Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 27
Le triangle rectangle : trigonométrie
Je sais utiliser le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
- Calculer la mesure d'un angle connaissant deux côtés
- Utiliser les relations cos²x + sin²x = 1 et tan x = sin x / cos x, et les valeurs remarquables de 30°, 45° et 60°
Avant de commencer : La propriété de Pythagore, les relations métriques (10e-maths-07), les racines carrées et le calcul avec les fractions.
1Je découvre
Sékou doit repeindre le haut du mur de la mosquée de son quartier, à Dalaba. Il dispose d'une échelle de 5 m. Son oncle, maçon depuis vingt ans, lui donne un conseil de sécurité : « Pour qu'une échelle ne glisse pas et ne bascule pas en arrière, elle doit faire avec le sol un angle d'environ 75°. »
Sékou pose le pied de l'échelle à 1,3 m du mur. Le sol est horizontal, le mur est vertical : l'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. Sékou connaît deux longueurs, l'échelle (5 m) et la distance au mur (1,3 m), mais il n'a pas de rapporteur assez grand pour mesurer l'angle au sol.
La propriété de Pythagore lui permettrait de calculer la hauteur atteinte, mais pas l'angle. Il faut un outil qui relie les angles et les longueurs d'un triangle rectangle.
Comment calculer un angle à partir de deux longueurs, ou une longueur à partir d'un angle, dans un triangle rectangle ?
2Je comprends
1. Côté adjacent, côté opposé, hypoténuse
Soit ABC un triangle rectangle en A. On s'intéresse à l'angle aigu B.
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : [BC].
- Le côté adjacent à B est le côté de l'angle droit qui touche B : [AB].
- Le côté opposé à B est le côté de l'angle droit qui ne touche pas B : [AC].
Attention : si l'on regarde l'angle C, les rôles s'échangent ([AC] devient adjacent et [AB] opposé).
2. Les trois rapports trigonométriques
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos B = côté adjacenthypoténuse = ABBC
sin B = côté opposéhypoténuse = ACBC
tan B = côté opposécôté adjacent = ACAB
Une phrase pour s'en souvenir : « CAH SOH TOA » (Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent).
Ces rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle (c'est une conséquence de la propriété de Thalès). L'hypoténuse étant le plus grand côté, le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente, elle, peut être plus grande que 1.
Exemple
ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm. Calculer cos B, sin B et tan B.
cos B = AB/BC = 4/5 = 0,8.
sin B = AC/BC = 3/5 = 0,6.
tan B = AC/AB = 3/4 = 0,75.
3. Deux relations fondamentales
Pour tout angle aigu x :
cos2 x + sin2 x = 1 et tan x = sin xcos x.
Démonstration. Dans le triangle précédent, cos2 B + sin2 B = AB2BC2 + AC2BC2 = AB2 + AC2BC2 = BC2BC2 = 1, grâce à Pythagore. Et sin Bcos B = ACBC × BCAB = ACAB = tan B.
Autre propriété : les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires (B + C = 90°), et cos C = sin B, sin C = cos B.
4. Les valeurs remarquables
Elles s'obtiennent avec un demi-triangle équilatéral (30° et 60°) et un demi-carré (45°). Il faut les connaître par cœur.
| Angle x | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos x | √32 | √22 | 12 |
| sin x | 12 | √22 | √32 |
| tan x | √33 | 1 | √3 |
5. Calculer une longueur ou un angle
Méthode
Pour calculer dans un triangle rectangle avec la trigonométrie :
- Je repère l'angle droit, l'angle aigu utilisé, et je nomme les côtés : adjacent, opposé, hypoténuse.
- Je choisis le rapport (cos, sin ou tan) qui relie les deux côtés connus ou le côté connu et le côté cherché.
- J'écris l'égalité : « Dans le triangle … rectangle en …, cos … = … ».
- Pour une longueur : je remplace et je fais un produit en croix. Pour un angle : je calcule le rapport puis j'utilise la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ de la calculatrice (en mode degrés).
- J'arrondis à la fin seulement, à la précision demandée.
Exemple
ABC est rectangle en A, avec BC = 10 cm et l'angle B = 35°. Calculer AC et AB au millimètre près.
[AC] est opposé à B : sin 35° = AC/BC, donc AC = 10 × sin 35° ≈ 10 × 0,5736 ≈ 5,7 cm.
[AB] est adjacent à B : cos 35° = AB/BC, donc AB = 10 × cos 35° ≈ 10 × 0,8192 ≈ 8,2 cm.
Exemple
L'échelle de Sékou : l'échelle [BC] mesure 5 m (hypoténuse), le pied B est à 1,3 m du mur (côté adjacent [BA]).
cos B = BA/BC = 1,3/5 = 0,26.
