Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 33
Équations du premier degré
Je sais résoudre toute équation qui se ramène à ax + b = 0 et mettre un problème de la vie courante en équation.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une équation du premier degré et résoudre ax + b = 0 dans tous les cas
- Résoudre une équation avec parenthèses ou fractions en se ramenant à ax + b = 0
- Résoudre une équation produit ou quotient nul
- Mettre en équation un problème économique ou de la vie courante et interpréter la solution
Avant de commencer : Le calcul littéral (développer, réduire, factoriser) et le calcul sur les fractions vus au collège.
1Je découvre
À Kankan, Sékou conduit une moto-taxi. Il applique un tarif simple : une prise en charge de 5 000 GNF dès que le client monte, puis 2 000 GNF par kilomètre parcouru.
Un soir, un client lui tend 21 000 GNF pour une course et lui demande : « Combien de kilomètres m'as-tu fait faire, exactement ? » Sékou compte sur ses doigts : 5 000 pour la prise en charge, puis 2 000 par kilomètre… Il hésite.
Sa nièce Mariama, élève de Terminale sciences sociales, prend un bout de papier. Elle appelle x le nombre de kilomètres et écrit :
5 000 + 2 000x = 21 000.
« Il ne reste plus qu'à trouver x », dit-elle. En deux lignes, elle trouve la réponse. Sékou est impressionné.
Ce genre d'égalité avec une inconnue revient partout en sciences sociales : fixer un prix de vente, calculer un seuil de rentabilité, partager une somme, prévoir un budget.
Comment résoudre à coup sûr une équation du premier degré, même quand elle contient des parenthèses ou des fractions, et comment traduire un problème en équation ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue, souvent notée x. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est une solution. On les rassemble dans l'ensemble des solutions, noté S.
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme :
ax + b = 0, où a et b sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Par exemple, 3x - 12 = 0 ou 5 000 + 2 000x = 21 000 sont du premier degré : l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1. En revanche, x2 - 4 = 0 n'est pas du premier degré.
2. Les deux règles de transformation
On transforme une équation en une équation équivalente (qui a exactement les mêmes solutions) grâce à deux règles :
- Règle 1 : on peut ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) aux deux membres.
- Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Dans la pratique, la règle 1 se traduit par : « un terme qui change de membre change de signe ».
3. Résoudre ax + b = 0 : les trois cas
On isole x : ax + b = 0 ⇔ ax = -b.
- Si a ≠ 0 : on divise par a et on obtient une seule solution : x = -ba, donc S = {-ba}.
- Si a = 0 et b = 0 : l'équation devient 0 = 0, toujours vraie. Tout réel est solution : S = ℝ.
- Si a = 0 et b ≠ 0 : l'équation devient b = 0, toujours fausse. Aucune solution : S = ∅.
Les deux derniers cas apparaissent quand les x « disparaissent » en réduisant. Il ne faut pas paniquer : on regarde simplement si l'égalité restante est vraie ou fausse.
Graphiquement, résoudre ax + b = 0 revient à chercher où la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des abscisses. Si a ≠ 0, la droite n'est pas horizontale : elle coupe l'axe en un seul point.
4. Les équations qui se ramènent au premier degré
Méthode
Pour résoudre une équation qui se ramène au premier degré :
- Si l'équation contient des fractions, je multiplie les deux membres par le dénominateur commun.
- Je développe les parenthèses (attention au signe « − » devant une parenthèse).
- Je regroupe les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre.
- Je réduis pour obtenir ax = −b, puis je divise par a (si a ≠ 0).
- J'écris l'ensemble S et je vérifie en remplaçant x par la valeur trouvée.
Exemple
Résoudre 3(x − 2) − 5 = x + 7.
On développe : 3x − 6 − 5 = x + 7, soit 3x − 11 = x + 7.
On regroupe : 3x − x = 7 + 11, soit 2x = 18.
On divise par 2 : x = 9.
