Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 27
Le calcul littéral
Je sais développer, réduire et factoriser une expression littérale, en particulier avec les identités remarquables.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer la valeur numérique d'une expression et réduire une somme de termes semblables
- Développer avec la distributivité simple et double
- Connaître et utiliser les trois identités remarquables dans les deux sens
- Factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable
Avant de commencer : Les opérations sur les nombres relatifs et les fractions, les puissances (10e-maths-02), les racines carrées (10e-maths-03).
1Je découvre
À la sortie des cours, à Siguiri, Mamadou lance un défi à son amie Fatoumata : « Calcule 102 × 102 de tête, sans poser l'opération ! » Fatoumata réfléchit une seconde et répond : « 10 404. » Mamadou vérifie sur sa calculatrice : c'est juste !
« Et 98 × 102 ? » Fatoumata répond aussitôt : « 9 996. » Encore juste.
Son secret ? Elle a écrit 102 = 100 + 2 et elle utilise des formules valables pour tous les nombres :
- (100 + 2)2 = 1002 + 2 × 100 × 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404 ;
- (100 - 2)(100 + 2) = 1002 - 22 = 10 000 - 4 = 9 996.
Ces formules s'écrivent avec des lettres, car elles marchent quels que soient les nombres. C'est tout l'intérêt du calcul littéral : calculer vite, transformer des expressions, puis résoudre des équations.
Comment transformer une expression littérale : la développer, la réduire, la factoriser, et à quoi servent les identités remarquables ?
2Je comprends
1. Expression littérale et valeur numérique
Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres, par exemple A = 2x2 - 3x + 1.
Calculer la valeur numérique de A pour x = -2, c'est remplacer x par -2, entre parenthèses :
A = 2 × (-2)2 - 3 × (-2) + 1 = 2 × 4 + 6 + 1 = 15.
2. Réduire une expression
Des termes semblables ont la même partie littérale : 3x et -7x ; 5x2 et x2. On les additionne en additionnant leurs coefficients. Réduire, c'est regrouper les termes semblables et ordonner selon les puissances décroissantes de x.
4x2 - 3x + 7 - x2 + 5x - 2 = (4 - 1)x2 + (-3 + 5)x + (7 - 2) = 3x2 + 2x + 5.
On ne peut pas additionner 3x2 et 2x : ce ne sont pas des termes semblables.
3. Développer
Développer, c'est transformer un produit en somme.
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb.
- Distributivité double : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Un signe « − » devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : -(2x - 7) = -2x + 7.
Exemple
Développer et réduire A = 3(2x − 5) − 4(x − 1) et B = (3x − 2)(x + 5).
A = 6x − 15 − 4x + 4 = 2x − 11.
B = 3x × x + 3x × 5 − 2 × x − 2 × 5
B = 3x² + 15x − 2x − 10
B = 3x² + 13x − 10.
4. Les identités remarquables
Pour tous nombres a et b :
| Nom | Forme factorisée | Forme développée |
|---|---|---|
| Carré d'une somme | (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| Carré d'une différence | (a - b)2 | a2 - 2ab + b2 |
| Produit de la somme par la différence | (a + b)(a - b) | a2 - b2 |
On les démontre en développant, par exemple : (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
La figure montre la première identité avec des aires : un carré de côté a + b se découpe en un carré a2, un carré b2 et deux rectangles ab.
Exemple
Développer C = (2x − 3)² et D = (5x + 1)(5x − 1).
C = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9.
D = (5x)² − 1² = 25x² − 1.
Attention : (2x)² = 4x², et non 2x².
5. Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est le chemin inverse du développement.
Avec un facteur commun : ka + kb = k(a + b). Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse entière.
Avec une identité remarquable : on reconnaît a2 + 2ab + b2, a2 - 2ab + b2 ou a2 - b2.
Méthode
Pour factoriser une expression :
- Je cherche d'abord un facteur commun (nombre, x, ou parenthèse qui se répète).
- S'il y en a un, je le mets devant et j'écris entre crochets ce qui reste de chaque terme.
- Sinon, je cherche une identité : deux carrés séparés par « − » donnent a² − b² ; trois termes dont deux carrés donnent peut-être (a ± b)², et je vérifie le double produit 2ab.
- Je simplifie l'intérieur des crochets.
- Je vérifie en développant mentalement le résultat.
Exemple
Factoriser E = (2x + 3)(x − 1) − (2x + 3)(4x + 5).
Le facteur commun est (2x + 3) :
E = (2x + 3)[(x − 1) − (4x + 5)]
E = (2x + 3)(x − 1 − 4x − 5)
E = (2x + 3)(−3x − 6).
On peut encore sortir −3 : E = −3(2x + 3)(x + 2).
