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Leçon 33 sur 33

Variable aléatoire : loi de probabilité et espérance

Je sais définir une variable aléatoire, établir sa loi de probabilité, calculer son espérance, sa variance et son écart-type, et interpréter l'espérance (jeu équitable, gain moyen).

1 h
5 exercices corrigés
1 schéma
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Définir une variable aléatoire et déterminer les valeurs qu'elle prend
Établir et présenter la loi de probabilité d'une variable aléatoire, et sa fonction de répartition
Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type
Interpréter l'espérance pour décider si un jeu est favorable, défavorable ou équitable

Avant de commencer : Les leçons « Probabilités : généralités » et « Probabilités (suite) », le dénombrement et le calcul de la moyenne et de la variance en statistique.

1Je découvre

Pour financer la sortie de fin d'année, le club de lecture d'un lycée de Labé organise un jeu à la kermesse. Le joueur paie 1 000 GNF et lance un dé équilibré :

s'il obtient 6, il reçoit 4 000 GNF ;
s'il obtient 5, il reçoit 1 000 GNF (il récupère sa mise) ;
sinon, il ne reçoit rien.

Mariama, trésorière du club, se demande : « Sur un grand nombre de parties, le club va-t-il gagner de l'argent ? Combien, en moyenne, par partie ? »

Ce qui intéresse Mariama, ce n'est pas le résultat du dé en lui-même, mais le gain qui y est associé : un nombre qui dépend du hasard. On l'appelle une variable aléatoire. Sa « moyenne sur un grand nombre de parties » s'appelle son espérance.

Comment décrire un gain (ou toute quantité) qui dépend du hasard, et comment prévoir sa valeur moyenne ?

2Je comprends

1. Variable aléatoire

Une variable aléatoire X est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

On note X(Ω) = {x₁ ; x₂ ; … ; x_n} l'ensemble des valeurs prises par X, et (X = x_i) l'événement « X prend la valeur x_i ».

Pour le jeu du club, notons X le gain algébrique du joueur en milliers de GNF (ce qu'il reçoit moins sa mise) :

s'il obtient 6 : X = 4 - 1 = 3 ;
s'il obtient 5 : X = 1 - 1 = 0 ;
s'il obtient 1, 2, 3 ou 4 : X = 0 - 1 = -1.

Donc X(Ω) = {-1 ; 0 ; 3}. Un gain négatif est une perte.

2. Loi de probabilité

La loi de probabilité de X est la donnée de chaque valeur x_i et de sa probabilité p_i = P(X = x_i). On la présente dans un tableau :

x_i	-1	0	3	Total
P(X = x_i)	46	16	16	1

La somme des probabilités vaut toujours 1 : c'est un contrôle indispensable.

Méthode

Pour établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire :

Je décris l'expérience et l'univers Ω (avec son cardinal si équiprobabilité).
Je détermine toutes les valeurs possibles de X, rangées dans l'ordre croissant.
Pour chaque valeur x_i, je décris l'événement (X = x_i) et je calcule sa probabilité (dénombrement, arbre…).
Je présente les résultats dans un tableau.
Je vérifie que la somme des probabilités fait 1.

3. Espérance, variance, écart-type

Les formules ressemblent à celles de la statistique, en remplaçant les fréquences par les probabilités.

Espérance mathématique :

E(X) = x₁ p₁ + x₂ p₂ + … + x_n p_n = Σ x_i p_i.

C'est la valeur moyenne de X quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

Variance :

V(X) = Σ x_i² p_i - [E(X)]².

Écart-type :

σ(X) = √V(X). Il mesure la dispersion des valeurs de X autour de l'espérance (le « risque »).

Propriétés utiles : pour des réels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a² V(X).

Interprétation pour un jeu (où X est le gain du joueur) :

E(X) > 0 : jeu favorable au joueur ;
E(X) < 0 : jeu défavorable au joueur (favorable à l'organisateur) ;
E(X) = 0 : jeu équitable.

Exemple

Le jeu du club de lecture (X en milliers de GNF).

E(X) = (−1) × 4/6 + 0 × 1/6 + 3 × 1/6 = −4/6 + 3/6 = −1/6 ≈ −0,167.

