Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 21
Le mouvement (suite)
Je sais repérer la position d'un point par son vecteur position et ses équations horaires, calculer une vitesse moyenne et représenter le vecteur vitesse instantanée.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire le vecteur position et les équations horaires d'un point mobile
- Trouver l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires
- Utiliser l'abscisse curviligne
- Calculer une vitesse moyenne et estimer une vitesse instantanée
- Donner les caractéristiques du vecteur vitesse instantanée
Avant de commencer : Le mouvement : référentiel, repère d'espace et de temps, trajectoire. Les vecteurs et le repère orthonormé en mathématiques.
1Je découvre
Aïssatou rentre de Labé à Pita en moto-taxi. Le trajet de 45 km dure 1 h 15 min. À l'arrivée, elle calcule : « Nous avons roulé à 36 km/h. » Le conducteur, Ibrahima, sourit : « Pas du tout ! Dans la montée j'étais à 20 km/h, dans la descente à 60, et je me suis arrêté au carrefour pour prendre de l'essence. »
Ils ont tous les deux raison, mais ils ne parlent pas de la même vitesse. Aïssatou parle de la vitesse moyenne sur tout le trajet ; Ibrahima parle de la vitesse à un instant précis, celle qu'indique le compteur.
Et à un instant donné, dire « 60 km/h » ne suffit pas : encore faut-il savoir dans quelle direction roule la moto, car la route tourne sans cesse dans les collines du Fouta-Djallon.
Comment décrire avec précision la position et la vitesse d'un point mobile à chaque instant ?
2Je comprends
1. Le vecteur position
Dans un repère d'espace (O, i, j) lié au référentiel, la position d'un point mobile M à la date t est donnée par le vecteur position :
OM = x i + y j
où x et y sont les coordonnées de M. Dans l'espace, on ajoute z k. Si le mouvement est rectiligne et qu'on choisit l'axe (O, i) le long de la trajectoire, on a simplement OM = x i.
La distance du point M à l'origine vaut OM = √x2 + y2.
2. Les équations horaires
Quand le point se déplace, ses coordonnées changent avec le temps. Les fonctions qui donnent les coordonnées en fonction de la date s'appellent les équations horaires (ou lois horaires) du mouvement :
x = f(t) ; y = g(t) ; (et z = h(t) dans l'espace).
Connaître les équations horaires, c'est connaître la position du point à n'importe quelle date.
3. L'équation de la trajectoire
L'équation de la trajectoire est la relation entre x et y qui ne contient plus t. On l'obtient en éliminant t entre les équations horaires : on tire t de l'une et on le remplace dans l'autre.
Exemple
Un point M se déplace dans le plan selon les équations horaires x = 2t et y = 5t² (unités SI, t ≥ 0). Trouver l'équation de la trajectoire et sa nature.
De x = 2t, on tire t = x / 2.
On remplace dans y : y = 5 × (x / 2)² = 5x² / 4 = 1,25 x².
La trajectoire est une portion de parabole (avec x ≥ 0).
Position à t = 1 s : x = 2 m et y = 5 m. Vérification : 1,25 × 2² = 5. Juste.
Exemple
Un point se déplace selon x = 3t + 1 et y = 4t (unités SI). Nature de la trajectoire ?
De y = 4t, on tire t = y / 4. Alors x = 3y / 4 + 1, soit y = (4 / 3)(x − 1).
C'est l'équation d'une droite : le mouvement est rectiligne.
4. L'abscisse curviligne
Quand la trajectoire est connue (une route, un rail, une piste), on peut repérer le point simplement par la longueur mesurée le long de la trajectoire depuis une origine choisie M0. Cette longueur, orientée dans un sens choisi, s'appelle l'abscisse curviligne et se note s. Les bornes kilométriques le long des routes nationales guinéennes donnent en quelque sorte l'abscisse curviligne d'un véhicule, en kilomètres, depuis une ville d'origine.
La distance parcourue entre deux dates est alors d = s2 - s1 si le point avance toujours dans le même sens.
5. La vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un point entre deux dates t1 et t2 est le quotient de la distance parcourue d par la durée du parcours :
vm = dt2 - t1 = dΔ t
Unité SI : le mètre par seconde (m/s ou m·s⁻¹). On utilise souvent le km/h dans la vie courante.