Vérification : 3(9 − 2) − 5 = 21 − 5 = 16 et 9 + 7 = 16. C'est juste.
S = {9}.
Exemple
Résoudre (x − 1)/2 − (x + 3)/3 = 1.
Le dénominateur commun est 6. On multiplie chaque terme par 6 :
3(x − 1) − 2(x + 3) = 6
3x − 3 − 2x − 6 = 6
x − 9 = 6, donc x = 15.
Vérification : (15 − 1)/2 − (15 + 3)/3 = 7 − 6 = 1. C'est juste.
S = {15}.
Exemple
Deux cas particuliers.
a) 2(x + 3) = 2x + 6 donne 2x + 6 = 2x + 6, puis 0x = 0 : toujours vrai. S = R.
b) 2(x + 3) = 2x + 1 donne 2x + 6 = 2x + 1, puis 0x = −5 : impossible. S = ∅.
5. Équation produit et équation quotient
Certaines équations ne sont pas du premier degré mais se ramènent à plusieurs équations du premier degré.
- Produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
- Quotient nul : AB = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0. Un quotient est nul quand son numérateur est nul, à condition que le dénominateur ne le soit pas (on ne divise jamais par zéro).
Exemple
Résoudre (x² − 9)/(x − 3) = 0.
Condition : x − 3 ≠ 0, donc x ≠ 3.
Numérateur nul : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0, donc x = 3 ou x = −3.
La valeur 3 est interdite : on la rejette.
S = {−3}.
6. Mettre un problème en équation
- 1Choisir l'inconnue : écrire clairement ce que représente x, avec son unité.
- 2Traduire l'énoncé : écrire l'égalité donnée par la situation.
- 3Résoudre l'équation obtenue.
- 4Vérifier que la solution a un sens (positive, entière si on compte des objets…).
- 5Répondre à la question par une phrase complète.
Exemple
Retour à la course de Sékou.
Soit x le nombre de kilomètres parcourus.
5 000 + 2 000x = 21 000
2 000x = 16 000
x = 8.
La course a fait 8 km. Vérification : 5 000 + 2 000 × 8 = 21 000 GNF.
Exemple
Alpha et Ibrahima se partagent un gain de 450 000 GNF. Ibrahima reçoit 60 000 GNF de plus qu'Alpha. Combien reçoit chacun ?
Soit x la part d'Alpha (en GNF). La part d'Ibrahima est x + 60 000.
x + (x + 60 000) = 450 000
2x = 390 000
x = 195 000.
Alpha reçoit 195 000 GNF et Ibrahima 255 000 GNF. Vérification : 195 000 + 255 000 = 450 000.
En économie, on rencontre souvent le seuil de rentabilité : c'est la quantité à partir de laquelle la recette couvre exactement les coûts, c'est-à-dire la solution de l'équation « bénéfice = 0 ». Tu le retrouveras dans les exercices.
3Je retiens
Je retiens
Équation du premier degré : ax + b = 0 avec a ≠ 0 ; solution unique x = −b/a.
Si les x disparaissent : 0x = 0 donne S = R ; 0x = b avec b ≠ 0 donne S = ∅.
On peut ajouter un même nombre aux deux membres et multiplier par un même nombre non nul.
Avec des fractions : multiplier tous les termes par le dénominateur commun.
Produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0. Quotient nul : A/B = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0.
Problème : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier le sens, conclure par une phrase.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer les signes devant une parenthèse précédée de « − » : −2(x + 3) = −2x − 6, et non −2x + 6.
- Multiplier seulement une partie des termes par le dénominateur commun : chaque terme, y compris celui du second membre, doit être multiplié.
- Garder une valeur interdite dans une équation quotient : si elle annule le dénominateur, elle n'est pas solution.
