures : Z = U/I, cos φ = P/(UI), R = P/I², |X| = √(Z² − R²).
Exemple
Un circuit RLC série (R = 100 Ω, L = 0,5 H, C = 10 µF) est branché sur le réseau : 220 V, 50 Hz.
Lω = 0,5 × 314,2 ≈ 157,1 Ω ; 1/(Cω) = 1/(10⁻⁵ × 314,2) ≈ 318,3 Ω ; X = 157,1 − 318,3 = −161,2 Ω.
Z = √(100² + 161,2²) = √(10 000 + 25 985) ≈ 189,7 Ω.
I = 220/189,7 ≈ 1,16 A ; cos φ = 100/189,7 ≈ 0,527 ; φ ≈ −58° (circuit capacitif).
P = UI cos φ = 220 × 1,16 × 0,527 ≈ 134 W. Vérification : RI² = 100 × 1,16² ≈ 134 W.
S = UI ≈ 255 VA.
Exemple
Un moteur est alimenté sous 220 V, 50 Hz. On mesure I = 2 A et un wattmètre indique P = 352 W.
Z = 220/2 = 110 Ω ; cos φ = 352/(220 × 2) = 0,8 ; R = 352/2² = 88 Ω.
|X| = √(110² − 88²) = √(12 100 − 7 744) = √4 356 = 66 Ω.
Si ce moteur se comporte comme une bobine réelle : Lω = 66 Ω, donc L = 66/314,2 ≈ 0,21 H.
3Je retiens
Je retiens
Caractéristiques d'un circuit sinusoïdal : impédance Z = U/I, déphasage φ, facteur de puissance cos φ.
RLC série : Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), cos φ = R/Z ; capacitif si f < f₀, résistif à f₀, inductif si f > f₀.
Puissance instantanée : p = UI cos φ + UI cos(2ωt + φ).
Puissance active (moyenne) : P = UI cos φ = RI² (en W) ; bobine idéale et condensateur : P = 0.
Puissance apparente : S = UI (en VA) ; facteur de puissance k = P/S = cos φ.
À P et U fixées, I = P/(U cos φ) : un faible cos φ augmente l'intensité et les pertes en ligne.
4Erreurs fréquentes
- Calculer la puissance par P = UI en alternatif : c'est la puissance apparente (en VA). La puissance consommée est P = UI cos φ.
- Écrire P = ZI² : seule la résistance consomme en moyenne, donc P = RI².
- Utiliser des valeurs maximales dans P = UI cos φ : il faut les valeurs efficaces (sinon on trouve le double).
- Croire qu'un condensateur ou une bobine idéale « consomme » : ils échangent de l'énergie avec le générateur, leur puissance moyenne est nulle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un fer à repasser (purement résistif) porte l'indication 1 000 W – 220 V.
a) Calcule l'intensité efficace qui le traverse et sa résistance.
b) Calcule l'énergie consommée, en kWh puis en joules, pendant 30 minutes de repassage.
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a) Résistif : cosvarphi = 1, donc I = PU = 1000220 ≈ 4,55 A et R = U2P = 48 4001000 = 48,4 Ω.
b) W = Pt = 1 kW × 0,5 h = 0,5 kWh = 0,5 × 3,6 × 106 = 1,8 × 106 J.
2Exercice 2
Un circuit RL série (R = 30 Ω, Lω = 40 Ω) est alimenté sous 100 V efficaces.
a) Calcule Z, I et cosvarphi.
b) Calcule la puissance active, de deux façons, et la puissance apparente.
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a) Z = √302 + 402 = 50 Ω ; I = 10050 = 2 A ; cosvarphi = 3050 = 0,6.
b) P = UIcosvarphi = 100 × 2 × 0,6 = 120 W ; vérification : P = RI2 = 30 × 4 = 120 W. S = UI = 200 VA.
3Exercice 3
Sur un dipôle alimenté sous 220 V, 50 Hz, on mesure I = 2,5 A et P = 440 W.
a) Calcule l'impédance, le facteur de puissance et la résistance du dipôle.
b) Calcule sa réactance. Le dipôle est inductif : calcule son inductance.
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a) Z = 2202,5 = 88 Ω ; cosvarphi = 440220 × 2,5 = 0,8 ; R = 4402,52 = 4406,25 = 70,4 Ω.
b) |X| = √882 - 70,42 = √7744 - 4956,16 = √2787,84 = 52,8 Ω. Inductif : Lω = 52,8 Ω, donc L = 52,8314,2 ≈ 0,168 H.
4Exercice 4
Un atelier consomme une puissance de 4 400 W sous 220 V.
a) Calcule l'intensité en ligne si cosvarphi = 0,5, puis si cosvarphi = 0,8.
b) La ligne qui alimente l'atelier a une résistance totale de 0,4 Ω. Calcule les pertes en ligne dans les deux cas. Conclus.
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a) I = PUcosvarphi. Avec cosvarphi = 0,5 : I = 4400110 = 40 A. Avec cosvarphi = 0,8 : I = 4400176 = 25 A.
b) Pertes rI2 : 0,4 × 1600 = 640 W dans le premier cas ; 0,4 × 625 = 250 W dans le second. Relever le facteur de puissance de 0,5 à 0,8 divise les pertes en ligne par plus de 2,5 pour le même travail fourni.
5Exercice 5
(Type BAC) Un circuit série comprend un conducteur ohmique (R = 100 Ω), une bobine idéale (L = 0,5 H) et un condensateur (C = 10 µ F), alimentés sous une tension efficace U = 220 V de fréquence réglable.
a) À 50 Hz, calcule l'impédance, l'intensité efficace et le facteur de puissance. Le circuit est-il inductif ou capacitif ?
b) Établis l'expression de la puissance instantanée p(t) et montre que sa valeur moyenne est P = UIcosvarphi.
c) Calcule la puissance moyenne consommée à 50 Hz.
d) Pour quelle fréquence la puissance consommée est-elle maximale ? Calcule-la dans ce cas.
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a) ω = 100π ≈ 314,2 rad/s ; Lω ≈ 157,1 Ω ; 1Cω ≈ 318,3 Ω.
Z = √1002 + (157,1 - 318,3)2 = √10 000 + 25 985 ≈ 189,7 Ω ; I = 220189,7 ≈ 1,16 A ; cosvarphi = 100189,7 ≈ 0,527.
1Cω > Lω : le circuit est capacitif (varphi ≈ -58°).
b) p = ui = UmImcos(ω t + varphi)cos(ω t) = UmIm2[cos(2ω t + varphi) + cosvarphi]. Comme UmIm2 = Um√2 · Im√2 = UI : p = UIcosvarphi + UIcos(2ω t + varphi). Le second terme a une moyenne nulle sur une période, donc P = UIcosvarphi.
c) P = 220 × 1,16 × 0,527 ≈ 134 W (ou RI2 = 100 × 1,162 ≈ 134 W).
d) P = RI2 = RU2Z2 est maximale quand Z est minimale, c'est-à-dire à la résonance : f0 = 12π√LC = 12π√5 × 10-6 ≈ 71,2 Hz. Alors Z = R et Pmax = U2R = 48 400100 = 484 W.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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