Le joueur perd en moyenne environ 167 GNF par partie : le jeu est défavorable au joueur, donc le club gagne en moyenne environ 167 GNF par partie. Sur 300 parties, le club peut espérer environ 300 × 167 ≈ 50 000 GNF.

Variance : Σx_i²p_i = 1 × 4/6 + 0 + 9 × 1/6 = 13/6.

V(X) = 13/6 − (−1/6)² = 78/36 − 1/36 = 77/36 ≈ 2,139 ; σ(X) = √(77/36) ≈ 1,462 (milliers de GNF).

Loi du gain du joueur au jeu du club : la perte de 1 000 GNF est de loin la plus probable, ce qui rend l'espérance négative.

Exemple

Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire simultanément 3 boules. X est le nombre de boules vertes obtenues.

card(Ω) = C_8^3 = 56. X(Ω) = {0 ; 1 ; 2 ; 3}.

P(X = 0) = C_5^3/56 = 10/56 ; P(X = 1) = C_5^2 × C_3^1/56 = 30/56 ;

P(X = 2) = C_5^1 × C_3^2/56 = 15/56 ; P(X = 3) = C_3^3/56 = 1/56.

Contrôle : 10 + 30 + 15 + 1 = 56.

E(X) = (0 × 10 + 1 × 30 + 2 × 15 + 3 × 1)/56 = 63/56 = 9/8 = 1,125 boule verte en moyenne.

Σx_i²p_i = (30 + 60 + 9)/56 = 99/56 ; V(X) = 99/56 − (9/8)² = 225/448 ≈ 0,502 ; σ(X) ≈ 0,709.

4. Fonction de répartition

La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur ℝ par F(x) = P(X ≤ x). On l'obtient en cumulant les probabilités, comme les fréquences cumulées en statistique. C'est une fonction « en escalier », croissante, qui vaut 0 avant la plus petite valeur et 1 après la plus grande.

Pour le nombre de boules vertes :

x	x < 0	0 ≤ x < 1	1 ≤ x < 2	2 ≤ x < 3	x ≥ 3
F(x)	0	1056	4056	5556	1

Par exemple, P(X ≤ 1) = F(1) = 4056 = 57 et P(X ≥ 2) = 1 - F(1) = 27.

5. Un cas particulier : la loi binomiale

Si X compte le nombre de succès lors de n épreuves identiques et indépendantes de probabilité de succès p (leçon précédente), on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p :

P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^n-k, pour k = 0, 1, …, n.

On admet alors que E(X) = np et V(X) = np(1 - p).

Si Alpha tire 10 fois au but avec une probabilité de succès 0,7 à chaque tir (tirs indépendants), il marque en moyenne E(X) = 10 × 0,7 = 7 buts, et V(X) = 10 × 0,7 × 0,3 = 2,1.

3Je retiens

Je retiens

Variable aléatoire X : associe un nombre réel à chaque issue.

Loi de X : tableau des valeurs x_i et des probabilités p_i = P(X = x_i), avec Σp_i = 1.

Espérance : E(X) = Σ x_i p_i (valeur moyenne à long terme).

Variance : V(X) = Σ x_i² p_i − [E(X)]² ; écart-type : σ(X) = √V(X).

E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a²V(X).

Jeu : E(gain) > 0 favorable, < 0 défavorable, = 0 équitable.

Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x), en escalier, de 0 à 1.

Loi binomiale (n ; p) : P(X = k) = C_n^k p^k(1 − p)^(n−k) ; E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).

4Erreurs fréquentes

Oublier de retirer la mise pour calculer un gain : si on paie 1 000 GNF et qu'on reçoit 4 000 GNF, le gain est 3 000 GNF.
Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1 : une valeur oubliée fausse toute la suite.
Calculer la variance avec Σx_i p_i au lieu de Σx_i² p_i, ou oublier de soustraire [E(X)]².
Croire que l'espérance est une valeur que X prend forcément : E(X) = 1,125 boule verte n'est jamais obtenu lors d'un tirage, c'est une moyenne.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Une variable aléatoire X a la loi suivante :

x_i	1	2	3	4
P(X = x_i)	0,1	0,3	a	0,2

a) Calcule a.

b) Calcule E(X), V(X) et σ(X).

