Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 27
Les équations dans ℝ
Je sais résoudre dans ℝ une équation du premier degré, une équation avec des fractions ou un quotient, et mettre un problème en équation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, y compris les cas sans solution ou avec une infinité de solutions
- Résoudre une équation qui contient des fractions en réduisant au même dénominateur
- Résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites
- Mettre en équation et résoudre un problème concret
Avant de commencer : Le calcul littéral (10e-maths-09) et les équations produits (10e-maths-10), les opérations sur les fractions.
1Je découvre
Au marché de Kankan, Mariama fait les courses pour la famille. Elle achète 3 kg de riz et 2 litres d'huile. Le litre d'huile coûte 25 000 GNF. À la caisse, elle paie 74 000 GNF au total, mais elle a oublié de demander le prix du kilogramme de riz.
Sa petite sœur Hawa, élève de 10e année, prend son cahier. Elle appelle x le prix d'un kilogramme de riz, en GNF. Le riz coûte 3x, l'huile coûte 2 × 25 000 = 50 000 GNF, et le total fait 74 000 GNF. Elle écrit :
3x + 50 000 = 74 000.
Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de x qui rend cette égalité vraie. Hawa sait qu'il existe d'autres équations plus compliquées : avec des fractions, avec x au dénominateur, ou même sans aucune solution.
Comment résoudre ces différentes équations, et comment traduire un problème de la vie courante en équation ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
Une équation d'inconnue x est une égalité qui contient x. Une solution est un nombre qui, mis à la place de x, rend l'égalité vraie. Résoudre dans ℝ l'équation, c'est trouver toutes ses solutions réelles ; on les regroupe dans l'ensemble des solutions S.
Deux équations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions. On passe d'une équation à une équation équivalente :
- en ajoutant ou retranchant le même nombre (ou la même expression) aux deux membres ;
- en multipliant ou divisant les deux membres par le même nombre non nul.
En pratique, on dit qu'un terme « change de membre en changeant de signe ».
2. L'équation du premier degré ax + b = 0
- Si a ≠ 0 : une seule solution, x = -ba.
- Si a = 0 et b = 0 : l'équation s'écrit 0x = 0, tout réel est solution : S = ℝ.
- Si a = 0 et b ≠ 0 : l'équation s'écrit 0x = -b avec -b ≠ 0, aucun réel n'est solution : S = ∅.
- 1Développer et réduire chaque membre.
- 2Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
- 3Réduire : on obtient ax = c.
- 4Si a ≠ 0, diviser par a : x = c/a. Sinon, conclure S = ℝ ou S = ∅.
- 5Vérifier en remplaçant x dans l'équation de départ, puis écrire S.
Exemple
Résoudre 5x − 7 = 2x + 8, puis l'équation de Hawa : 3x + 50 000 = 74 000.
5x − 2x = 8 + 7, donc 3x = 15, donc x = 5. S = {5}.
Vérification : 5 × 5 − 7 = 18 et 2 × 5 + 8 = 18.
3x = 74 000 − 50 000 = 24 000, donc x = 8 000.
Le kilogramme de riz coûte 8 000 GNF.
Exemple
Résoudre 2(x + 3) = 2x + 6 et 3x + 1 = 3(x − 2).
Première : 2x + 6 = 2x + 6, soit 2x − 2x = 6 − 6, donc 0x = 0. Tout réel convient : S = ℝ.
Seconde : 3x + 1 = 3x − 6, soit 0x = −7. C'est impossible : S = ∅.
3. Équations avec des fractions
Quand l'équation contient des fractions à dénominateurs numériques, on multiplie les deux membres par le plus petit dénominateur commun : les fractions disparaissent.
Exemple
Résoudre (x − 1)/3 − (2x + 1)/4 = 1/6.
Le plus petit dénominateur commun de 3, 4 et 6 est 12. On multiplie chaque terme par 12 :
4(x − 1) − 3(2x + 1) = 2
4x − 4 − 6x − 3 = 2
−2x − 7 = 2
−2x = 9
x = −9/2.
S = {−9/2}.
Vérification : (−11/2)/3 = −11/6 et (−8)/4 = −2 ; −11/6 + 2 = −11/6 + 12/6 = 1/6. Juste.
4. Équations quotients
Quand x apparaît au dénominateur, il faut d'abord chercher les valeurs interdites : ce sont les valeurs de x qui annulent un dénominateur (on ne divise jamais par zéro).
Propriété du quotient nul. AB = 0 si et seulement si A = 0 et B ≠ 0.
Pour une équation AB = CD, on pose B ≠ 0 et D ≠ 0, puis on utilise les produits en croix : A × D = B × C.
Méthode
Pour résoudre une équation quotient :
- Je cherche les valeurs interdites (celles qui annulent un dénominateur) et je les écris.
- Si l'équation est A/B = 0 : je résous A = 0. Si elle est A/B = C/D : je fais A × D = B × C.
- Je résous l'équation obtenue (premier degré ou équation produit).
- J'élimine les solutions qui sont des valeurs interdites.
- J'écris l'ensemble S des solutions.
Exemple
Résoudre (x² − 4)/(x − 2) = 0, puis (x + 3)/(x − 1) = 2.
Première : valeur interdite x = 2 (car x − 2 = 0).
x² − 4 = 0 ⟺ (x − 2)(x + 2) = 0 ⟺ x = 2 ou x = −2.