Exemple
Calculer la vitesse moyenne de la moto d'Ibrahima entre Labé et Pita (45 km en 1 h 15 min), en km/h puis en m/s.
Δt = 1 h 15 min = 1,25 h.
v_m = d / Δt = 45 / 1,25 = 36 km/h.
En m/s : 36 / 3,6 = 10 m/s.
La vitesse moyenne ne dit rien des arrêts, des montées et des descentes : elle résume tout le trajet en un seul nombre.
6. La vitesse instantanée
La vitesse instantanée est la vitesse du point à une date précise t : c'est celle qu'affiche le compteur de la moto. On l'obtient en calculant une vitesse moyenne sur une durée très courte qui encadre la date t :
v(t) ≈ distance parcourue entre t - Δ t2 et t + Δ t2Δ t , avec Δ t très petit.
Plus la durée Δ t est petite, plus le résultat est proche de la vraie vitesse instantanée. La leçon sur les méthodes d'enregistrement montre comment appliquer cette idée à partir de positions photographiées à intervalles réguliers.
Un mouvement est dit uniforme si la vitesse instantanée garde la même valeur au cours du temps ; accéléré si elle augmente ; retardé (ou ralenti) si elle diminue.
7. Le vecteur vitesse instantanée
La vitesse est une grandeur vectorielle : à chaque date, on la représente par le vecteur vitesse v, dont les caractéristiques sont :
| Caractéristique | Vecteur vitesse v au point M |
|---|---|
| Origine | le point M (position du mobile à la date t) |
| Direction | la tangente à la trajectoire en M |
| Sens | celui du mouvement |
| Norme (valeur) | la vitesse instantanée v, en m/s |
Pour le dessiner, on choisit une échelle : par exemple 1 cm pour 5 m/s.
Deux mouvements peuvent avoir la même valeur de vitesse mais des vecteurs vitesse différents : une moto qui roule à 60 km/h vers le nord et une autre qui roule à 60 km/h vers l'est n'ont pas le même vecteur vitesse.
Pour un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant : même direction, même sens, même norme à chaque instant.
Exemple
Un point se déplace selon x = 3t et y = 4t (unités SI). Calculer sa vitesse.
En 1 s, x augmente de 3 m et y de 4 m : le point parcourt √(3² + 4²) = √25 = 5 m, en ligne droite.
Sa vitesse est donc v = 5 m/s, et elle est la même pendant chaque seconde : le mouvement est rectiligne uniforme.
Le vecteur vitesse a pour coordonnées (3 ; 4) m/s : il est dirigé selon la droite y = (4 / 3)x, dans le sens des x croissants.
Méthode
Pour étudier un mouvement donné par ses équations horaires :
- Je calcule les coordonnées du point à quelques dates pour situer le mobile.
- J'élimine t entre x(t) et y(t) pour obtenir l'équation de la trajectoire et je donne sa nature.
- Je calcule la distance parcourue et la durée, puis la vitesse moyenne v_m = d / Δt.
- Pour le vecteur vitesse, je donne origine, direction (tangente), sens (du mouvement) et norme, et je le dessine à l'échelle.
3Je retiens
Je retiens
Vecteur position : OM = x i + y j ; les coordonnées dépendent du temps.
Équations horaires : x = f(t), y = g(t). Équation de la trajectoire : relation entre x et y obtenue en éliminant t.
Abscisse curviligne s : longueur mesurée le long de la trajectoire depuis une origine.
Vitesse moyenne : v_m = d / Δt (m/s). 1 m/s = 3,6 km/h.
Vitesse instantanée : vitesse moyenne sur une durée très courte autour de la date t.
Vecteur vitesse : origine le point M, direction tangente à la trajectoire, sens du mouvement, norme égale à la vitesse instantanée.
Mouvement uniforme : valeur de la vitesse constante. Mouvement rectiligne uniforme : vecteur vitesse constant.
4Erreurs fréquentes
- Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée : un taxi qui a une vitesse moyenne de 50 km/h a pu rouler à 80 km/h et s'arrêter plusieurs fois.
- Garder t dans l'équation de la trajectoire : celle-ci ne doit contenir que x et y.
