Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 22
Encadrement des nombres réels
Je sais encadrer un réel, donner ses valeurs approchées (par défaut, par excès, arrondi) et déduire l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un inverse ou d'un quotient.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un encadrement et son amplitude
- Donner une valeur approchée par défaut, par excès et un arrondi à 10⁻ⁿ près
- Encadrer une somme, une différence, un produit et un quotient à partir d'encadrements connus
- Encadrer une racine carrée par la méthode des carrés
Avant de commencer : La leçon « Inégalités dans R » (règles opératoires, carrés et inverses de nombres positifs).
1Je découvre
Alpha, géomètre stagiaire à Siguiri, mesure un champ rectangulaire avec un vieux décamètre. Ses mesures ne sont pas parfaitement précises. Il note :
- la longueur L est comprise entre 45 m et 46 m ;
- la largeur ell est comprise entre 28 m et 29 m.
Le propriétaire veut connaître le périmètre (pour acheter du grillage) et l'aire (pour estimer la récolte). Alpha ne connaît pas L et ell exactement, mais il sait entre quelles valeurs ils se trouvent.
Son maître de stage lui dit : « Tu ne peux pas donner une valeur exacte, mais tu peux donner une fourchette sûre pour le périmètre et pour l'aire. Encore faut-il savoir calculer avec des fourchettes. »
Comment obtenir un encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient à partir des encadrements des nombres de départ ?
2Je comprends
1. Encadrement et amplitude
Encadrer un réel x, c'est trouver deux réels a et b tels que
a ≤ x ≤ b (ou avec des inégalités strictes).
Le nombre b - a s'appelle l'amplitude de l'encadrement. Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis.
Exemple : 3 < π < 4 est un encadrement d'amplitude 1 ; 3,14 < π < 3,15 est un encadrement d'amplitude 0,01, bien plus précis.
2. Valeurs approchées
Soit x un réel et n un entier naturel. Il existe un unique entier p tel que
p × 10-n ≤ x < (p + 1) × 10-n.
- p × 10-n est la valeur approchée par défaut de x à 10-n près ;
- (p + 1) × 10-n est la valeur approchée par excès de x à 10-n près ;
- l'arrondi de x à 10-n est celle des deux qui est la plus proche de x (par convention, on prend celle par excès en cas d'égalité, quand le chiffre suivant est 5).
| π = 3,14159… | par défaut | par excès | arrondi |
|---|---|---|---|
| à 10-2 près | 3,14 | 3,15 | 3,14 |
| à 10-3 près | 3,141 | 3,142 | 3,142 |
On dit aussi que a est une valeur approchée de x à ε près lorsque a - ε ≤ x ≤ a + ε. Par exemple, « x = 3,7 à 0,1 près » signifie 3,6 ≤ x ≤ 3,8.
3. Encadrer une racine carrée
Pour encadrer √a (a > 0), on cherche des nombres positifs dont les carrés encadrent a : si u2 ≤ a ≤ v2 avec u, v ≥ 0, alors u ≤ √a ≤ v (la racine carrée conserve l'ordre).
- 11² = 1 et 2² = 4, donc 1 < √2 < 2 (amplitude 1)
- 21,4² = 1,96 et 1,5² = 2,25, donc 1,4 < √2 < 1,5 (amplitude 0,1)
- 31,41² = 1,9881 et 1,42² = 2,0164, donc 1,41 < √2 < 1,42 (amplitude 0,01)
- 41,414² = 1,999396 et 1,415² = 2,002225, donc 1,414 < √2 < 1,415 (amplitude 0,001)
De la même façon : 1,732 = 2,9929 et 1,742 = 3,0276, donc 1,73 < √3 < 1,74.
4. Opérations sur les encadrements
Les règles viennent directement de la leçon sur les inégalités. On suppose a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d.
| Nombre à encadrer | Encadrement obtenu | Condition |
|---|---|---|
| Somme x + y | a + c ≤ x + y ≤ b + d | aucune |
| Opposé -y | -d ≤ -y ≤ -c | aucune (le sens change) |
| Différence x - y | a - d ≤ x - y ≤ b - c | aucune |
| Produit xy | ac ≤ xy ≤ bd | a ≥ 0 et c ≥ 0 |
| Inverse 1y | 1d ≤ 1y ≤ 1c | c > 0 |
| Quotient xy | ad ≤ xy ≤ bc | a ≥ 0 et c > 0 |
Pour la différence, on n'écrit jamais a - c ≤ x - y ≤ b - d : on encadre d'abord -y, puis on additionne. De même, pour le quotient, on encadre 1y, puis on multiplie.
