Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 13
Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération
Je sais écrire le vecteur position d'un mobile dans un repère et en déduire, par dérivation, son vecteur vitesse et son vecteur accélération.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire le vecteur position et ses coordonnées dans un repère
- Définir et calculer le vecteur vitesse moyenne et le vecteur vitesse instantanée
- Calculer le vecteur accélération et sa norme
- Trouver l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires
Avant de commencer : La leçon « Notions de cinématique » (référentiel, repère, trajectoire, vitesse moyenne), les vecteurs dans un repère et la dérivée d'un polynôme.
1Je découvre
Sur le terrain de football du lycée, à Kankan, Ousmane frappe le ballon. Le ballon monte, ralentit en montant, puis redescend en accélérant avant de toucher le sol plus loin. Son camarade Alpha filme la scène et relève, image après image, la position du ballon sur un quadrillage.
Avec ces relevés, Alpha peut dire où se trouve le ballon à chaque instant. Mais il veut en savoir plus : dans quelle direction va le ballon à un instant donné ? À quelle vitesse ? Et comment cette vitesse change-t-elle ? Une seule valeur, comme la vitesse moyenne de la leçon précédente, ne suffit plus : il faut aussi une direction et un sens. C'est exactement ce que donne un vecteur.
Comment utiliser des vecteurs pour décrire à chaque instant la position, la vitesse et la variation de vitesse d'un mobile ?
2Je comprends
1. Le vecteur position
On étudie le mouvement d'un point M dans un référentiel auquel on associe un repère orthonormé (O ; i , j) (et k si le mouvement se fait dans l'espace).
La position du mobile à la date t est donnée par le vecteur position :
OM = x i + y j
Les nombres x(t) et y(t) sont les coordonnées de M. Les relations qui donnent x et y en fonction du temps s'appellent les équations horaires du mouvement.
La distance entre O et M est la norme du vecteur position :
OM = √x2 + y2 (en mètres).
L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps t entre x(t) et y(t) : on exprime t en fonction de x, puis on remplace dans y(t).
2. Le vecteur vitesse moyenne
Entre deux dates t1 et t2, le mobile passe de M1 à M2. Le vecteur vitesse moyenne est :
vm = M1M2t2 - t1 = Δ OMΔ t
Il a la même direction et le même sens que le vecteur déplacement M1M2.
3. Le vecteur vitesse instantanée
Si l'on rapproche de plus en plus t2 de t1, le vecteur vitesse moyenne tend vers le vecteur vitesse instantanée. Mathématiquement, c'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
v = dOMdt, soit vx = dxdt = dotx et vy = dydt = doty.
Caractéristiques du vecteur vitesse à la date t :
- point d'application : la position M du mobile à cette date ;
- direction : la tangente à la trajectoire en M ;
- sens : celui du mouvement ;
- norme (valeur) : v = √vx2 + vy2, en m/s.
4. Le vecteur accélération
Le vecteur vitesse peut changer (en valeur ou en direction). Cette variation est mesurée par le vecteur accélération, dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
a = dvdt, soit ax = dvxdt et ay = dvydt.
Sa norme est a = √ax2 + ay2 et son unité est le mètre par seconde carrée (m/s² ou m·s⁻²).
Une accélération de 2 m/s² signifie que la vitesse varie de 2 m/s à chaque seconde.
- 1Équations horaires : x(t) et y(t) donnent le vecteur position OM
- 2On dérive une fois : vx = dx/dt et vy = dy/dt donnent le vecteur vitesse
- 3On dérive encore : ax = dvx/dt et ay = dvy/dt donnent le vecteur accélération
- 4Normes : OM, v et a se calculent avec la racine carrée de la somme des carrés
5. Rappel des dérivées utiles
| Fonction de t | Dérivée |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| at | a |
| at2 | 2at |
| at2 + bt + c | 2at + b |
Méthode
Pour étudier un mouvement à partir des équations horaires :
- J'écris les coordonnées x(t) et y(t) du vecteur position.