- Dessiner le vecteur vitesse vers le centre d'un virage : il est toujours tangent à la trajectoire, jamais dirigé vers le centre.
- Calculer une vitesse moyenne en faisant la moyenne des vitesses : aller à 60 km/h puis revenir à 40 km/h sur la même distance ne donne pas 50 km/h de moyenne (voir l'exercice 5).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un athlète court 400 m en 50 s au stade de Kankan. Calcule sa vitesse moyenne en m/s puis en km/h.
Voir le corrigéCacher le corrigé
vm = dΔ t = 40050 = 8 m/s. En km/h : 8 × 3,6 = 28,8 km/h.
2Exercice 2
Un point M a pour équations horaires x = 4t et y = 2t + 3 (unités SI).
a) Calcule ses coordonnées à t = 0 et à t = 2 s.
b) Trouve l'équation de la trajectoire. Quelle est sa nature ?
c) Calcule la distance parcourue entre t = 0 et t = 2 s, puis la vitesse moyenne.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) À t = 0 : x = 0 et y = 3, donc M0(0 ; 3). À t = 2 s : x = 8 m et y = 2 × 2 + 3 = 7 m, donc M2(8 ; 7).
b) De x = 4t, on tire t = x4. Alors y = 2 × x4 + 3 = x2 + 3. C'est l'équation d'une droite : la trajectoire est rectiligne.
c) Le mouvement étant rectiligne, la distance parcourue est M0M2 = √(8 - 0)2 + (7 - 3)2 = √64 + 16 = √80 ≈ 8,94 m.
vm = 8,942 ≈ 4,47 m/s.
3Exercice 3
Un point se déplace selon x = t et y = t2 (unités SI), avec t geqslant 0.
a) Détermine l'équation de la trajectoire.
b) Calcule la distance OM à la date t = 2 s.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) t = x, donc y = x2 (avec x geqslant 0) : la trajectoire est une portion de parabole.
b) À t = 2 s : x = 2 m et y = 4 m. OM = √22 + 42 = √20 ≈ 4,47 m.
4Exercice 4
Une pirogue descend le fleuve Niger. Elle passe au niveau d'un premier village à 8 h 10 min et au niveau d'un second village, situé 12 km plus loin le long du fleuve, à 9 h 40 min.
a) Calcule la vitesse moyenne de la pirogue en km/h puis en m/s.
b) Au milieu du trajet, un pêcheur mesure que la pirogue parcourt 20 m en 5 s. Donne une valeur approchée de sa vitesse instantanée à cet endroit. Le mouvement est-il uniforme ?
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a) Durée : de 8 h 10 min à 9 h 40 min, Δ t = 1 h 30 min = 1,5 h.
vm = 121,5 = 8 km/h. En m/s : 83,6 ≈ 2,2 m/s.
b) Sur une durée courte : v ≈ 205 = 4 m/s, soit 4 × 3,6 = 14,4 km/h. La vitesse à cet endroit (4 m/s) est différente de la vitesse moyenne (environ 2,2 m/s) : la vitesse ne reste pas constante, le mouvement n'est pas uniforme.
5Exercice 5
(Type composition) Hawa fait l'aller-retour entre son village et le marché hebdomadaire, distants de 12 km. À l'aller, chargée, elle roule à vélo à 12 km/h ; au retour, elle roule à 24 km/h.
a) Calcule la durée de l'aller et celle du retour.
b) Calcule la vitesse moyenne sur l'aller-retour.
c) Sa camarade affirme que la vitesse moyenne vaut 12 + 242 = 18 km/h. Explique son erreur.
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a) Aller : t1 = 1212 = 1 h. Retour : t2 = 1224 = 0,5 h.
b) Distance totale : d = 12 + 12 = 24 km. Durée totale : Δ t = 1 + 0,5 = 1,5 h.
vm = 241,5 = 16 km/h.
c) La vitesse moyenne se calcule toujours par dΔ t, et non en faisant la moyenne des vitesses. Hawa passe plus de temps à la vitesse lente (1 h à 12 km/h) qu'à la vitesse rapide (0,5 h à 24 km/h) : la vitesse lente « pèse » davantage, et la moyenne réelle (16 km/h) est inférieure à 18 km/h.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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