- Écrire « x = 0 » quand on obtient 0x = 5 : il n'y a aucune solution, S = ∅.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ.
a) 5x - 7 = 18
b) 4 - 3x = 2x + 19
c) 2(x - 4) = 3(x + 1) - 10
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a) 5x = 18 + 7 = 25, donc x = 5. S = {5}.
b) -3x - 2x = 19 - 4, soit -5x = 15, donc x = -3. Vérification : 4 - 3(-3) = 13 et 2(-3) + 19 = 13. S = {-3}.
c) 2x - 8 = 3x + 3 - 10, soit 2x - 8 = 3x - 7, donc 2x - 3x = -7 + 8, soit -x = 1 et x = -1. Vérification : 2(-5) = -10 et 3 × 0 - 10 = -10. S = {-1}.
2Exercice 2
Résous dans ℝ.
a) x3 + x4 = 14
b) 2x + 15 - x - 12 = 1
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a) On multiplie par 12 : 4x + 3x = 168, soit 7x = 168 et x = 24. Vérification : 8 + 6 = 14. S = {24}.
b) On multiplie par 10 : 2(2x + 1) - 5(x - 1) = 10, soit 4x + 2 - 5x + 5 = 10, donc -x + 7 = 10, -x = 3 et x = -3. Vérification : -55 - -42 = -1 + 2 = 1. S = {-3}.
3Exercice 3
Détermine l'ensemble des solutions.
a) 3(x + 2) - x = 2(x + 3)
b) 4x - (x - 5) = 3(x + 1)
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a) 3x + 6 - x = 2x + 6, soit 2x + 6 = 2x + 6, donc 0x = 0 : toujours vrai. S = ℝ.
b) 4x - x + 5 = 3x + 3, soit 3x + 5 = 3x + 3, donc 0x = -2 : impossible. S = ∅.
4Exercice 4
Résous dans ℝ.
a) (3x - 6)(x + 4) = 0
b) x + 22x - 1 = 0
c) x2 - 9x - 3 = 0
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a) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : 3x - 6 = 0 ou x + 4 = 0, soit x = 2 ou x = -4. S = {-4 ; 2}.
b) Condition : 2x - 1 ≠ 0, soit x ≠ 12. Numérateur nul : x + 2 = 0, soit x = -2, qui est autorisé. S = {-2}.
c) Condition : x ≠ 3. Numérateur nul : (x - 3)(x + 3) = 0, soit x = 3 ou x = -3. On rejette 3. S = {-3}.
5Exercice 5
(Type BAC) Kadiatou, couturière à Labé, fabrique des boubous. Ses charges fixes (loyer de l'atelier, électricité) s'élèvent à 600 000 GNF par mois. Chaque boubou lui coûte 45 000 GNF de tissu et de fil, et elle le vend 75 000 GNF. On note x le nombre de boubous vendus dans le mois.
a) Exprime la recette R(x), le coût total C(x) et le bénéfice B(x) en fonction de x.
b) Calcule le seuil de rentabilité, c'est-à-dire le nombre de boubous pour lequel B(x) = 0.
c) Combien de boubous doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice de 300 000 GNF ?
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a) R(x) = 75 000x ; C(x) = 45 000x + 600 000 ; B(x) = R(x) - C(x) = 30 000x - 600 000.
b) B(x) = 0 ⇔ 30 000x = 600 000 ⇔ x = 20. Le seuil de rentabilité est de 20 boubous par mois.
c) 30 000x - 600 000 = 300 000 ⇔ 30 000x = 900 000 ⇔ x = 30. Elle doit vendre 30 boubous. Vérification : 30 × 75 000 = 2 250 000 GNF de recette, 30 × 45 000 + 600 000 = 1 950 000 GNF de coût, soit un bénéfice de 300 000 GNF.
6Exercice 6
Hawa a 12 ans et son père a 42 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui de Hawa ?
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Soit x le nombre d'années cherché. Dans x ans, le père aura 42 + x ans et Hawa 12 + x ans.
42 + x = 2(12 + x) ⇔ 42 + x = 24 + 2x ⇔ x = 18.
Dans 18 ans, le père aura 60 ans et Hawa 30 ans : 60 = 2 × 30. C'est juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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