- Je dérive chaque coordonnée : j'obtiens vx(t) et vy(t).
- Je dérive encore : j'obtiens ax(t) et ay(t).
- Je remplace t par la date demandée et je calcule chaque norme avec la racine carrée.
- Si on me demande la trajectoire, j'élimine t entre x et y.
Exemple
Un mobile se déplace dans le plan. Ses équations horaires (en unités SI) sont : x = 2t + 1 et y = t².
a) Position à t = 2 s :
x = 2 × 2 + 1 = 5 m ; y = 2² = 4 m. OM = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6,40 m.
b) Vitesse :
vx = 2 ; vy = 2t. À t = 2 s : vx = 2 m/s, vy = 4 m/s.
v = √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,47 m/s.
c) Accélération :
ax = 0 ; ay = 2. Donc a = 2 m/s², constante.
d) Trajectoire :
x = 2t + 1 donne t = (x − 1)/2. Donc y = (x − 1)²/4. La trajectoire est une parabole.
Exemple
Même mobile. Calcule le vecteur vitesse moyenne entre t₁ = 1 s et t₂ = 3 s.
À t₁ = 1 s : M₁ (3 ; 1). À t₂ = 3 s : M₂ (7 ; 9).
Vecteur déplacement M₁M₂ : (7 − 3 ; 9 − 1) = (4 ; 8).
Vecteur vitesse moyenne : (4/2 ; 8/2) = (2 ; 4) en m/s.
Norme : √(4 + 16) = √20 ≈ 4,47 m/s.
Remarque : on retrouve ici la vitesse instantanée à t = 2 s, au milieu de l'intervalle (cela arrive quand l'accélération est constante).
Exemple
Mouvement sur un seul axe : x(t) = −t² + 4t + 2 (SI).
v(t) = −2t + 4 et a = −2 m/s².
À t = 1 s : x = −1 + 4 + 2 = 5 m ; v = 2 m/s ; a = −2 m/s².
Le mobile s'arrête quand v = 0 : −2t + 4 = 0, donc t = 2 s. Il est alors en x = −4 + 8 + 2 = 6 m, puis il repart dans l'autre sens.
6. Ce que dit l'accélération
- Si a = 0 en permanence, le vecteur vitesse est constant : le mouvement est rectiligne et uniforme (leçon suivante).
- Sur une droite, si v et a ont le même signe, le mobile accélère ; s'ils sont de signes contraires, il ralentit (on dit qu'il décélère). Dans le troisième exemple, à t = 1 s, v > 0 et a < 0 : le mobile ralentit.
3Je retiens
Je retiens
Vecteur position : OM = x i + y j ; norme OM = √(x² + y²).
Équations horaires : x(t) et y(t). Trajectoire : on élimine t entre x et y.
Vecteur vitesse moyenne : vm = M₁M₂ / (t₂ − t₁).
Vecteur vitesse : v = dOM/dt ; vx = dx/dt, vy = dy/dt ; tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; v = √(vx² + vy²) en m/s.
Vecteur accélération : a = dv/dt ; ax = dvx/dt, ay = dvy/dt ; a = √(ax² + ay²) en m/s².
Sur un axe : v et a de même signe, le mobile accélère ; de signes contraires, il ralentit.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les coordonnées au lieu de calculer la norme : pour vx = 3 et vy = 4, v = √(9 + 16) = 5 m/s, et non 7 m/s.
- Oublier de dériver : la vitesse n'est pas x/t quand le mouvement n'est pas uniforme ; on dérive x(t).
- Dessiner le vecteur vitesse vers le centre ou en travers de la courbe : il est toujours tangent à la trajectoire.