Exemple
Factoriser F = 4x² − 49 et G = 25x² − 30x + 9.
F = (2x)² − 7² = (2x − 7)(2x + 7).
G : 25x² = (5x)² et 9 = 3². Double produit : 2 × 5x × 3 = 30x. C'est bien a² − 2ab + b² :
G = (5x − 3)².
6. Le calcul astucieux
Les identités permettent de calculer de tête :
- 1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 ;
- 492 = (50 - 1)2 = 2 500 - 100 + 1 = 2 401 ;
- 57 × 63 = (60 - 3)(60 + 3) = 3 600 - 9 = 3 591.
3Je retiens
Je retiens
Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
k(a + b) = ka + kb ; (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; −(a − b) = −a + b.
(a + b)² = a² + 2ab + b².
(a − b)² = a² − 2ab + b².
(a + b)(a − b) = a² − b².
Factoriser : chercher d'abord un facteur commun, puis une identité remarquable.
Valeur numérique : remplacer la lettre par le nombre écrit entre parenthèses.
4Erreurs fréquentes
- Écrire (a + b)² = a² + b² : on oublie le double produit. (x + 3)² = x² + 6x + 9, et non x² + 9.
- Oublier de changer les signes après un « − » : −(x − 4) = −x + 4, et non −x − 4.
- Écrire (3x)² = 3x² : le carré porte sur 3 et sur x, donc (3x)² = 9x².
- Remplacer x = −2 sans parenthèses : −2² = −4, alors que (−2)² = 4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Développe et réduis :
a) A = 3(2x - 5) - 4(x - 1) + 7
b) B = (x + 3)(2x - 1)
c) C = (2x - 3)2 - 4x2
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a) A = 6x - 15 - 4x + 4 + 7 = 2x - 4.
b) B = 2x2 - x + 6x - 3 = 2x2 + 5x - 3.
c) (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9, donc C = 4x2 - 12x + 9 - 4x2 = -12x + 9.
2Exercice 2
Factorise :
a) D = 5x2 - 15x
b) E = 9x2 - 16
c) F = x2 - 10x + 25
d) G = (x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 5)
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a) Facteur commun 5x : D = 5x(x - 3).
b) E = (3x)2 - 42 = (3x - 4)(3x + 4).
c) x2 = x2, 25 = 52 et 2 × x × 5 = 10x : F = (x - 5)2.
d) Facteur commun (x + 2) : G = (x + 2)[(3x - 1) + (x + 5)] = (x + 2)(4x + 4) = 4(x + 2)(x + 1).
3Exercice 3
Calcule de tête en utilisant une identité remarquable : 1012 ; 992 ; 52 × 48.
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1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
992 = (100 - 1)2 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
52 × 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 2 500 - 4 = 2 496.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne E = (2x + 1)2 - (x - 3)2.
a) Développe et réduis E.
b) Factorise E.
c) Calcule E pour x = 0, puis pour x = √2 (tu choisiras la forme la plus pratique).
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a) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 et (x - 3)2 = x2 - 6x + 9.
E = 4x2 + 4x + 1 - x2 + 6x - 9 = 3x2 + 10x - 8.
b) E est de la forme a2 - b2 avec a = 2x + 1 et b = x - 3 :
E = [(2x + 1) - (x - 3)][(2x + 1) + (x - 3)] = (x + 4)(3x - 2).
Vérification : (x + 4)(3x - 2) = 3x2 - 2x + 12x - 8 = 3x2 + 10x - 8.
c) Pour x = 0, avec la forme développée : E = -8.
Pour x = √2 : E = 3 × (√2)2 + 10√2 - 8 = 6 + 10√2 - 8 = -2 + 10√2.
5Exercice 5
(Problème) Hawa possède un jardin carré de côté x mètres (x > 3), à Nzérékoré. Son voisin lui propose un échange : elle allonge un côté de 3 m et raccourcit l'autre de 3 m, ce qui donne un jardin rectangulaire.
a) Exprime l'aire du nouveau jardin en fonction de x et développe-la.
b) Hawa gagne-t-elle ou perd-elle de la surface ? De combien ?
c) Compare les périmètres des deux jardins.
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a) Le nouveau jardin mesure (x + 3) m sur (x - 3) m. Son aire est (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 m².
b) L'ancien jardin avait une aire de x2 m². Hawa perd x2 - (x2 - 9) = 9 m², quelle que soit la valeur de x.
c) Ancien périmètre : 4x. Nouveau : 2[(x + 3) + (x - 3)] = 2 × 2x = 4x. Les périmètres sont égaux : il faudra la même longueur de clôture, mais la surface est plus petite. Hawa a intérêt à refuser l'échange.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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