Méthode
Pour encadrer une expression à partir d'encadrements connus :
- J'écris les encadrements de départ les uns sous les autres.
- Pour une différence x − y, j'encadre d'abord −y (en changeant le sens), puis j'additionne.
- Pour un quotient x/y, j'encadre d'abord 1/y (nombres positifs, le sens change), puis je multiplie.
- Pour un produit, je vérifie que tous les nombres sont positifs avant de multiplier membre à membre.
- Je calcule l'amplitude du résultat et je vérifie avec une valeur approchée si c'est possible.
Exemple
Sachant que 1,41 < √2 < 1,42 et 1,73 < √3 < 1,74, encadrer √2 + √3 et √3 − √2.
Somme : 1,41 + 1,73 < √2 + √3 < 1,42 + 1,74, soit 3,14 < √2 + √3 < 3,16.
Différence : on encadre −√2 : −1,42 < −√2 < −1,41. On additionne avec l'encadrement de √3 :
1,73 − 1,42 < √3 − √2 < 1,74 − 1,41, soit 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
Contrôle à la calculatrice : √2 + √3 ≈ 3,146 et √3 − √2 ≈ 0,318. Les deux encadrements sont justes.
Exemple
Avec les mêmes données, encadrer √6 et 1/√2.
Produit (nombres positifs) : 1,41 × 1,73 < √2 × √3 < 1,42 × 1,74, soit 2,4393 < √6 < 2,4708.
Inverse (nombres positifs, le sens change) : 1/1,42 < 1/√2 < 1/1,41.
1/1,42 ≈ 0,7042 et 1/1,41 ≈ 0,7092. En arrondissant vers l'extérieur pour rester sûr : 0,704 < 1/√2 < 0,710.
Contrôle : √6 ≈ 2,449 et 1/√2 ≈ 0,707.
Remarque sur la précision. L'amplitude d'une somme est la somme des amplitudes : dans l'exemple, 0,01 + 0,01 = 0,02. Les imprécisions s'ajoutent : pour obtenir un résultat précis, il faut partir d'encadrements précis.
5. Retour au champ d'Alpha
On a 45 ≤ L ≤ 46 et 28 ≤ ell ≤ 29.
- Périmètre P = 2(L + ell) : 45 + 28 ≤ L + ell ≤ 46 + 29, soit 73 ≤ L + ell ≤ 75, puis 146 ≤ P ≤ 150 m.
- Aire A = L × ell (nombres positifs) : 45 × 28 ≤ A ≤ 46 × 29, soit 1 260 ≤ A ≤ 1 334 m².
Alpha conseillera d'acheter 150 m de grillage : c'est la seule quantité qui suffit à coup sûr.
3Je retiens
Je retiens
Encadrer x : trouver a et b tels que a ≤ x ≤ b ; l'amplitude est b − a.
Valeur approchée à 10⁻ⁿ : si p × 10⁻ⁿ ≤ x < (p + 1) × 10⁻ⁿ, alors p × 10⁻ⁿ est la valeur par défaut et (p + 1) × 10⁻ⁿ la valeur par excès ; l'arrondi est la plus proche des deux.
Si u² ≤ a ≤ v² avec u, v ≥ 0, alors u ≤ √a ≤ v.
Somme : on additionne les bornes de même rang.
Différence x − y : on encadre −y (le sens change), puis on additionne.
Produit : on multiplie les bornes seulement si tout est positif.
Quotient x/y : on encadre 1/y (nombres positifs, le sens change), puis on multiplie.
4Erreurs fréquentes
- Soustraire les bornes de même rang : de 1,73 < √3 < 1,74 et 1,41 < √2 < 1,42, on n'écrit pas 0,32 < √3 − √2 < 0,32. La bonne réponse est 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
- Multiplier des encadrements contenant des nombres négatifs : de −2 ≤ x ≤ 1 et −3 ≤ y ≤ 1, on n'obtient pas 6 ≤ xy ≤ 1 (c'est absurde). La règle du produit exige des nombres positifs.
