Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 21
Le mouvement rectiligne
Je sais reconnaître un mouvement rectiligne uniforme ou uniformément varié, écrire ses équations horaires et les utiliser pour résoudre un problème (freinage, rattrapage, rencontre).
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement rectiligne uniforme et écrire son équation horaire x = vt + x₀
- Définir l'accélération et le mouvement rectiligne uniformément varié
- Écrire et utiliser v = at + v₀, x = ½at² + v₀t + x₀ et v² − v₀² = 2a(x − x₀)
- Dire si un mouvement est accéléré ou retardé
- Résoudre un problème de freinage ou de rencontre
Avant de commencer : Le mouvement et sa suite (repère, équations horaires, vitesse) ; les méthodes d'enregistrement ; la résolution d'équations du premier et du second degré.
1Je découvre
Sur la route nationale, un camion chargé de bauxite roule à vitesse constante sur une longue ligne droite. Au moment où il passe devant une station-service, un jeune motard, Lansana, démarre de la station dans la même direction, en accélérant régulièrement.
Au début, le camion s'éloigne. Mais la moto va de plus en plus vite. Kadiatou, qui regarde depuis la station, se demande : « La moto va-t-elle rattraper le camion ? Au bout de combien de temps, et à quelle distance d'ici ? »
Pour répondre, il faut savoir écrire la position de chaque véhicule en fonction du temps. Le camion a un mouvement rectiligne uniforme ; la moto, un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Ce sont les deux mouvements les plus simples, et les plus utiles, de la physique.
Comment décrire mathématiquement un mouvement rectiligne uniforme ou uniformément varié, et comment utiliser ces équations ?
2Je comprends
1. Le cadre : un mouvement sur une droite
Le mouvement est rectiligne : la trajectoire est une droite. On choisit un axe (O, i) porté par cette droite. La position du mobile est donnée par son abscisse x, et sa vitesse par un nombre v (appelé vitesse algébrique) :
- v > 0 : le mobile se déplace dans le sens de i (les x augmentent) ;
- v < 0 : il se déplace dans le sens contraire (les x diminuent).
Le vecteur vitesse s'écrit v = v i.
2. Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)
Un mouvement est rectiligne uniforme quand son vecteur vitesse est constant : la trajectoire est une droite et la vitesse garde la même valeur. Le mobile parcourt des distances égales pendant des durées égales.
Si à la date t = 0 le mobile est à l'abscisse x0, alors à la date t :
x = v t + x0
- x0 : abscisse initiale (en m) ;
- v : vitesse, constante (en m/s) ;
- t : date (en s).
La courbe x(t) est une droite de coefficient directeur v ; la courbe v(t) est une droite horizontale.
Exemple
À t = 0, un taxi est à l'abscisse x₀ = 200 m et roule à vitesse constante v = 15 m/s dans le sens de l'axe. Écrire l'équation horaire. Où est-il à t = 20 s ? Quand passe-t-il à x = 1 100 m ?
Équation horaire : x = 15t + 200.
À t = 20 s : x = 15 × 20 + 200 = 500 m.
x = 1 100 m : 15t + 200 = 1 100, donc 15t = 900, t = 60 s.
3. L'accélération
Quand la vitesse change, on mesure la rapidité de ce changement par l'accélération. Entre deux dates t1 et t2, l'accélération moyenne vaut :
a = v2 - v1t2 - t1 = Δ vΔ t
Unité SI : le mètre par seconde au carré (m/s² ou m·s⁻²). Une accélération de 2 m/s² signifie que la vitesse augmente de 2 m/s chaque seconde.
4. Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)
Un mouvement est rectiligne uniformément varié quand sa trajectoire est une droite et que son accélération est constante : la vitesse varie de la même quantité pendant des durées égales.
Avec x0 et v0 l'abscisse et la vitesse à la date t = 0, on a :
| Relation | Formule |
|---|---|
| Accélération | a = constante |
| Vitesse | v = a t + v0 |
| Équation horaire | x = 12a t2 + v0 t + x0 |
| Relation indépendante du temps | v2 - v02 = 2a (x - x0) |
La courbe v(t) est une droite de coefficient directeur a ; la courbe x(t) est une parabole.