- Croire qu'une accélération négative veut toujours dire « ralentir » : il faut comparer son signe à celui de la vitesse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Les équations horaires d'un mobile sont x = 3t et y = 4t (SI).
a) Calcule les coordonnées et la norme du vecteur position à t = 2 s.
b) Calcule le vecteur vitesse et sa norme. Varie-t-elle ?
c) Calcule l'accélération.
d) Donne l'équation de la trajectoire et sa nature.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 3 × 2 = 6 m ; y = 4 × 2 = 8 m. OM = √36 + 64 = √100 = 10 m.
b) vx = 3 m/s et vy = 4 m/s. v = √9 + 16 = 5 m/s. Elle ne varie pas : elle est constante.
c) ax = 0 et ay = 0 : a = 0.
d) t = x3, donc y = 4 × x3 = 43x. La trajectoire est une portion de droite passant par O.
2Exercice 2
Un mobile se déplace sur un axe selon x(t) = 5t2 - 2t + 1 (SI).
a) Exprime v(t) et a(t).
b) Calcule x, v et a à t = 1 s.
c) À quelle date la vitesse est-elle nulle ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v(t) = 10t - 2 ; a = 10 m/s².
b) x(1) = 5 - 2 + 1 = 4 m ; v(1) = 10 - 2 = 8 m/s ; a = 10 m/s².
c) 10t - 2 = 0 donne t = 0,2 s.
3Exercice 3
Entre t1 = 1 s et t2 = 3 s, un mobile passe du point M1(1 ; 2) au point M2(4 ; 6) (coordonnées en mètres).
a) Calcule les coordonnées du vecteur déplacement M1M2 et sa norme.
b) Calcule le vecteur vitesse moyenne et sa norme.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) M1M2 (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4). M1M2 = √9 + 16 = 5 m.
b) Δ t = 3 - 1 = 2 s. vm (1,5 ; 2) en m/s. Norme : vm = 52 = 2,5 m/s (on vérifie : √2,25 + 4 = √6,25 = 2,5).
4Exercice 4
Un mobile a pour équations horaires x = 2t2 et y = 3t (SI).
a) Établis l'équation de la trajectoire.
b) Calcule la vitesse à t = 1 s.
c) Calcule l'accélération. Est-elle constante ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) t = y3, donc x = 2 × y29 = 29y2. C'est une parabole.
b) vx = 4t et vy = 3. À t = 1 s : vx = 4 m/s, vy = 3 m/s, v = √16 + 9 = 5 m/s.
c) ax = 4 m/s² et ay = 0. a = 4 m/s², constante.
5Exercice 5
(Type BAC) Un ballon frappé par Ousmane a pour équations horaires, dans un repère lié au sol : x = 2t et y = -5t2 + 10t (SI).
a) Donne la position du ballon à t = 0 et à t = 1 s.
b) Exprime les coordonnées du vecteur vitesse. Calcule sa norme à t = 0 et à t = 1 s.
c) Que vaut vy à t = 1 s ? Qu'en déduis-tu sur la position du ballon ?
d) Calcule le vecteur accélération. Quelles sont sa direction, son sens et sa valeur ?
e) Établis l'équation de la trajectoire et calcule l'abscisse du point où le ballon retombe au sol (y = 0).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) À t = 0 : x = 0 et y = 0 : le ballon est à l'origine. À t = 1 s : x = 2 m et y = -5 + 10 = 5 m.
b) vx = 2 et vy = -10t + 10. À t = 0 : vx = 2, vy = 10, v = √4 + 100 = √104 ≈ 10,2 m/s. À t = 1 s : vx = 2, vy = 0, v = 2 m/s.
c) vy = 0 : le ballon ne monte plus et ne descend pas encore. Il est au sommet de sa trajectoire, à 5 m de hauteur.
d) ax = 0 et ay = -10 m/s². Le vecteur accélération est vertical, dirigé vers le bas, de valeur 10 m/s², constant.
e) t = x2, donc y = -5x24 + 10x2 = -54x2 + 5x (parabole). y = 0 donne x(-54x + 5) = 0, soit x = 0 (départ) ou x = 4 m. Le ballon retombe à 4 m du point de départ (à t = 2 s).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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