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Mathématiques · Terminale SS Prépare le BAC

Leçon 25 sur 33

Mathématiques financières : intérêts composés et annuités

Je sais calculer la valeur acquise d'un capital placé à intérêts composés, la valeur acquise et la valeur actuelle d'une suite d'annuités, et le montant des remboursements d'un emprunt.

  • 1 h
  • 5 exercices corrigés
  • 1 schéma
  • QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

  • Distinguer intérêts simples et intérêts composés
  • Calculer une valeur acquise, une valeur actuelle et un taux équivalent
  • Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes
  • Calculer l'annuité de remboursement d'un emprunt et construire les premières lignes d'un tableau d'amortissement

Avant de commencer : Les suites géométriques (terme général, somme des termes), les pourcentages et, pour les durées, la fonction logarithme népérien.

1Je découvre

Kadiatou, commerçante au marché de Kindia, a économisé 2 000 000 GNF. Une institution de microfinance lui propose un placement à 5 % par an pendant 4 ans. Elle hésite entre deux contrats :

  • contrat A : chaque année, elle reçoit 5 % de sa somme de départ, soit 100 000 GNF par an ;
  • contrat B : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour des intérêts l'année suivante.

Son voisin Lansana, lui, veut acheter un moto-taxi. Il doit emprunter et rembourser la même somme chaque année pendant 5 ans. Combien paiera-t-il chaque année, et combien d'intérêts au total ?

Ces deux situations se traitent avec les suites géométriques de la leçon précédente.

Comment calculer ce que rapporte un placement, et ce que coûte un emprunt, quand les intérêts sont composés ?

2Je comprends

1. Vocabulaire

  • Le capital C0 est la somme placée (ou empruntée) au départ.
  • Le taux t est le pourcentage d'intérêt par période (année, mois…), écrit en nombre décimal : 5 % s'écrit t = 0,05.
  • La valeur acquise est ce que vaut le capital au bout de n périodes.
  • La valeur actuelle est ce que vaut aujourd'hui une somme qu'on recevra (ou paiera) plus tard.

2. Intérêts simples et intérêts composés

Intérêts simples. Les intérêts sont calculés chaque période sur le capital de départ seulement. Au bout de n périodes : I = C0 × t × n et Cn = C0(1 + nt). La suite (Cn) est arithmétique de raison C0 t.

Intérêts composés. À la fin de chaque période, les intérêts sont ajoutés au capital (on dit qu'ils sont « capitalisés ») et produisent eux-mêmes des intérêts. Chaque période, le capital est multiplié par 1 + t :

Cn+1 = Cn(1 + t), donc Cn = C0(1 + t)n.

La suite (Cn) est géométrique de raison 1 + t.

Exemple

Le placement de Kadiatou : C_0 = 2 000 000 GNF, t = 0,05, n = 4 ans.

Contrat A (intérêts simples) : C_4 = 2 000 000 × (1 + 4 × 0,05) = 2 000 000 × 1,2 = 2 400 000 GNF.

Contrat B (intérêts composés) : C_4 = 2 000 000 × 1,05⁴ = 2 000 000 × 1,21550625 = 2 431 012,50 GNF.

Le contrat B rapporte 31 012,50 GNF de plus. L'écart grandit avec la durée.

Valeur actuelle d'une somme future. Si l'on veut disposer de Cn dans n périodes, il faut placer aujourd'hui :

C0 = Cn(1 + t)-n = Cn(1 + t)n.

Durée de placement. Pour trouver n, on utilise le logarithme népérien : (1 + t)n ≥ k ⇔ n ln(1 + t) ≥ ln k ⇔ n ≥ ln kln(1 + t) (car ln(1 + t) > 0).

Exemple

Au bout de combien d'années un capital placé à 5 % composés a-t-il doublé ?

On cherche le plus petit entier n tel que C_0 × 1,05ⁿ ≥ 2C_0, soit 1,05ⁿ ≥ 2.

n ln(1,05) ≥ ln 2, donc n ≥ ln 2 / ln 1,05 ≈ 0,6931 / 0,0488 ≈ 14,2.

Il faut 15 années. (Contrôle : 1,05¹⁴ ≈ 1,98 < 2 et 1,05¹⁵ ≈ 2,08 ≥ 2.)

3. Taux équivalents

Deux taux sont équivalents s'ils donnent la même valeur acquise sur la même durée. Si ta est le taux annuel et tm le taux mensuel équivalent :

(1 + tm)12 = 1 + ta, donc tm = (1 + ta)112 - 1.

Par exemple, un taux de 1 % par mois correspond à un taux annuel de 1,0112 - 1 ≈ 0,1268, soit environ 12,68 % et non 12 %. Inversement, 5 % par an correspond à environ 0,407 % par mois.