La dernière relation est très pratique quand le temps n'est pas donné (distance de freinage, par exemple). Elle se démontre en tirant t = v - v0a de la deuxième relation et en le remplaçant dans la troisième.
Accéléré ou retardé ?
- Si a et v ont le même signe, la valeur de la vitesse augmente : le mouvement est accéléré.
- Si a et v ont des signes contraires, la valeur de la vitesse diminue : le mouvement est retardé (freinage).
Reconnaître un MRUV sur un enregistrement. Pour des points séparés par la même durée tau, les distances successives d1 = M0M1, d2 = M1M2… augmentent (ou diminuent) toujours de la même quantité, et on a :
di+1 - di = a tau2
Exemple
Lansana démarre du repos avec une accélération constante a = 2 m/s². On prend l'origine à la station et t = 0 au départ. Vitesse et position à t = 5 s ?
x₀ = 0 et v₀ = 0.
v = a t = 2 × 5 = 10 m/s (soit 36 km/h).
x = ½ a t² = ½ × 2 × 5² = 25 m.
Vérification avec v² − v₀² = 2a(x − x₀) : 10² − 0 = 100 et 2 × 2 × 25 = 100. Juste.
Exemple
Un taxi roule à 72 km/h. Le chauffeur freine avec une accélération constante a = −4 m/s². Durée et distance de freinage ?
v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s. On prend x₀ = 0 au début du freinage.
Arrêt quand v = 0 : 0 = −4t + 20, donc t = 5 s.
Distance : x = ½ × (−4) × 5² + 20 × 5 = −50 + 100 = 50 m.
Avec la relation sans le temps : 0² − 20² = 2 × (−4) × x, donc −400 = −8x et x = 50 m.
a et v sont de signes contraires : le mouvement est bien uniformément retardé.
5. Problèmes de rencontre et de rattrapage
Deux mobiles se rencontrent quand ils ont la même abscisse à la même date. On écrit les deux équations horaires dans le même repère (même origine des espaces, même origine des dates, même sens), puis on résout x1(t) = x2(t).
Exemple
Un taxi A part de O à t = 0 et roule à 20 m/s vers un village situé à 3 000 m. Au même instant, un taxi B quitte ce village et roule à 10 m/s vers O. Où et quand se croisent-ils ?
Axe orienté de O vers le village.
Taxi A : x_A = 20t. Taxi B : x_B = −10t + 3 000 (sa vitesse est négative car il va vers O).
Rencontre : 20t = −10t + 3 000, donc 30t = 3 000 et t = 100 s.
Position : x = 20 × 100 = 2 000 m. Ils se croisent à 2 000 m de O, au bout de 100 s.
Méthode
Pour résoudre un problème de mouvement rectiligne :
- Je choisis un axe (origine, sens) et une origine des dates, et je les écris.
- Pour chaque mobile, je relève x₀, v₀ et a avec leur signe, en unités SI.
- J'écris les équations horaires : x = vt + x₀ (MRU) ou x = ½at² + v₀t + x₀ et v = at + v₀ (MRUV).
- Je traduis la question par une équation (v = 0 pour un arrêt, x₁ = x₂ pour une rencontre) et je la résous.
- Je garde les solutions qui ont un sens (t ≥ 0) et je réponds avec une phrase et une unité.
3Je retiens
Je retiens
MRU : vecteur vitesse constant ; x = v t + x₀.
Accélération : a = Δv / Δt, en m/s².
MRUV : a constante ; v = a t + v₀ ; x = ½ a t² + v₀ t + x₀ ; v² − v₀² = 2a (x − x₀).
a et v de même signe : mouvement accéléré ; de signes contraires : mouvement retardé.
Sur un enregistrement (intervalle τ), un MRUV vérifie : d(i+1) − d(i) = a τ².
Rencontre de deux mobiles : même repère pour les deux, puis résoudre x₁(t) = x₂(t).
4Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir les km/h en m/s avant d'utiliser les formules : 72 km/h font 20 m/s.
- Prendre a positif lors d'un freinage alors que la vitesse est positive : pour ralentir, a doit être de signe contraire à v.