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) 0,1 + 0,3 + a + 0,2 = 1, donc a = 0,4.

b) E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,4 + 4 × 0,2 = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7.

Σ x_i² p_i = 0,1 + 1,2 + 3,6 + 3,2 = 8,1, donc V(X) = 8,1 - 2,7² = 8,1 - 7,29 = 0,81 et σ(X) = √0,81 = 0,9.

2Exercice 2

On lance deux pièces équilibrées. X est le nombre de « pile » obtenus.

a) Donne la loi de probabilité de X.

b) Calcule E(X) et interprète.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) Ω = {PP ; PF ; FP ; FF}, 4 issues équiprobables. P(X = 0) = 14 ; P(X = 1) = 24 = 12 ; P(X = 2) = 14.

b) E(X) = 0 × 14 + 1 × 12 + 2 × 14 = 1 : en moyenne, on obtient un « pile » par lancer des deux pièces.

3Exercice 3

Un sac contient 2 jetons rouges et 8 jetons blancs. Un joueur paie une mise de m GNF et tire un jeton au hasard. S'il tire un jeton rouge, il reçoit 5 000 GNF ; sinon il ne reçoit rien. On note G le gain algébrique du joueur.

a) Donne la loi de G en fonction de m.

b) Calcule E(G).

c) Pour quelle mise le jeu est-il équitable ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) Tirage au hasard : P(rouge) = 210 = 0,2 et P(blanc) = 0,8.

G = 5 000 - m avec la probabilité 0,2 ; G = -m avec la probabilité 0,8.

b) E(G) = 0,2(5 000 - m) + 0,8(-m) = 1 000 - 0,2m - 0,8m = 1 000 - m.

c) Le jeu est équitable si E(G) = 0, soit m = 1 000 GNF.

4Exercice 4

Un paysan de Faranah sème des graines de riz. Chaque graine germe avec la probabilité 0,8, indépendamment des autres. Il observe 10 graines ; X est le nombre de graines qui germent.

a) Quelle est la loi de X ?

b) Calcule E(X) et V(X).

c) Calcule P(X = 10) (arrondi à 0,001).

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (germe ou non) avec p = 0,8 : X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,8.

b) E(X) = 10 × 0,8 = 8 graines ; V(X) = 10 × 0,8 × 0,2 = 1,6.

c) P(X = 10) = 0,8¹⁰ ≈ 0,107.

5Exercice 5

(Type BAC) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules. X est le nombre de boules blanches obtenues.

a) Détermine la loi de probabilité de X.

b) Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de X.

c) Détermine la fonction de répartition de X et calcule P(X ≥ 2).

d) Pour jouer, on paie 2 000 GNF ; on reçoit 2 000 GNF par boule blanche obtenue. On note G le gain algébrique. Exprime G en fonction de X, calcule E(G) et dis si le jeu est favorable au joueur.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) card(Ω) = C₁₀³ = 120 (équiprobabilité). X(Ω) = {0 ; 1 ; 2 ; 3}.

P(X = 0) = C₆³120 = 20120 ; P(X = 1) = C₄¹ C₆²120 = 60120 ; P(X = 2) = C₄² C₆¹120 = 36120 ; P(X = 3) = C₄³120 = 4120.

Contrôle : 20 + 60 + 36 + 4 = 120.

b) E(X) = 0 + 60 + 72 + 12120 = 144120 = 1,2.

Σ x_i² p_i = 0 + 60 + 144 + 36120 = 240120 = 2, donc V(X) = 2 - 1,2² = 0,56 et σ(X) = √0,56 ≈ 0,748.

c) F(x) = 0 si x < 0 ; 20120 = 16 si 0 ≤ x < 1 ; 80120 = 23 si 1 ≤ x < 2 ; 116120 = 2930 si 2 ≤ x < 3 ; 1 si x ≥ 3.

P(X ≥ 2) = 1 - F(1) = 1 - 23 = 13 (ou 36 + 4120 = 40120).

d) G = 2 000X - 2 000. E(G) = 2 000 E(X) - 2 000 = 2 000 × 1,2 - 2 000 = 400 GNF. E(G) > 0 : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne 400 GNF par partie.

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