4. Les annuités constantes

Une suite d'annuités constantes est une suite de versements égaux a, faits à intervalles réguliers (on suppose ici en fin de période), placés au taux t par période.

Valeur acquise (juste après le dernier versement), pour n versements :

Vn = a + a(1 + t) + a(1 + t)2 + … + a(1 + t)n-1.

Le dernier versement n'a rien rapporté, le premier a rapporté pendant n - 1 périodes. C'est la somme de n termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison 1 + t :

Vn = a × (1 + t)n - 1t.

Valeur actuelle (une période avant le premier versement) : on ramène chaque versement à aujourd'hui.

V0 = a(1+t)-1 + a(1+t)-2 + … + a(1+t)-n = a × 1 - (1 + t)-nt.

On vérifie que Vn = V0(1 + t)n.

  1. 1Versement 1 en fin d'année 1 : il rapporte pendant n − 1 ans et vaut a(1 + t)^(n−1).
  2. 2Versement 2 en fin d'année 2 : il vaut a(1 + t)^(n−2) à la fin.
  3. 3Et ainsi de suite, chaque versement rapportant un an de moins.
  4. 4Dernier versement en fin d'année n : il vaut a, il n'a rien rapporté.
  5. 5Total : somme géométrique de raison 1 + t, soit V_n = a[(1 + t)^n − 1]/t.
Pourquoi la valeur acquise d'annuités est une somme de suite géométrique.

Exemple

Ibrahima verse 500 000 GNF à la fin de chaque année pendant 5 ans sur un compte à 6 % composés.

V_5 = 500 000 × (1,06⁵ − 1)/0,06 = 500 000 × (1,3382255776 − 1)/0,06 ≈ 500 000 × 5,63709 ≈ 2 818 546,48 GNF.

Il a versé 5 × 500 000 = 2 500 000 GNF ; les intérêts représentent donc environ 318 546 GNF.

5. Rembourser un emprunt

Quand on emprunte une somme V0 au taux t et qu'on rembourse par n annuités constantes a, la somme empruntée est la valeur actuelle des annuités :

V0 = a × 1 - (1 + t)-nt, donc a = V0 × t1 - (1 + t)-n.

Chaque annuité se partage en deux parties :

  • l'intérêt de la période : Ik = (capital restant dû au début) × t ;
  • l'amortissement : Ak = a - Ik, la part qui rembourse vraiment la dette.

On range ces calculs dans un tableau d'amortissement.

Méthode

Pour un emprunt remboursé par annuités constantes :

  1. J'écris V_0 (somme empruntée), t (taux par période, en décimal) et n (nombre de versements).
  2. Je calcule a = V_0 × t / [1 − (1 + t)^(−n)].
  3. Ligne 1 du tableau : intérêt I_1 = V_0 × t ; amortissement A_1 = a − I_1 ; capital restant = V_0 − A_1.
  4. Je recommence chaque ligne avec le nouveau capital restant dû.
  5. Contrôle : à la dernière ligne, le capital restant dû vaut 0 (aux arrondis près).
  6. Coût total du crédit (total des intérêts) : n × a − V_0.

Exemple

Lansana emprunte 10 000 000 GNF à 8 % par an, remboursables en 5 annuités constantes.

a = 10 000 000 × 0,08 / (1 − 1,08⁻⁵) = 800 000 / (1 − 0,680583) ≈ 2 504 564,55 GNF.

AnnéeCapital dû au débutIntérêtAmortissementCapital dû à la fin
110 000 000,00800 000,001 704 564,558 295 435,45
28 295 435,45663 634,841 840 929,716 454 505,74
36 454 505,74516 360,461 988 204,094 466 301,65

Coût total du crédit : 5 × 2 504 564,55 − 10 000 000 ≈ 2 522 822,75 GNF.

On remarque que les amortissements augmentent et que les intérêts diminuent d'une année à l'autre.

Remarque : les amortissements successifs forment une suite géométrique de raison 1 + t ; ici 1 704 564,55 × 1,08 ≈ 1 840 929,71.

3Je retiens

Je retiens

Intérêts simples : C_n = C_0(1 + nt) (suite arithmétique).

Intérêts composés : C_n = C_0(1 + t)ⁿ (suite géométrique de raison 1 + t).

Valeur actuelle d'une somme future : C_0 = C_n(1 + t)⁻ⁿ.

Taux mensuel équivalent : (1 + t_m)¹² = 1 + t_a.

Valeur acquise de n annuités a : V_n = a[(1 + t)ⁿ − 1]/t.

Valeur actuelle de n annuités a : V_0 = a[1 − (1 + t)⁻ⁿ]/t.

Annuité d'un emprunt V_0 : a = V_0 × t/[1 − (1 + t)⁻ⁿ] ; intérêt = capital dû × t ; amortissement = a − intérêt.

Durée : n ≥ ln k / ln(1 + t).

