Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 13
Mouvement rectiligne uniformément varié
Je sais reconnaître un mouvement rectiligne uniformément varié, utiliser ses trois équations et calculer une distance de freinage ou une durée de chute.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement rectiligne uniformément varié (accéléré ou retardé)
- Utiliser les équations horaires v(t) et x(t)
- Appliquer la relation indépendante du temps v² − v₀² = 2a(x − x₀)
- Résoudre des problèmes de démarrage, de freinage et de chute libre
Avant de commencer : Les leçons sur les vecteurs vitesse et accélération et sur le mouvement rectiligne uniforme ; la dérivée d'un polynôme du second degré.
1Je découvre
Au carrefour de Hamdallaye, le feu passe au vert. Ibrahima, sur sa moto, démarre : sa vitesse augmente régulièrement, seconde après seconde. Un peu plus loin, un enfant traverse avec son troupeau de moutons : Ibrahima freine et sa vitesse diminue régulièrement jusqu'à l'arrêt.
Au même moment, dans une cour voisine, une mangue mûre se détache de l'arbre et tombe : elle aussi va de plus en plus vite.
Dans ces trois cas, la trajectoire est droite, mais la vitesse n'est pas constante : ce n'est plus un mouvement uniforme. Pourtant, la vitesse varie à chaque seconde de la même quantité. La grande question pour la sécurité routière est : quelle distance faut-il à Ibrahima pour s'arrêter ?
Comment décrire un mouvement rectiligne dont la vitesse varie régulièrement, et comment calculer une distance de freinage ?
2Je comprends
1. Définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) si :
- sa trajectoire est une droite ;
- son vecteur accélération est constant (et non nul) : a = overrightarrowconstante.
Sur l'axe (O ; i) porté par la trajectoire, l'accélération a est un nombre constant : la vitesse varie de la même quantité a à chaque seconde.
2. Les équations horaires
On note v0 la vitesse et x0 l'abscisse à la date t = 0.
- Accélération : a = constante.
- Vitesse : v(t) = a t + v0.
- Position : x(t) = 12a t2 + v0 t + x0.
Vérification par dérivation : la dérivée de x(t) est a t + v0 = v(t), et la dérivée de v(t) est a. Tout est cohérent.
Relation indépendante du temps. En éliminant t entre les deux équations, on obtient une relation très utile quand on ne connaît pas la durée :
v2 - v02 = 2a (x - x0)
3. Accéléré ou retardé ?
On compare le signe de la vitesse et celui de l'accélération (on regarde le produit a × v) :
- a × v > 0 : la valeur de la vitesse augmente, le mouvement est uniformément accéléré ;
- a × v < 0 : la valeur de la vitesse diminue, le mouvement est uniformément retardé (ou décéléré).
Un même mouvement peut être d'abord retardé, puis accéléré : c'est le cas d'une pierre lancée vers le haut qui monte en ralentissant, s'arrête, puis redescend en accélérant.
4. Les graphes du MRUV
- a(t) : droite horizontale.
- v(t) : droite de pente a et d'ordonnée à l'origine v0.
- x(t) : arc de parabole.
Sur le graphe v(t), l'aire comprise entre la droite et l'axe des temps est égale à la distance parcourue.
5. Un cas important : la chute libre
Un objet qui tombe sous le seul effet de son poids (on néglige l'air) est en chute libre. Son accélération est l'accélération de la pesanteur g, verticale, vers le bas. Sa valeur est d'environ 9,8 m/s² à la surface de la Terre ; dans les exercices, on prend souvent g = 10 m/s² pour simplifier.
Pour un objet lâché sans vitesse d'une hauteur h, avec un axe vertical orienté vers le bas et l'origine au point de départ :
v = g t ; x = 12g t2 ; durée de chute t = √2hg ; vitesse à l'arrivée v = √2gh.
Méthode
Pour résoudre un problème de MRUV :
- Je choisis un axe (origine, sens positif) et l'origine des dates.
- J'identifie x₀, v₀ et a avec leurs signes (a < 0 si la force de freinage est dans le sens négatif, par exemple).
- J'écris v(t) = a t + v₀ et x(t) = ½ a t² + v₀ t + x₀.
- Si la durée n'est ni donnée ni demandée, j'utilise v² − v₀² = 2a (x − x₀).
- Je calcule, j'écris l'unité, et je vérifie la cohérence (une distance de freinage est positive).
Exemple
Démarrage. Ibrahima part du repos (v₀ = 0) de l'origine, avec a = 2 m/s².
v(t) = 2t et x(t) = t².
À t = 5 s : v = 10 m/s (36 km/h) et x = 25 m.
Vérification avec la relation indépendante du temps : v² = 2 a x donne 100 = 2 × 2 × 25 = 100. Juste.
Exemple
Freinage. Une voiture roule à 72 km/h. Le conducteur freine avec une décélération de 5 m/s². Calcule la durée et la distance de freinage.
v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s ; a = −5 m/s² (le mouvement est retardé).
Durée : v = 0 donne −5t + 20 = 0, donc t = 4 s.
Distance : 0 − 20² = 2 × (−5) × d, donc −400 = −10 d et d = 40 m.
Vérification : x(4) = ½ × (−5) × 16 + 20 × 4 = −40 + 80 = 40 m.
La voiture a besoin de 40 m pour s'arrêter, sans compter la distance parcourue pendant le temps de réaction.
