Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 22
Les intervalles
Je sais passer d'une inégalité à un intervalle et inversement, représenter un intervalle sur une droite graduée et écrire les solutions d'une inéquation sous forme d'intervalle.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les différents types d'intervalles et leurs notations
- Traduire une inégalité ou un encadrement par un intervalle, et inversement
- Représenter un intervalle sur une droite graduée
- Calculer le centre, l'amplitude et le rayon d'un intervalle borné
Avant de commencer : Les leçons « Inégalités dans R » et « Encadrement des nombres réels ».
1Je découvre
Une association de jeunes de Faranah organise une campagne de reboisement. Sur son affiche, on lit : « Bénévoles : âge d'au moins 18 ans et de moins de 35 ans. » Fatoumata, qui a 18 ans, se demande si elle peut participer. Son grand frère Ibrahima, qui a exactement 35 ans, se pose la même question.
En notant a l'âge d'un bénévole, la condition s'écrit 18 ≤ a < 35. Fatoumata est acceptée (18 ≤ 18 est vrai), Ibrahima ne l'est pas (35 < 35 est faux). Tout dépend de la différence entre « ≤ » et « < », c'est-à-dire de savoir si la borne est comprise ou non.
Les mathématiciens ont inventé une notation courte et précise pour ce genre d'ensemble de nombres : les intervalles. On écrira a ∈ [18 ; 35[.
Qu'est-ce qu'un intervalle, comment le noter et comment le représenter ?
2Je comprends
1. Les intervalles bornés
Soient a et b deux réels avec a < b. On définit quatre intervalles d'extrémités (ou bornes) a et b :
| Inégalité | Intervalle | Nom |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | intervalle fermé |
| a < x < b | ]a ; b[ | intervalle ouvert |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | fermé à gauche, ouvert à droite |
| a < x ≤ b | ]a ; b] | ouvert à gauche, fermé à droite |
Comment lire les crochets. Un crochet tourné vers le nombre signifie que la borne est incluse. Un crochet tourné vers l'extérieur signifie que la borne est exclue.
Par exemple, x ∈ [-1 ; 3[ signifie -1 ≤ x < 3 : -1 appartient à l'intervalle, 3 n'y appartient pas.
Sur une droite graduée, on colorie la partie de la droite correspondant à l'intervalle. On place un crochet à chaque extrémité, dans le même sens que dans l'écriture.
2. Les intervalles non bornés
Le symbole +∞ se lit « plus l'infini » et -∞ « moins l'infini ». Ce ne sont pas des nombres : ils indiquent que l'intervalle continue sans fin dans une direction. Le crochet est donc toujours ouvert du côté de l'infini.
| Inégalité | Intervalle |
|---|---|
| x ≥ a | [a ; +∞[ |
| x > a | ]a ; +∞[ |
| x ≤ b | ]-∞ ; b] |
| x < b | ]-∞ ; b[ |
| x réel quelconque | ]-∞ ; +∞[ = ℝ |
Notations déjà vues qui sont des intervalles : ℝ_+ = [0 ; +∞[ ; ℝ_- = ]-∞ ; 0] ; ℝ_+^* = ]0 ; +∞[ ; ℝ_-^* = ]-∞ ; 0[.
Attention : ℝ^* (les réels non nuls) n'est pas un intervalle, car il y a un « trou » en 0.
3. Appartenance à un intervalle
Pour savoir si un nombre appartient à un intervalle, on revient à l'inégalité.
Méthode
Pour traduire et utiliser un intervalle :
- J'identifie les bornes et je repère si chaque crochet est tourné vers l'intérieur (borne incluse) ou vers l'extérieur (borne exclue).
- J'écris l'inégalité correspondante (≤ pour une borne incluse, < pour une borne exclue).
- Pour tester un nombre, je vérifie l'inégalité avec ce nombre.
- Pour représenter, je colorie la partie de la droite et je place les crochets dans le même sens que dans l'écriture.
- Côté infini, le crochet est toujours ouvert.
Exemple
Dire si les nombres 2 ; 5 ; −3 ; 4,999 appartiennent à I = ]2 ; 5].
I = ]2 ; 5] correspond à 2 < x ≤ 5.
2 : l'inégalité 2 < 2 est fausse, donc 2 ∉ I.
5 : 2 < 5 ≤ 5 est vrai, donc 5 ∈ I.
−3 : −3 n'est pas supérieur à 2, donc −3 ∉ I.
4,999 : 2 < 4,999 ≤ 5 est vrai, donc 4,999 ∈ I.
Exemple
Lister les entiers relatifs qui appartiennent à J = [−2,5 ; 3[.
J correspond à −2,5 ≤ x < 3. Les entiers qui vérifient cela sont : −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2.
(−3 est trop petit car −3 < −2,5 ; 3 est exclu.) Il y a donc 5 entiers dans J.
4. Centre, amplitude et rayon
Pour un intervalle borné d'extrémités a et b (a < b) :
- l'amplitude (ou longueur) est b - a ;
- le centre est le milieu c = a + b2 ;
- le rayon est la moitié de l'amplitude : r = b - a2.
On a alors [a ; b] = [c - r ; c + r] : un intervalle fermé est l'ensemble des réels dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon.
Exemple
Déterminer le centre, l'amplitude et le rayon de [3 ; 11].
Amplitude : 11 − 3 = 8. Centre : (3 + 11)/2 = 7. Rayon : 8/2 = 4.
Vérification : [7 − 4 ; 7 + 4] = [3 ; 11].
Réciproquement, l'intervalle fermé de centre −1 et de rayon 0,5 est [−1,5 ; −0,5].