Avec la touche cos⁻¹ : B ≈ 74,9°, soit environ 75°.
L'échelle est bien placée. La hauteur atteinte se calcule avec le sinus : AC = 5 × sin(74,9°) ≈ 4,83 m.
Exemple
Sachant que x est un angle aigu et sin x = 0,6, calculer cos x et tan x.
cos² x = 1 − sin² x = 1 − 0,36 = 0,64. Comme x est aigu, cos x > 0, donc cos x = 0,8.
tan x = sin x / cos x = 0,6/0,8 = 0,75.
3Je retiens
Je retiens
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : cos = adjacent/hypoténuse ; sin = opposé/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent (CAH SOH TOA).
Pour un angle aigu : 0 < cos x < 1 et 0 < sin x < 1.
cos² x + sin² x = 1 et tan x = sin x / cos x.
Deux angles complémentaires : le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
30° : cos = √3/2, sin = 1/2, tan = √3/3. 45° : cos = sin = √2/2, tan = 1. 60° : cos = 1/2, sin = √3/2, tan = √3.
Angle à partir d'un rapport : touches cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹, calculatrice en degrés.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle : ces définitions n'y sont pas valables.
- Se tromper de côté adjacent : il dépend de l'angle choisi. Pour l'angle C, le côté adjacent est [AC], pas [AB].
- Calculatrice en mode radians ou grades : cos 60 donne alors une valeur fausse. Vérifie que cos 60 = 0,5 avant de commencer.
- Arrondir trop tôt : on garde la valeur de la calculatrice jusqu'au bout, puis on arrondit le résultat final.
5Je m’exerce
1Exercice 1
DEF est rectangle en D, avec DE = 8 cm, DF = 6 cm et EF = 10 cm. Calcule le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle E, puis de l'angle F.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour E : adjacent [DE], opposé [DF], hypoténuse [EF].
cos E = 810 = 0,8 ; sin E = 610 = 0,6 ; tan E = 68 = 0,75.
Pour F : adjacent [DF], opposé [DE].
cos F = 610 = 0,6 ; sin F = 810 = 0,8 ; tan F = 86 = 43.
2Exercice 2
RST est rectangle en R, avec S = 40° et ST = 12 cm. Calcule RS et RT au millimètre près.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Dans RST rectangle en R : [RS] est adjacent à S et [RT] opposé.
cos 40° = RSST, donc RS = 12 cos 40° ≈ 12 × 0,7660 ≈ 9,2 cm.
sin 40° = RTST, donc RT = 12 sin 40° ≈ 12 × 0,6428 ≈ 7,7 cm.
3Exercice 3
ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule la mesure de l'angle B au dixième de degré près, puis celle de C.
Voir le corrigéCacher le corrigé
tan B = ACAB = 86 = 43. Avec la touche tan-1 : B ≈ 53,1°.
Les angles aigus sont complémentaires : C ≈ 90° - 53,1° = 36,9°.
4Exercice 4
x est un angle aigu tel que cos x = 513. Calcule la valeur exacte de sin x et de tan x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
sin2 x = 1 - cos2 x = 1 - 25169 = 144169. Comme x est aigu, sin x > 0, donc sin x = 1213.
tan x = sin xcos x = 1213 × 135 = 125.
5Exercice 5
(Type BEPC) ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 8 cm et ABC = 60°.
a) Calcule les valeurs exactes de AB et AC.
b) Calcule l'aire du triangle ABC.
c) H est le pied de la hauteur issue de A. Calcule AH de deux façons différentes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) cos 60° = ABBC, donc AB = 8 × 12 = 4 cm. sin 60° = ACBC, donc AC = 8 × √32 = 4√3 cm.
b) Aire = AB × AC2 = 4 × 4√32 = 8√3 cm².
c) Première façon : dans le triangle ABH rectangle en H, sin B = AHAB, donc AH = 4 × √32 = 2√3 cm.
Deuxième façon : AB × AC = BC × AH, donc AH = 4 × 4√38 = 2√3 cm. Les deux résultats concordent.
6Exercice 6
(Problème) Ousmane se tient à 20 m du pied d'un pylône de téléphone, près de Mamou. Il voit le sommet du pylône sous un angle de 35° par rapport à l'horizontale. Ses yeux sont à 1,5 m du sol. Calcule la hauteur du pylône au décimètre près.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On considère le triangle rectangle formé par l'œil d'Ousmane O, le point P du pylône à hauteur des yeux et le sommet S. OP = 20 m et SOP = 35°. [SP] est opposé à l'angle et [OP] adjacent :
tan 35° = SP20, donc SP = 20 tan 35° ≈ 20 × 0,7002 ≈ 14,0 m.
Hauteur du pylône : 14,0 + 1,5 = 15,5 m environ.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
