Karamö, le prof virtuelLeçon 27 sur 33
Le pourcentage d'évolution
Je sais calculer un taux d'évolution, utiliser le coefficient multiplicateur, enchaîner des évolutions successives, trouver une évolution réciproque, un taux moyen et un indice.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un taux d'évolution entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée
- Passer d'un taux au coefficient multiplicateur et inversement
- Calculer le taux global d'évolutions successives et le taux réciproque
- Calculer un taux moyen et utiliser les indices base 100
Avant de commencer : Les fractions, les pourcentages, les puissances et les racines n-ièmes (puissance 1/n), ainsi que les suites géométriques.
1Je découvre
Au marché Madina, Mamadou vend du riz. En janvier, le sac de 25 kg coûtait 250 000 GNF. En mars, il est passé à 280 000 GNF. En juin, après une bonne récolte, il est redescendu à 252 000 GNF.
Sa cliente Hawa s'étonne : « Le prix a augmenté de 30 000 puis baissé de 28 000 : il devrait être revenu presque à son niveau de départ, non ? » Or 252 000 GNF, c'est encore plus que 250 000.
Mamadou veut aussi comparer avec un autre produit : le bidon d'huile est passé de 180 000 GNF à 198 000 GNF. Laquelle des deux hausses est la plus forte, en proportion ?
Pour répondre, il ne suffit pas de regarder les différences en francs : il faut raisonner en pourcentages d'évolution.
Comment mesurer une hausse ou une baisse en pourcentage, et comment enchaîner plusieurs évolutions ?
2Je comprends
1. Le taux d'évolution
Quand une grandeur passe d'une valeur de départ VD (non nulle) à une valeur d'arrivée VA :
- la variation absolue est VA - VD (en francs, en tonnes…) ;
- le taux d'évolution (ou variation relative) est t = VA - VDVD.
On l'exprime le plus souvent en pourcentage (t × 100). Si t > 0, c'est une hausse ; si t < 0, c'est une baisse.
Exemple
Prix du sac de riz et du bidon d'huile.
Riz, de janvier à mars : t = (280 000 − 250 000)/250 000 = 30 000/250 000 = 0,12, soit une hausse de 12 %.
Riz, de mars à juin : t = (252 000 − 280 000)/280 000 = −28 000/280 000 = −0,10, soit une baisse de 10 %.
Huile : t = (198 000 − 180 000)/180 000 = 18 000/180 000 = 0,10, soit une hausse de 10 %.
La hausse du riz (12 %) est plus forte en proportion que celle de l'huile (10 %).
La baisse de juin (−10 %) est calculée sur 280 000 GNF, un nombre plus grand que 250 000 : c'est pourquoi le prix ne revient pas à son niveau de départ.
2. Le coefficient multiplicateur
Augmenter une valeur de t (écrit en décimal), c'est la multiplier par 1 + t ; la diminuer de t, c'est la multiplier par 1 - t. Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur CM :
VA = VD × CM, avec CM = 1 + t (où t est négatif pour une baisse).
| Évolution | +12 \% | +100 \% | -10 \% | -35 \% |
|---|---|---|---|---|
| Coefficient | 1,12 | 2 | 0,90 | 0,65 |
Inversement : t = CM - 1. Un coefficient de 1,07 correspond à +7 \% ; un coefficient de 0,85 correspond à -15 \%.
Un CM supérieur à 1 traduit une hausse, un CM entre 0 et 1 traduit une baisse.
Le coefficient permet aussi de retrouver la valeur de départ : VD = VACM.
3. Évolutions successives
Si une grandeur subit plusieurs évolutions successives de taux t1, t2, …, tn, le coefficient global est le produit des coefficients :
CMglobal = (1 + t1)(1 + t2)⋯(1 + tn) et tglobal = CMglobal - 1.
On ne additionne jamais les pourcentages successifs.
Exemple
Le riz : +12 % puis −10 %.
CM global = 1,12 × 0,90 = 1,008, donc t global = +0,8 %.
Contrôle : 250 000 × 1,008 = 252 000 GNF. C'est bien le prix de juin.
Autre exemple : +20 % puis −20 %. CM = 1,2 × 0,8 = 0,96 : c'est une baisse globale de 4 %, et non une évolution nulle.
4. Évolution réciproque
L'évolution réciproque est celle qui ramène la valeur d'arrivée à la valeur de départ. Son coefficient est l'inverse du coefficient de départ :
CM' = 1CM et t' = 11 + t - 1.
Après une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % pour revenir au départ, car 11,25 = 0,8. Après une baisse de 20 %, il faut une hausse de 25 %.
5. Taux moyen
Si une grandeur a évolué globalement avec un coefficient CM en n périodes, le taux moyen par période est le taux tm qui, appliqué n fois, donne la même évolution globale :
(1 + tm)n = CM, donc tm = CM1n - 1.
Ce n'est pas le taux global divisé par n.
Méthode
Pour traiter un problème d'évolutions :
- Je transforme chaque pourcentage en coefficient multiplicateur (1 + t ou 1 − t).
- Pour des évolutions successives, je multiplie les coefficients.
- Pour revenir en arrière, je prends l'inverse du coefficient.
- Pour un taux moyen sur n périodes, je calcule CM^(1/n).
- Je repasse au pourcentage : t = CM − 1, puis × 100, et je conclus par une phrase (hausse ou baisse).
Exemple
Une production augmente globalement de 33,1 % en 3 ans. Quel est le taux annuel moyen ?
CM = 1,331 et n = 3. t_m = 1,331^(1/3) − 1 = 1,1 − 1 = 0,1.
Le taux annuel moyen est de 10 % (et non 33,1/3 ≈ 11,03 %).