Exemple
Chute libre. Une mangue tombe d'une branche située à 5 m du sol. On prend g = 10 m/s².
Durée de chute : t = √(2h/g) = √(2 × 5 / 10) = √1 = 1 s.
Vitesse à l'arrivée : v = g t = 10 × 1 = 10 m/s (soit 36 km/h).
Vérification : √(2gh) = √(2 × 10 × 5) = √100 = 10 m/s.
6. Comparaison MRU et MRUV
- a = 0
- v = constante
- x = v t + x₀
- Graphe x(t) : droite
- a = constante non nulle
- v = a t + v₀
- x = ½ a t² + v₀ t + x₀
- Graphe x(t) : parabole
3Je retiens
Je retiens
MRUV : trajectoire rectiligne et accélération constante non nulle.
v(t) = a t + v₀ ; x(t) = ½ a t² + v₀ t + x₀.
Relation indépendante du temps : v² − v₀² = 2a (x − x₀).
a × v > 0 : mouvement accéléré ; a × v < 0 : mouvement retardé.
Graphe v(t) : droite de pente a ; graphe x(t) : parabole ; aire sous v(t) = distance parcourue.
Chute libre : a = g ≈ 9,8 m/s² (souvent 10 m/s²) ; départ sans vitesse : t = √(2h/g) et v = √(2gh).
4Erreurs fréquentes
- Oublier le ½ dans x = ½ a t² + v₀ t + x₀.
- Garder a positif pendant un freinage : si le mobile va dans le sens positif et ralentit, a est négatif.
- Utiliser v = d / t (formule du MRU) dans un MRUV : ce quotient donne seulement la vitesse moyenne.
- Oublier de convertir les km/h en m/s avant d'appliquer les formules avec a en m/s².
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un mobile a pour équation horaire x(t) = 2t2 - 4t + 1 (SI).
a) Identifie a, v0 et x0.
b) Écris v(t).
c) À quelle date le mobile s'arrête-t-il ? Où est-il alors ?
d) Le mouvement est-il accéléré ou retardé entre t = 0 et t = 1 s ? Et après t = 1 s ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Par identification avec x = 12at2 + v0t + x0 : 12a = 2, donc a = 4 m/s² ; v0 = -4 m/s ; x0 = 1 m.
b) v(t) = 4t - 4.
c) 4t - 4 = 0 donne t = 1 s. Position : x(1) = 2 - 4 + 1 = -1 m.
d) Entre 0 et 1 s : v < 0 et a > 0, donc a × v < 0 : mouvement retardé. Après 1 s : v > 0 et a > 0 : mouvement accéléré.
2Exercice 2
Un taxi démarre sans vitesse initiale et atteint 54 km/h en 10 s, avec une accélération constante.
a) Calcule son accélération.
b) Calcule la distance parcourue pendant ces 10 s.
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a) v = 54 ÷ 3,6 = 15 m/s. a = v - v0t = 15 - 010 = 1,5 m/s².
b) x = 12 × 1,5 × 102 = 75 m.
3Exercice 3
Une moto roule à 36 km/h. Le conducteur freine et s'arrête après avoir parcouru 12,5 m, avec une décélération constante.
a) Calcule l'accélération.
b) Calcule la durée du freinage.
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a) v0 = 36 ÷ 3,6 = 10 m/s ; v = 0 ; d = 12,5 m. 0 - 102 = 2a × 12,5, donc a = -10025 = -4 m/s².
b) 0 = -4t + 10 donne t = 2,5 s.
4Exercice 4
Alpha lâche une pierre sans vitesse du haut d'un pont. Elle touche l'eau 2 s plus tard. On néglige l'air et on prend g = 10 m/s².
a) Calcule la hauteur du pont au-dessus de l'eau.
b) Calcule la vitesse de la pierre quand elle touche l'eau.
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a) h = 12gt2 = 12 × 10 × 22 = 20 m.
b) v = gt = 10 × 2 = 20 m/s. Vérification : √2 × 10 × 20 = √400 = 20 m/s.
5Exercice 5
(Type BAC) Sur une route droite, une voiture A démarre sans vitesse du point O à t = 0, avec une accélération constante de 2 m/s². Au même instant, une moto B passe en O à la vitesse constante de 10 m/s, dans le même sens.
a) Écris les équations horaires xA(t) et xB(t).
b) À quelle date et à quelle distance de O la voiture rattrape-t-elle la moto ?
c) Quelle est alors la vitesse de la voiture, en m/s puis en km/h ?
d) Exprime la distance D(t) = xB - xA avant le rattrapage. À quelle date est-elle la plus grande ? Calcule-la.
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a) xA(t) = 12 × 2 × t2 = t2 ; xB(t) = 10t (SI).
b) t2 = 10t donne t(t - 10) = 0 : t = 0 (départ, les deux sont en O) ou t = 10 s. Le rattrapage a lieu à t = 10 s, à x = 10 × 10 = 100 m de O.
c) vA = 2t = 20 m/s, soit 20 × 3,6 = 72 km/h.
d) D(t) = 10t - t2. Sa dérivée 10 - 2t s'annule pour t = 5 s : c'est l'instant où les deux véhicules ont la même vitesse (10 m/s). D(5) = 50 - 25 = 25 m : la plus grande distance entre eux est 25 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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