Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 27
Les inéquations dans ℝ
Je sais résoudre une inéquation du premier degré, un système d'inéquations et une inéquation produit, et écrire les solutions sous forme d'intervalle.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser la notation des intervalles et représenter un ensemble de solutions sur une droite graduée
- Résoudre une inéquation du premier degré en respectant la règle du changement de sens
- Résoudre un système de deux inéquations
- Résoudre une inéquation produit à l'aide d'un tableau de signes
Avant de commencer : Les règles de l'ordre (10e-maths-04), les équations dans ℝ (10e-maths-11), la factorisation (10e-maths-09).
1Je découvre
C'est la rentrée à Labé. Fanta a reçu 50 000 GNF de sa mère pour acheter ses fournitures. Elle doit d'abord acheter un cahier de 200 pages à 8 000 GNF. Avec le reste, elle veut acheter le plus possible de stylos à 3 500 GNF l'un.
Elle appelle x le nombre de stylos. Elle dépense 8 000 + 3 500x GNF. Cette dépense ne doit pas dépasser 50 000 GNF. Elle n'écrit pas une égalité, mais une inégalité :
8 000 + 3 500x ≤ 50 000.
Ce n'est plus une équation : il n'y a pas une seule bonne valeur de x, mais toute une série de valeurs possibles (0 stylo, 1 stylo, 2 stylos…). Fanta veut savoir jusqu'où elle peut aller.
Comment résoudre une inéquation, et comment écrire l'ensemble de toutes ses solutions ?
2Je comprends
1. Les intervalles
Un ensemble de nombres réels « d'un seul tenant » s'appelle un intervalle. Le crochet est tourné vers le nombre s'il est compris, tourné vers l'extérieur s'il est exclu. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.
| Inégalité | Intervalle | Se lit |
|---|---|---|
| 2 ≤ x ≤ 5 | [2 ; 5] | intervalle fermé de 2 à 5 |
| 2 < x < 5 | ]2 ; 5[ | intervalle ouvert de 2 à 5 |
| 2 < x ≤ 5 | ]2 ; 5] | ouvert en 2, fermé en 5 |
| x ≥ 2 | [2 ; +∞[ | de 2 à plus l'infini |
| x < 5 | ]-∞ ; 5[ | de moins l'infini à 5 exclu |
2. Résoudre une inéquation du premier degré
Une inéquation d'inconnue x est une inégalité (<, >, ≤ , ≥ ) qui contient x. La résoudre dans ℝ, c'est trouver tous les réels qui la vérifient.
On utilise les mêmes transformations que pour une équation, avec une règle en plus :
- ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres : le sens ne change pas ;
- multiplier ou diviser par un même nombre positif : le sens ne change pas ;
- multiplier ou diviser par un même nombre négatif : le sens change.
Méthode
Pour résoudre une inéquation du premier degré :
- Je développe et je réduis chaque membre (je supprime les fractions en multipliant par un dénominateur commun positif).
- Je regroupe les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre.
- Je divise par le coefficient de x : si ce coefficient est négatif, je change le sens de l'inégalité.
- J'écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
- Je le représente sur une droite graduée en hachurant ce qui n'est pas solution (ou en coloriant ce qui est solution).
Exemple
Résoudre 3x − 5 > 7 et −2x + 3 ≤ 11.
3x > 7 + 5, donc 3x > 12. On divise par 3 (positif) : x > 4. S = ]4 ; +∞[.
−2x ≤ 11 − 3, donc −2x ≤ 8. On divise par −2 (négatif), le sens change : x ≥ −4. S = [−4 ; +∞[.
Exemple
Retour aux stylos de Fanta : 8 000 + 3 500x ≤ 50 000.
3 500x ≤ 42 000, donc x ≤ 12.
Le nombre de stylos est un entier positif : Fanta peut acheter de 0 à 12 stylos, au maximum 12.
Vérification : 8 000 + 3 500 × 12 = 8 000 + 42 000 = 50 000. Elle dépense exactement ses 50 000 GNF.
Exemple
Résoudre (x + 1)/2 − x/3 < 1.
On multiplie par 6 (positif) : 3(x + 1) − 2x < 6, soit 3x + 3 − 2x < 6, donc x < 3.
S = ]−∞ ; 3[.
3. Les systèmes d'inéquations
Résoudre un système de deux inéquations, c'est chercher les réels qui vérifient les deux à la fois. On résout chaque inéquation, puis on prend la partie commune (l'intersection) des deux ensembles de solutions.
Exemple
Résoudre le système : 2x − 1 > 3 et x + 4 ≤ 10.
Première inéquation : 2x > 4, donc x > 2.
Seconde inéquation : x ≤ 6.
Les réels qui vérifient les deux sont ceux tels que 2 < x ≤ 6. S = ]2 ; 6].
