Karamö, le prof virtuelLeçon 30 sur 33
Le dénombrement
Je sais compter méthodiquement le nombre de possibilités d'une situation en choisissant le bon outil : principe multiplicatif, p-listes, arrangements, permutations ou combinaisons.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le cardinal d'un ensemble, d'une réunion et le principe multiplicatif
- Calculer des p-listes, des arrangements, des permutations et des combinaisons
- Reconnaître le type de tirage (successif avec ou sans remise, simultané) et l'outil adapté
- Utiliser les propriétés des combinaisons et le triangle de Pascal
Avant de commencer : Les ensembles (réunion, intersection, complémentaire), le calcul sur les entiers et les fractions.
1Je découvre
Le bureau des élèves du lycée de Mamou doit être renouvelé. Dix élèves de Terminale sont candidats. Le proviseur explique deux façons de procéder :
- Option 1 : on élit un président, un secrétaire et un trésorier. Les postes sont différents : si Aïssatou est présidente et Lansana secrétaire, ce n'est pas la même chose que l'inverse.
- Option 2 : on désigne simplement un comité de trois délégués, sans postes.
Sékou, le surveillant, veut préparer toutes les combinaisons possibles sur des papiers. Il demande : « Combien de papiers dois-je écrire dans chaque cas ? » S'il essaie d'écrire toutes les possibilités à la main, il en oubliera ou en comptera deux fois.
Il lui faut une méthode de comptage sûre. C'est le dénombrement, qui servira aussi pour calculer des probabilités.
Comment compter rapidement et sans erreur le nombre de façons de choisir ou de ranger des objets ?
2Je comprends
1. Cardinal d'un ensemble
Le cardinal d'un ensemble fini E, noté card(E), est son nombre d'éléments.
Pour deux ensembles finis A et B :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B).
On retire l'intersection car ses éléments ont été comptés deux fois.
Si A est une partie de E, son complémentaire A vérifie : card(A) = card(E) - card(A).
Exemple
Dans une classe de 40 élèves, 25 jouent au football, 18 au basket et 10 pratiquent les deux.
card(F ∪ B) = 25 + 18 − 10 = 33 élèves pratiquent au moins l'un des deux sports.
Ceux qui ne pratiquent aucun des deux : 40 − 33 = 7 élèves.
Football seulement : 25 − 10 = 15 ; basket seulement : 18 − 10 = 8.
2. Le principe multiplicatif
Si une situation se décompose en étapes successives, avec n1 choix à la première étape, n2 choix à la deuxième, …, nk à la dernière (le nombre de choix à chaque étape ne dépendant pas des choix précédents), alors le nombre total de possibilités est :
n1 × n2 × … × nk.
On l'illustre souvent par un arbre de choix.
Par exemple, un restaurant de Kindia propose 3 entrées, 4 plats (riz sauce arachide, riz sauce feuille, fonio, poisson braisé) et 2 desserts. Un menu complet se choisit de 3 × 4 × 2 = 24 façons.
3. Les p-listes (tirages successifs avec remise)
Une p-liste d'un ensemble E à n éléments est une liste ordonnée de p éléments de E, pouvant se répéter. Leur nombre est :
np.
C'est le cas des tirages successifs avec remise et des codes. Un cadenas à 4 chiffres (de 0 à 9) a 104 = 10 000 codes possibles.
4. Les arrangements (tirages successifs sans remise)
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une liste ordonnée de p éléments distincts. Leur nombre est :
Anp = n × (n - 1) × … × (n - p + 1) = n!(n - p)! (p facteurs).
La notation n! se lit « factorielle n » : n! = 1 × 2 × 3 × … × n, avec la convention 0! = 1. Par exemple 5! = 120.
C'est le cas des tirages successifs sans remise et des classements (podium, postes différents).
5. Les permutations
Une permutation de n éléments est un arrangement de ces n éléments : c'est une façon de les ranger tous dans un ordre. Leur nombre est :
n! = Ann.
Cinq élèves peuvent s'aligner pour une photo de 5! = 120 façons.
6. Les combinaisons (tirages simultanés)
Une combinaison de p éléments parmi n est une partie (un sous-ensemble) de p éléments : l'ordre ne compte pas et il n'y a pas de répétition. Leur nombre est :
Cnp = Anpp! = n!p! (n - p)!.
On divise par p! car chaque groupe de p éléments peut être rangé de p! façons, qui donnent le même groupe.
Propriétés :
- Cn0 = Cnn = 1 et Cn1 = n ;
- Cnp = Cnn-p (choisir les p qu'on garde revient à choisir les n - p qu'on laisse) ;
- relation de Pascal : Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p.
La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme de celui qui est au-dessus et de celui qui est au-dessus à gauche.
| n \ p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Ces nombres sont aussi les coefficients du binôme de Newton : (a + b)n = Σp=0n Cnp an-p bp ; par exemple (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Exemple
Retour au bureau des élèves (10 candidats).
Option 1 (président, secrétaire, trésorier) : l'ordre compte, pas de répétition. A_10^3 = 10 × 9 × 8 = 720 bureaux possibles.
Option 2 (comité de 3 sans postes) : l'ordre ne compte pas. C_10^3 = 720/3! = 720/6 = 120 comités possibles.
Chaque comité de 3 correspond à 6 bureaux, selon la répartition des postes.
7. Choisir le bon outil
- 1Question 1 : l'ordre compte-t-il ? (postes, classement, tirage successif, code)
- 2Si l'ordre ne compte pas (groupe, tirage simultané, poignée) : combinaisons C_n^p.