4Erreurs fréquentes

  • Écrire le taux en pourcentage dans la formule : pour 6 %, on écrit t = 0,06, et le facteur est 1,06, pas 6 ni 1,6.
  • Diviser un taux annuel par 12 pour avoir le taux mensuel équivalent : c'est faux avec des intérêts composés, il faut (1 + t_a)^(1/12) − 1.
  • Mélanger valeur acquise et valeur actuelle : pour un emprunt, c'est toujours la valeur actuelle qui est égale à la somme empruntée.
  • Arrondir trop tôt : garde au moins 6 chiffres après la virgule pour (1 + t)ⁿ, sinon les montants en GNF sont faux de plusieurs milliers.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Fanta place 1 000 000 GNF pendant 10 ans au taux annuel de 4 %.

a) Calcule la valeur acquise à intérêts simples.

b) Calcule la valeur acquise à intérêts composés (arrondie au franc).

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) C10 = 1 000 000 × (1 + 10 × 0,04) = 1 400 000 GNF.

b) C10 = 1 000 000 × 1,0410 ≈ 1 000 000 × 1,480244 = 1 480 244 GNF. Les intérêts composés rapportent environ 80 244 GNF de plus.

2Exercice 2

Sékou veut disposer de 5 000 000 GNF dans 3 ans pour payer une formation. Quelle somme doit-il placer aujourd'hui à 6 % composés par an ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

C0 = 5 000 0001,063 = 5 000 0001,191016 ≈ 4 198 096 GNF. Il doit placer environ 4 198 096 GNF aujourd'hui.

3Exercice 3

Un capital est placé à 8 % composés par an. Au bout de combien d'années aura-t-il triplé ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

On cherche n tel que 1,08n ≥ 3 : n ≥ ln 3ln 1,08 ≈ 1,09860,0770 ≈ 14,27. Il faut 15 ans. (Contrôle : 1,0814 ≈ 2,94 < 3 et 1,0815 ≈ 3,17 ≥ 3.)

4Exercice 4

Aïssatou verse 3 000 000 GNF à la fin de chaque année pendant 6 ans, à 7 % composés. Calcule la valeur acquise juste après le dernier versement et le montant total des intérêts.

Voir le corrigéCacher le corrigé

V6 = 3 000 000 × 1,076 - 10,07 = 3 000 000 × 1,500730 - 10,07 ≈ 3 000 000 × 7,153291 ≈ 21 459 872 GNF.

Versements : 6 × 3 000 000 = 18 000 000 GNF. Intérêts : environ 21 459 872 - 18 000 000 = 3 459 872 GNF.

5Exercice 5

(Type BAC) Un groupement de femmes de Kankan emprunte 6 000 000 GNF pour acheter un moulin. Le prêt est remboursé en 12 mensualités constantes, au taux de 1 % par mois.

a) Calcule la mensualité a (arrondie au franc).

b) Remplis les deux premières lignes du tableau d'amortissement.

c) Calcule le coût total du crédit.

d) Quel est le taux annuel équivalent à 1 % par mois ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) a = 6 000 000 × 0,011 - 1,01-12 = 60 0001 - 0,887449 = 60 0000,112551 ≈ 533 093 GNF.

b)

MoisCapital dû au débutIntérêtAmortissementCapital dû à la fin
16 000 00060 000473 0935 526 907
25 526 90755 269477 8245 049 083

(Intérêt du mois 2 : 5 526 907 × 0,01 ≈ 55 269 ; amortissement : 533 093 - 55 269 = 477 824.)

c) Coût total : 12 × 533 093 - 6 000 000 = 6 397 116 - 6 000 000 = 397 116 GNF.

d) 1,0112 - 1 ≈ 0,1268, soit environ 12,68 % par an.

Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.

6Je vérifie

Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.

1Un capital C0 placé à 3 % composés pendant 5 ans devient :
Voir la réponse

Réponse B : C0 × 1,035. À intérêts composés, on multiplie par 1 + t = 1,03 chaque année, donc par 1,035 en 5 ans.

2Avec des intérêts simples, la suite des capitaux est :
Voir la réponse

Réponse A : arithmétique. On ajoute chaque année le même intérêt C0 t.

3Pour un emprunt, la somme empruntée est égale :
Voir la réponse

Réponse B : à la valeur actuelle des annuités. Les remboursements futurs, ramenés à la date de l'emprunt, doivent valoir exactement la somme prêtée.

4Dans une annuité de remboursement, l'amortissement est :
Voir la réponse

Réponse B : la partie de l'annuité qui rembourse le capital. Amortissement = annuité − intérêt de la période.

5Un taux de 2 % par mois correspond à un taux annuel :
Voir la réponse

Réponse B : supérieur à 24 %. 1,0212 ≈ 1,268 : le taux annuel équivalent est d'environ 26,8 %, car les intérêts se composent chaque mois.

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