- Oublier le ½ dans x = ½ a t² + v₀ t + x₀, ou oublier le terme v₀ t quand le mobile ne part pas du repos.
- Écrire les équations de deux mobiles dans deux repères différents (origines ou sens différents) : la rencontre calculée est alors fausse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un cycliste roule en ligne droite à la vitesse constante de 5 m/s. À t = 0, il se trouve à l'abscisse x0 = -50 m.
a) Écris son équation horaire.
b) À quelle date passe-t-il à l'origine ?
c) Où est-il à t = 30 s ?
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a) x = 5t - 50.
b) x = 0 : 5t - 50 = 0, donc t = 10 s.
c) x = 5 × 30 - 50 = 100 m.
2Exercice 2
Une voiture part du repos et atteint 25 m/s en 10 s, avec une accélération constante.
a) Calcule l'accélération.
b) Calcule la distance parcourue pendant ces 10 s.
c) Exprime la vitesse finale en km/h.
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a) a = Δ vΔ t = 25 - 010 = 2,5 m/s².
b) x = 12 a t2 = 12 × 2,5 × 102 = 125 m.
c) 25 × 3,6 = 90 km/h.
3Exercice 3
Un minibus roule à 54 km/h quand le chauffeur aperçoit un troupeau de bœufs sur la route. Il freine et s'arrête après avoir parcouru 22,5 m, avec une décélération constante.
a) Calcule l'accélération du minibus pendant le freinage.
b) Calcule la durée du freinage.
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a) v0 = 543,6 = 15 m/s ; v = 0 ; d = 22,5 m.
v2 - v02 = 2a d donne 0 - 152 = 2a × 22,5, soit -225 = 45 a, donc a = -5 m/s².
b) v = a t + v0 : 0 = -5t + 15, donc t = 3 s.
4Exercice 4
Un mobile se déplace sur un axe selon x = 2t2 - 8t + 6 (unités SI).
a) Donne x0, v0 et a.
b) Écris l'expression de la vitesse v(t).
c) À quelle date le mobile s'arrête-t-il un instant ? Quelle est alors sa position ?
d) Le mouvement est-il accéléré ou retardé entre t = 0 et t = 2 s ? Et après t = 2 s ?
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a) Par identification avec x = 12a t2 + v0 t + x0 : 12a = 2 donc a = 4 m/s² ; v0 = -8 m/s ; x0 = 6 m.
b) v = a t + v0 = 4t - 8.
c) v = 0 : 4t - 8 = 0, donc t = 2 s. Position : x = 2 × 4 - 8 × 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 m.
d) Entre 0 et 2 s : v < 0 et a > 0, signes contraires, le mouvement est retardé. Après 2 s : v > 0 et a > 0, même signe, le mouvement est accéléré (le mobile repart dans l'autre sens).
5Exercice 5
(Type composition) On reprend la situation de la découverte. À t = 0, le camion passe devant la station à la vitesse constante de 10 m/s. Au même instant, la moto de Lansana démarre du repos à la station, dans le même sens, avec une accélération constante de 1 m/s². L'origine de l'axe est la station.
a) Écris les équations horaires du camion et de la moto.
b) À quelle date et à quelle distance de la station la moto rattrape-t-elle le camion ?
c) Quelle est alors la vitesse de la moto, en m/s et en km/h ?
d) À quelle date la moto a-t-elle la même vitesse que le camion ? Quelle est à ce moment la distance entre les deux véhicules ?
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a) Camion : xC = 10t. Moto : xM = 12 × 1 × t2 = 0,5 t2.
b) Rattrapage : 0,5 t2 = 10t, soit t(0,5 t - 10) = 0, donc t = 0 (le départ) ou t = 20 s. La moto rattrape le camion à t = 20 s, à x = 10 × 20 = 200 m de la station.
c) vM = a t = 1 × 20 = 20 m/s, soit 20 × 3,6 = 72 km/h.
d) vM = t = 10 m/s pour t = 10 s. À cette date : xC = 100 m et xM = 0,5 × 102 = 50 m. L'écart vaut 100 - 50 = 50 m : c'est l'écart maximal, car ensuite la moto va plus vite que le camion et se rapproche.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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