- 3Si l'ordre compte : question 2, les répétitions sont-elles possibles ?
- 4Répétitions possibles (avec remise, code) : p-listes n^p.
- 5Pas de répétition (sans remise, postes distincts) : arrangements A_n^p.
- 6Tous les éléments rangés : permutations n!.
| Type de tirage de p objets parmi n | Ordre | Répétition | Nombre de tirages |
|---|---|---|---|
| Successifs avec remise | oui | oui | np |
| Successifs sans remise | oui | non | Anp |
| Simultanés | non | non | Cnp |
Méthode
Pour résoudre un problème de dénombrement :
- Je repère l'ensemble de départ et son nombre d'éléments n, et le nombre p d'éléments choisis.
- Je me demande si l'ordre compte et si les répétitions sont permises (tableau ci-dessus).
- Si la condition porte sur plusieurs catégories (couleurs, filles et garçons), je multiplie les choix faits dans chaque catégorie.
- Pour « au moins un », je calcule souvent le total moins le cas contraire (« aucun »).
- Je vérifie que le résultat est un entier raisonnable (il ne peut pas dépasser le total).
Exemple
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules.
Nombre total de tirages : C_8^3 = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 336/6 = 56.
Exactement 2 rouges (donc 1 verte) : C_5^2 × C_3^1 = 10 × 3 = 30.
Aucune verte (3 rouges) : C_5^3 = 10. Donc au moins une verte : 56 − 10 = 46.
Si l'on tire successivement sans remise : A_8^3 = 336 tirages ; avec remise : 8³ = 512 tirages.
3Je retiens
Je retiens
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) ; card(Ā) = card(E) − card(A).
Principe multiplicatif : n_1 × n_2 × … × n_k.
p-listes (ordre, répétitions) : n^p.
Arrangements (ordre, sans répétition) : A_n^p = n!/(n − p)! = n(n − 1)…(n − p + 1).
Permutations : n! ; convention 0! = 1.
Combinaisons (sans ordre) : C_n^p = n!/[p!(n − p)!].
C_n^p = C_n^(n−p) ; relation de Pascal : C_n^p = C_(n−1)^(p−1) + C_(n−1)^p.
Successifs avec remise → n^p ; successifs sans remise → A_n^p ; simultanés → C_n^p.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser des arrangements pour un tirage simultané : dans une poignée de boules, l'ordre ne compte pas, il faut C_n^p.
- Additionner au lieu de multiplier : pour choisir 2 rouges ET 1 verte, on multiplie C_5^2 × C_3^1.
- Compter « au moins un » cas par cas et en oublier : il est plus sûr de faire total − aucun.
- Oublier que 0! = 1 : C_n^n = n!/(n! × 0!) = 1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Hawa possède 4 pagnes, 3 foulards et 2 paires de sandales. De combien de façons peut-elle s'habiller en choisissant un pagne, un foulard et une paire de sandales ?
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Principe multiplicatif : 4 × 3 × 2 = 24 tenues.
2Exercice 2
Calcule : a) 6! ; b) A72 ; c) C94 ; d) C1210.
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a) 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720.
b) A72 = 7 × 6 = 42.
c) C94 = 9 × 8 × 7 × 64 × 3 × 2 × 1 = 3 02424 = 126.
d) C1210 = C122 = 12 × 112 = 66.
3Exercice 3
Une association de 12 membres, à Nzérékoré, veut :
a) élire un président, un secrétaire et un trésorier (trois personnes différentes) ;
b) former une commission de 3 membres ;
c) former une commission de 3 membres dont fait obligatoirement partie la présidente sortante.
Dénombre les possibilités dans chaque cas.
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a) L'ordre compte (postes différents), sans répétition : A123 = 12 × 11 × 10 = 1 320.
b) L'ordre ne compte pas : C123 = 1 3206 = 220.
c) La présidente sortante est déjà choisie ; il reste à choisir 2 membres parmi les 11 autres : C112 = 11 × 102 = 55.
4Exercice 4
Avec les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 :
a) combien de nombres de 3 chiffres peut-on écrire ?
b) combien de nombres de 3 chiffres tous différents ?
c) combien de nombres de 3 chiffres différents qui sont pairs ?
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a) Chaque chiffre peut se répéter : 53 = 125 nombres.
b) Chiffres tous différents : A53 = 5 × 4 × 3 = 60 nombres.
c) Le chiffre des unités doit être pair : 2 ou 4, soit 2 choix. Il reste ensuite 4 chiffres pour les centaines et 3 pour les dizaines : 2 × 4 × 3 = 24 nombres.
5Exercice 5
(Type BAC) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires, indiscernables au toucher.
- On tire simultanément 3 boules.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de tirages contiennent 3 boules blanches ? exactement une boule blanche ? au moins une boule blanche ?
c) Combien de tirages contiennent des boules toutes de la même couleur ?
- On tire maintenant 3 boules successivement. Combien y a-t-il de tirages possibles si les tirages se font sans remise ? avec remise ?
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- a) Tirage simultané de 3 boules parmi 10 : C103 = 10 × 9 × 86 = 120.
b) 3 blanches : C43 = 4.
Exactement une blanche (donc 2 noires) : C41 × C62 = 4 × 15 = 60.
Au moins une blanche : total moins « aucune blanche » (3 noires) : 120 - C63 = 120 - 20 = 100.
c) Toutes blanches ou toutes noires : C43 + C63 = 4 + 20 = 24.
- Sans remise : A103 = 10 × 9 × 8 = 720. Avec remise : 103 = 1 000.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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