On élimine 2, qui est interdit. S = {−2}.
Seconde : valeur interdite x = 1.
x + 3 = 2(x − 1), soit x + 3 = 2x − 2, donc −x = −5 et x = 5.
5 n'est pas interdit. S = {5}. Vérification : (5 + 3)/(5 − 1) = 8/4 = 2.
5. Mettre un problème en équation
- Choisir l'inconnue : écrire clairement « Soit x … » avec l'unité.
- Traduire chaque phrase de l'énoncé en expression de x.
- Écrire l'équation qui traduit l'égalité donnée par l'énoncé.
- Résoudre.
- Vérifier que la solution a un sens (un prix positif, un nombre entier de personnes…) et conclure par une phrase.
Exemple
Un père a 42 ans et son fils 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui du fils ?
Soit x le nombre d'années. Dans x années, le père aura 42 + x ans et le fils 12 + x ans.
42 + x = 2(12 + x), soit 42 + x = 24 + 2x, donc 42 − 24 = 2x − x et x = 18.
Vérification : dans 18 ans, le père aura 60 ans et le fils 30 ans ; 60 = 2 × 30.
Dans 18 ans, l'âge du père sera le double de celui du fils.
3Je retiens
Je retiens
On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
ax + b = 0 avec a ≠ 0 : une seule solution x = −b/a.
0x = 0 : S = ℝ. 0x = b avec b ≠ 0 : S = ∅.
Fractions à dénominateurs numériques : multiplier tout par le plus petit dénominateur commun.
A/B = 0 ⟺ A = 0 et B ≠ 0. Toujours chercher d'abord les valeurs interdites.
Problème : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier, conclure par une phrase.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier tous les termes par le dénominateur commun : dans x/2 + 1 = x/3, il faut aussi multiplier le 1 par 6.
- Garder une valeur interdite : dans (x² − 4)/(x − 2) = 0, la valeur 2 annule le dénominateur ; ce n'est pas une solution.
- Mal traiter un « − » devant une fraction : −(2x + 1)/4 devient −3(2x + 1) = −6x − 3 après multiplication par 12, et non −6x + 3.
- Écrire S = {0} quand on trouve 0x = 0 : la bonne réponse est S = ℝ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) 7x + 3 = 4x - 9
b) 3(2x - 1) - 2(x + 4) = 5
c) 5 - 2x = 3x + 20
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 7x - 4x = -9 - 3, donc 3x = -12 et x = -4. S = {-4}.
b) 6x - 3 - 2x - 8 = 5, donc 4x - 11 = 5, 4x = 16 et x = 4. S = {4}.
c) -2x - 3x = 20 - 5, donc -5x = 15 et x = -3. S = {-3}.
2Exercice 2
Résous dans ℝ :
a) x2 + x3 = 10
b) 3x - 14 = x + 52
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On multiplie par 6 : 3x + 2x = 60, donc 5x = 60 et x = 12. S = {12}. Vérification : 6 + 4 = 10.
b) On multiplie par 4 : 3x - 1 = 2(x + 5), soit 3x - 1 = 2x + 10, donc x = 11. S = {11}. Vérification : 324 = 8 et 162 = 8.
3Exercice 3
Résous dans ℝ et interprète le résultat :
a) 4(x - 2) + 3 = 4x - 5
b) 2x - (x - 3) = x + 1
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a) 4x - 8 + 3 = 4x - 5, soit 4x - 5 = 4x - 5, donc 0x = 0. Tout réel est solution : S = ℝ. Les deux membres sont la même expression.
b) 2x - x + 3 = x + 1, soit x + 3 = x + 1, donc 0x = -2. C'est impossible : S = ∅.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne A = (2x - 1)2 - 9.
a) Factorise A.
b) Résous l'équation A = 0.
c) On pose Q = A4x + 4. Donne la valeur interdite de Q, puis montre que, pour x ≠ -1, Q = x - 2.
d) Résous Q = 0, puis Q = -3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A = (2x - 1)2 - 32 = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) = (2x - 4)(2x + 2) = 4(x - 2)(x + 1).
b) A = 0 ⇔ 4(x - 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 ou x = -1. S = {-1 ; 2}.
c) 4x + 4 = 0 ⇔ x = -1 : la valeur interdite est -1. Pour x ≠ -1 : Q = 4(x - 2)(x + 1)4(x + 1) = x - 2.
d) Q = 0 : x - 2 = 0, donc x = 2, qui n'est pas interdit. S = {2}.
Q = -3 : x - 2 = -3, donc x = -1. Mais -1 est la valeur interdite : S = ∅.
5Exercice 5
(Problème) Mamadou, Aïssatou et Sékou se partagent une somme de 540 000 GNF. Aïssatou reçoit le double de la part de Mamadou, et Sékou reçoit 60 000 GNF de plus que Mamadou. Calcule la part de chacun.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x la part de Mamadou, en GNF. Aïssatou reçoit 2x et Sékou x + 60 000.
x + 2x + x + 60 000 = 540 000, donc 4x = 480 000 et x = 120 000.
Mamadou reçoit 120 000 GNF, Aïssatou 240 000 GNF et Sékou 180 000 GNF.
Vérification : 120 000 + 240 000 + 180 000 = 540 000.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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