Contrôle : 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331.
- 1Valeur de départ : 100
- 2Année 1 : × 1,1 → 110
- 3Année 2 : × 1,1 → 121
- 4Année 3 : × 1,1 → 133,1
- 5Bilan : + 33,1 % en 3 ans, soit 10 % par an en moyenne
6. Les indices base 100
Pour comparer facilement l'évolution d'une grandeur, on lui donne la valeur 100 à une date de référence. L'indice à une autre date est :
I = 100 × VVréférence.
Un indice de 115 signifie une hausse de 15 % depuis la date de référence. Un indice de 92 signifie une baisse de 8 %.
Pour le riz (base 100 en janvier) : en mars, I = 100 × 280 000250 000 = 112 ; en juin, I = 100 × 252 000250 000 = 100,8.
Attention : entre deux indices, l'écart en « points » n'est pas un pourcentage. Passer de l'indice 112 à l'indice 100,8, c'est une baisse de 11,2 points, mais de 10 % en taux d'évolution.
3Je retiens
Je retiens
Taux d'évolution : t = (V_A − V_D)/V_D ; on multiplie par 100 pour l'avoir en %.
Coefficient multiplicateur : CM = 1 + t ; V_A = V_D × CM ; t = CM − 1.
Hausse de t % : CM = 1 + t/100 ; baisse de t % : CM = 1 − t/100.
Évolutions successives : on multiplie les coefficients, on n'additionne pas les pourcentages.
Évolution réciproque : CM' = 1/CM.
Taux moyen sur n périodes : t_m = CM^(1/n) − 1.
Indice base 100 : I = 100 × V / V_référence.
4Erreurs fréquentes
- Diviser par la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de départ : le taux se calcule toujours par rapport à la valeur de départ.
- Additionner des pourcentages successifs : +20 % puis −20 % ne donne pas 0 %, mais −4 %.
- Croire qu'une baisse de 20 % s'annule par une hausse de 20 % : il faut une hausse de 25 %.
- Calculer le taux moyen en divisant le taux global par le nombre d'années : on doit utiliser la racine n-ième (puissance 1/n).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le taux d'évolution (en %) dans chaque cas.
a) Le prix d'un sac de ciment passe de 80 000 GNF à 92 000 GNF.
b) Le nombre de clients d'une boutique passe de 250 à 215.
c) La production d'une rizière passe de 3,2 tonnes à 4 tonnes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) t = 92 000 - 80 00080 000 = 12 00080 000 = 0,15 : hausse de 15 %.
b) t = 215 - 250250 = -35250 = -0,14 : baisse de 14 %.
c) t = 4 - 3,23,2 = 0,83,2 = 0,25 : hausse de 25 %.
2Exercice 2
a) Un téléphone coûte 1 200 000 GNF. Son prix augmente de 15 %. Quel est le nouveau prix ?
b) Un pagne coûte 450 000 GNF. Il est soldé à −8 %. Quel est son prix soldé ?
c) Après une hausse de 20 %, un kilo de viande coûte 60 000 GNF. Quel était son prix avant la hausse ?
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a) 1 200 000 × 1,15 = 1 380 000 GNF.
b) 450 000 × 0,92 = 414 000 GNF.
c) VD = 60 0001,2 = 50 000 GNF. (Et non 60 000 × 0,8 = 48 000.)
3Exercice 3
Le prix d'un produit augmente de 10 %, puis de 5 %, puis baisse de 12 %. Calcule le taux d'évolution global.
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CM = 1,10 × 1,05 × 0,88 = 1,0164, donc t = 0,0164 : hausse globale de 1,64 %.
4Exercice 4
a) Après une baisse de 20 %, quel taux faut-il appliquer pour revenir au prix initial ?
b) Une grandeur a augmenté globalement de 46,41 % en 4 ans. Calcule le taux annuel moyen.
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a) CM' = 10,8 = 1,25 : il faut une hausse de 25 %.
b) CM = 1,4641 ; tm = 1,464114 - 1 = 1,1 - 1 = 0,1, soit 10 % par an. (Contrôle : 1,14 = 1,4641.)
5Exercice 5
(Type BAC) Le chiffre d'affaires d'une coopérative de Kindia, en millions de GNF, a évolué ainsi :
| Année | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|
| Chiffre d'affaires | 400 | 460 | 437 | 524,4 |
a) Calcule le taux d'évolution d'une année à l'autre.
b) Calcule les indices base 100 en 2021.
c) Calcule le taux d'évolution global de 2021 à 2024, puis le taux annuel moyen (arrondi à 0,01 %).
d) Si ce taux moyen se maintient, quel chiffre d'affaires peut-on prévoir pour 2025 (arrondi au million) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2021 → 2022 : 460 - 400400 = 0,15, soit +15 \%.
2022 → 2023 : 437 - 460460 = -23460 = -0,05, soit -5 \%.
2023 → 2024 : 524,4 - 437437 = 87,4437 = 0,2, soit +20 \%.
b) Indices : 2021 : 100 ; 2022 : 100 × 460400 = 115 ; 2023 : 100 × 437400 = 109,25 ; 2024 : 100 × 524,4400 = 131,1.
c) CMglobal = 524,4400 = 1,311 (on retrouve 1,15 × 0,95 × 1,2 = 1,311) : hausse globale de 31,1 %.
Taux moyen sur 3 ans : tm = 1,31113 - 1 ≈ 1,0945 - 1 = 0,0945, soit environ 9,45 % par an.
d) 524,4 × 1,31113 ≈ 524,4 × 1,09446 ≈ 573,9 : environ 574 millions de GNF en 2025.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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