Ce lien avec l'encadrement est important : dire que x = 7 à 4 près, c'est dire que x ∈ [3 ; 11]. Dans la leçon sur la valeur absolue, tu écriras cela |x - 7| ≤ 4.
5. Solutions d'une inéquation
Les solutions d'une inéquation du premier degré forment un intervalle. On écrit l'ensemble des solutions S sous forme d'intervalle.
Exemple
Résoudre 5x − 2 ≥ 3x + 6 et −4x + 1 > 9. Écrire les solutions sous forme d'intervalles.
5x − 2 ≥ 3x + 6 ⟺ 2x ≥ 8 ⟺ x ≥ 4. Donc S = [4 ; +∞[.
−4x + 1 > 9 ⟺ −4x > 8 ⟺ x < −2 (division par −4 : le sens change). Donc S = ]−∞ ; −2[.
- 1Inégalité 18 ≤ a < 35 : la borne 18 est incluse, la borne 35 est exclue
- 2Crochet tourné vers 18 : [18 ; …
- 3Crochet tourné vers l'extérieur en 35 : … ; 35[
- 4Intervalle : a ∈ [18 ; 35[, d'amplitude 17 et de centre 26,5
6. Retour à l'affiche de Faranah
Les âges acceptés forment l'intervalle [18 ; 35[. Fatoumata, avec 18 ans, en fait partie : 18 ∈ [18 ; 35[. Ibrahima, avec 35 ans, n'en fait pas partie : 35 ∉ [18 ; 35[. Si l'association avait écrit « jusqu'à 35 ans inclus », l'intervalle aurait été [18 ; 35].
3Je retiens
Je retiens
[a ; b] : a ≤ x ≤ b ; ]a ; b[ : a < x < b ; [a ; b[ : a ≤ x < b ; ]a ; b] : a < x ≤ b.
Crochet tourné vers le nombre : borne incluse ; tourné vers l'extérieur : borne exclue.
[a ; +∞[ : x ≥ a ; ]−∞ ; b[ : x < b ; R = ]−∞ ; +∞[.
+∞ et −∞ ne sont pas des nombres : le crochet est toujours ouvert de leur côté.
Intervalle borné d'extrémités a et b : amplitude b − a, centre (a + b)/2, rayon (b − a)/2.
[a ; b] = [c − r ; c + r] avec c le centre et r le rayon.
4Erreurs fréquentes
- Fermer le crochet sur l'infini : [2 ; +∞] n'a pas de sens ; on écrit [2 ; +∞[.
- Écrire les bornes dans le mauvais ordre : ]5 ; 2[ n'est pas un intervalle correct ; la plus petite borne est toujours à gauche : ]2 ; 5[.
- Confondre inclus et exclu : x > 3 donne ]3 ; +∞[, et non [3 ; +∞[.
- Croire qu'un intervalle ne contient que des entiers : [1 ; 2] contient aussi 1,5 ; √2 ; 1,999… une infinité de réels.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Traduis chaque inégalité par un intervalle.
a) -4 < x ≤ 1 b) x ≥ -32 c) x < √2 d) 0 ≤ x < 7
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ]-4 ; 1] b) [-32 ; +∞[ c) ]-∞ ; √2[ d) [0 ; 7[
2Exercice 2
Traduis chaque appartenance par une inégalité.
a) x ∈ ]-∞ ; 5] b) x ∈ ]-1 ; 1[ c) x ∈ [π ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x ≤ 5 b) -1 < x < 1 c) x ≥ π
3Exercice 3
Recopie en complétant par ∈ ou ∉.
a) 3 … ]3 ; 8] b) -1 … [-2 ; 0[ c) √2 … [1,41 ; 1,42] d) 0 … ℝ_+^*
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 ∉ ]3 ; 8] (le crochet est tourné vers l'extérieur en 3 : borne exclue).
b) -1 ∈ [-2 ; 0[ car -2 ≤ -1 < 0.
c) √2 ∈ [1,41 ; 1,42] car 1,41 < √2 < 1,42 (1,412 = 1,9881 et 1,422 = 2,0164).
d) 0 ∉ ℝ_+^* = ]0 ; +∞[.
4Exercice 4
a) Donne le centre, l'amplitude et le rayon de [-3 ; 5].
b) Écris l'intervalle fermé de centre 2,5 et de rayon 0,3.
c) Combien d'entiers relatifs l'intervalle ]-3 ; 4] contient-il ? Cite-les.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Amplitude : 5 - (-3) = 8. Centre : -3 + 52 = 1. Rayon : 82 = 4.
b) [2,5 - 0,3 ; 2,5 + 0,3] = [2,2 ; 2,8].
c) -3 < x ≤ 4 : les entiers sont -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Il y en a 7.
5Exercice 5
(Type examen) Résous chaque inéquation et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, puis représente-le sur une droite graduée.
a) 2x - 7 < 1 b) 3 - 5x ≤ -12 c) 2x + 13 > x - 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2x < 8 ⇔ x < 4. S = ]-∞ ; 4[. Sur la droite, on colorie à gauche de 4, avec un crochet ouvert « [ » en 4.
b) -5x ≤ -15 ⇔ x ≥ 3 (division par -5 : le sens change). S = [3 ; +∞[. On colorie à droite de 3, crochet fermé « [ » en 3.
c) On multiplie par 3 (positif) : 2x + 1 > 3x - 3 ⇔ -x > -4 ⇔ x < 4. S = ]-∞ ; 4[.
Vérification pour c avec x = 0 : 13 > -1, c'est vrai, et 0 ∈ ]-∞ ; 4[.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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