4. Les inéquations produits : le tableau de signes
Pour résoudre une inéquation comme (x - 2)(3 - x) ≥ 0, on étudie le signe de chaque facteur, puis celui du produit avec la règle des signes.
Le signe de ax + b (avec a ≠ 0) change en x = -ba : il est du signe de a à droite de cette valeur, et du signe contraire à gauche.
- x - 2 s'annule en 2 ; a = 1 > 0 : négatif avant 2, positif après.
- 3 - x s'annule en 3 ; a = -1 < 0 : positif avant 3, négatif après.
| x | -∞ … 2 | 2 … 3 | 3 … +∞ |
|---|---|---|---|
| x - 2 | - | + | + |
| 3 - x | + | + | - |
| (x - 2)(3 - x) | - | + | - |
Le produit est nul en 2 et en 3, et positif entre les deux. Donc (x - 2)(3 - x) ≥ 0 pour S = [2 ; 3].
3Je retiens
Je retiens
Crochet tourné vers le nombre : compris. Crochet tourné vers l'extérieur : exclu. Toujours ouvert en +∞ et −∞.
Ajouter, retrancher, multiplier ou diviser par un positif : le sens ne change pas.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.
Système : solutions communes aux deux inéquations (intersection des intervalles).
ax + b a le signe de a à droite de −b/a, le signe contraire à gauche.
Inéquation produit : tableau de signes, puis lecture des intervalles qui conviennent.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par un négatif : −3x < 6 donne x > −2, et non x < −2.
- Mal orienter les crochets : x ≥ 4 s'écrit [4 ; +∞[, et non ]4 ; +∞[ ni [4 ; +∞].
- Réunir au lieu d'intersecter dans un système : les solutions doivent vérifier les deux inéquations à la fois.
- Oublier le sens du problème : un nombre de stylos ou de personnes est un entier positif.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ et donne les solutions sous forme d'intervalle :
a) 5x + 2 ≥ 17
b) 4 - 3x > 10
c) 2(x - 1) ≤ 5x + 7
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5x ≥ 15, donc x ≥ 3. S = [3 ; +∞[.
b) -3x > 6. On divise par -3 (négatif), le sens change : x < -2. S = ]-∞ ; -2[.
c) 2x - 2 ≤ 5x + 7, donc -3x ≤ 9. On divise par -3 : x ≥ -3. S = [-3 ; +∞[.
2Exercice 2
Résous dans ℝ : 2x - 13 ≥ x + 22.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On multiplie par 6 (positif) : 2(2x - 1) ≥ 3(x + 2), soit 4x - 2 ≥ 3x + 6, donc x ≥ 8. S = [8 ; +∞[.
3Exercice 3
On considère le système : 3x - 2 < 10 et -x + 1 ≤ 4.
a) Résous le système et représente l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
b) Donne tous les nombres entiers solutions du système.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x < 12, donc x < 4. -x ≤ 3, donc (division par -1) x ≥ -3. Les solutions communes vérifient -3 ≤ x < 4 : S = [-3 ; 4[. Sur la droite graduée, on colorie de -3 (crochet fermé) à 4 (crochet ouvert).
b) Les entiers solutions sont : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (4 est exclu).
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne E = (x + 1)2 - 4.
a) Factorise E.
b) Résous l'équation E = 0.
c) Dresse le tableau de signes de E, puis résous l'inéquation E ≤ 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = (x + 1)2 - 22 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = (x - 1)(x + 3).
b) E = 0 ⇔ x - 1 = 0 ou x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ou x = -3. S = {-3 ; 1}.
c) x - 1 est négatif avant 1 et positif après ; x + 3 est négatif avant -3 et positif après.
| x | -∞ … -3 | -3 … 1 | 1 … +∞ |
|---|---|---|---|
| x + 3 | - | + | + |
| x - 1 | - | - | + |
| E | + | - | + |
E ≤ 0 entre -3 et 1, bornes comprises (car E s'y annule) : S = [-3 ; 1].
5Exercice 5
(Problème) À Kindia, Ibrahima se rend au lycée en taxi-moto. Deux conducteurs lui proposent :
- offre A : 5 000 GNF par trajet ;
- offre B : un forfait de 30 000 GNF par mois, plus 3 000 GNF par trajet.
On note x le nombre de trajets dans le mois.
a) Exprime le prix payé avec chaque offre en fonction de x.
b) À partir de combien de trajets par mois l'offre B est-elle strictement moins chère ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Offre A : 5 000x GNF. Offre B : 30 000 + 3 000x GNF.
b) On résout 30 000 + 3 000x < 5 000x, soit 30 000 < 2 000x, donc x > 15.
L'offre B est strictement moins chère à partir de 16 trajets par mois. Vérification : pour 16 trajets, A coûte 80 000 GNF et B coûte 30 000 + 48 000 = 78 000 GNF. Pour 15 trajets, les deux offres coûtent 75 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