- Oublier de changer le sens en passant à l'inverse : 2 ≤ y ≤ 5 donne 1/5 ≤ 1/y ≤ 1/2.
- Arrondir les bornes vers l'intérieur : si 1/1,42 ≈ 0,7042, la borne inférieure sûre est 0,704 (et non 0,705).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne la valeur approchée par défaut, par excès et l'arrondi à 10-2 près de x = 2,71828 et de y = 0,4567.
Voir le corrigéCacher le corrigé
x = 2,71828 : 2,71 ≤ x < 2,72. Par défaut : 2,71 ; par excès : 2,72 ; arrondi : 2,72 (le chiffre des millièmes est 8, donc x est plus proche de 2,72).
y = 0,4567 : 0,45 ≤ y < 0,46. Par défaut : 0,45 ; par excès : 0,46 ; arrondi : 0,46 (le chiffre des millièmes est 6).
2Exercice 2
Encadre √5 à 10-2 près par la méthode des carrés.
Voir le corrigéCacher le corrigé
22 = 4 et 32 = 9, donc 2 < √5 < 3.
2,22 = 4,84 et 2,32 = 5,29, donc 2,2 < √5 < 2,3.
2,232 = 4,9729 et 2,242 = 5,0176, donc 2,23 < √5 < 2,24.
3Exercice 3
On sait que 2,3 ≤ x ≤ 2,4 et 1,5 ≤ y ≤ 1,6. Encadre :
a) x + y b) x - y c) 3x - 2y d) xy e) xy (bornes arrondies au centième, vers l'extérieur).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2,3 + 1,5 ≤ x + y ≤ 2,4 + 1,6, soit 3,8 ≤ x + y ≤ 4.
b) -1,6 ≤ -y ≤ -1,5, donc 2,3 - 1,6 ≤ x - y ≤ 2,4 - 1,5, soit 0,7 ≤ x - y ≤ 0,9.
c) 6,9 ≤ 3x ≤ 7,2 et -3,2 ≤ -2y ≤ -3, donc 6,9 - 3,2 ≤ 3x - 2y ≤ 7,2 - 3, soit 3,7 ≤ 3x - 2y ≤ 4,2.
d) Tout est positif : 2,3 × 1,5 ≤ xy ≤ 2,4 × 1,6, soit 3,45 ≤ xy ≤ 3,84.
e) 11,6 ≤ 1y ≤ 11,5, puis 2,31,6 ≤ xy ≤ 2,41,5. Or 2,31,6 = 1,4375 et 2,41,5 = 1,6. En arrondissant vers l'extérieur : 1,43 ≤ xy ≤ 1,6.
4Exercice 4
Un réel a vérifie -3 ≤ a ≤ -2. Encadre -a, puis a2, puis 1a.
Voir le corrigéCacher le corrigé
-a : on multiplie par -1, le sens change : 2 ≤ -a ≤ 3.
a2 = (-a)2 et -a est positif : 22 ≤ a2 ≤ 32, soit 4 ≤ a2 ≤ 9.
1a : a est négatif ; on encadre 1-a avec des nombres positifs : 13 ≤ 1-a ≤ 12, puis on multiplie par -1 : -12 ≤ 1a ≤ -13.
5Exercice 5
(Problème) Kadiatou veut carreler le sol d'une salle de classe rectangulaire. Elle a mesuré une longueur comprise entre 8,5 m et 8,6 m et une largeur comprise entre 6,2 m et 6,3 m. Un carton de carreaux couvre 1,5 m².
a) Encadre l'aire A de la salle.
b) Encadre le nombre de cartons nécessaires, puis indique combien de cartons Kadiatou doit acheter pour être sûre d'en avoir assez.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Nombres positifs : 8,5 × 6,2 ≤ A ≤ 8,6 × 6,3, soit 52,7 ≤ A ≤ 54,18 m².
b) Nombre de cartons N = A1,5 : 52,71,5 ≤ N ≤ 54,181,5. Or 52,71,5 ≈ 35,13 et 54,181,5 = 36,12. Donc 35,13 < N ≤ 36,12.
On achète des cartons entiers et il faut couvrir le cas le plus défavorable : Kadiatou doit acheter 37 cartons pour être sûre d'en avoir assez (36 cartons couvrent 54 m², ce qui peut être insuffisant si l'aire atteint 54,18 m²).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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