Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 17
Notion d'extremum d'une fonction
Je sais reconnaître, lire et démontrer le maximum ou le minimum d'une fonction, et l'utiliser pour optimiser une situation concrète.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle
- Lire un extremum sur une courbe ou dans un tableau de variations
- Distinguer extremum local et extremum sur tout l'intervalle
- Démontrer un extremum grâce à la forme canonique d'un polynôme du second degré
Avant de commencer : Les généralités sur les fonctions et la lecture graphique (leçons 7 et 8), les identités remarquables (leçon « Calcul littéral »).
1Je découvre
Kadiatou prépare du jus de bissap qu'elle vend devant le lycée, à Kissidougou. Elle a remarqué que si le litre est trop bon marché, elle vend beaucoup mais gagne peu sur chaque litre ; s'il est trop cher, les élèves n'achètent presque plus.
Son grand frère, étudiant en économie, lui propose un modèle simple : si x est le prix d'un litre (en milliers de GNF), son bénéfice par jour (en milliers de GNF) vaut à peu près
B(x) = -x2 + 12x - 20, pour 2 ≤ x ≤ 10.
Kadiatou calcule : B(4) = -16 + 48 - 20 = 12 ; B(8) = -64 + 96 - 20 = 12 ; B(6) = -36 + 72 - 20 = 16. Le bénéfice semble plus grand vers 6 000 GNF le litre. Mais est-ce vraiment le meilleur prix ? Et comment en être sûre sans essayer toutes les valeurs une par une ?
Comment trouver, et prouver, la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction ?
2Je comprends
1. Maximum et minimum sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre de I.
- f(a) est le maximum de f sur I si, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).
- f(a) est le minimum de f sur I si, pour tout x de I, f(x) ≥ f(a).
Un maximum ou un minimum s'appelle un extremum (au pluriel : des extremums, ou extrema). On dit que le maximum est atteint en a.
Attention au vocabulaire : le maximum est une valeur f(a) (une ordonnée) ; l'endroit où il est atteint est un nombre a (une abscisse).
2. Lire un extremum dans un tableau de variations
Dans un tableau de variations, les extremums se trouvent aux changements de sens des flèches, ou aux bornes de l'intervalle. On compare toutes ces valeurs.
Exemple
Une fonction f a le tableau de variations suivant sur [−3 ; 5] :
x : −3 1 3 5
f(x) : 2 ↗ 6 ↘ −2 ↗ 4
Valeurs candidates : f(−3) = 2, f(1) = 6, f(3) = −2, f(5) = 4.
Le maximum de f sur [−3 ; 5] est 6, atteint en x = 1.
Le minimum de f sur [−3 ; 5] est −2, atteint en x = 3.
3. Extremum local
Il arrive qu'une valeur soit la plus grande seulement dans son voisinage. On dit que f(a) est un maximum local s'il existe un intervalle ouvert contenant a sur lequel f(x) ≤ f(a). On définit de même un minimum local.
Sur la courbe, un maximum local est le sommet d'une « colline », un minimum local le fond d'une « vallée ». Un extremum local n'est pas forcément l'extremum sur tout l'intervalle.
4. Démontrer un extremum
Une lecture graphique ne suffit pas pour prouver. Pour démontrer que M est le maximum de f sur I, il faut montrer deux choses :
- pour tout x de I, f(x) ≤ M ;
- il existe a dans I tel que f(a) = M.
Pour un polynôme du second degré, l'outil est la forme canonique : on écrit
f(x) = a(x - α)2 + β.
Comme un carré est toujours positif ou nul, (x - α)2 ≥ 0 et vaut 0 seulement pour x = α :
- si a > 0 : f(x) ≥ β, donc β est le minimum, atteint en α ;
- si a < 0 : f(x) ≤ β, donc β est le maximum, atteint en α.
Pour f(x) = ax2 + bx + c, on a toujours α = -b2a et β = f(α).
Méthode
Pour trouver et démontrer l'extremum de f(x) = ax² + bx + c :
- Je calcule α = −b/(2a), puis β = f(α).
- J'écris la forme canonique a(x − α)² + β et je la vérifie en développant.
- J'utilise (x − α)² ≥ 0 : si a > 0, f(x) ≥ β ; si a < 0, f(x) ≤ β.
- Je conclus : « β est le minimum (ou le maximum) de f, atteint en x = α ».
- Dans un problème, je vérifie que α appartient bien à l'intervalle d'étude.
Exemple
Montrer que f(x) = x² − 6x + 11 admet un minimum sur R.
α = −(−6)/(2 × 1) = 3 et β = f(3) = 9 − 18 + 11 = 2.
Forme canonique : (x − 3)² + 2. Vérification : x² − 6x + 9 + 2 = x² − 6x + 11.
Pour tout x, (x − 3)² ≥ 0, donc f(x) ≥ 2, et f(3) = 2.
Le minimum de f sur R est 2, atteint en x = 3.
Exemple
Trouver l'extremum de g(x) = 2x² + 8x + 5.
α = −8/(2 × 2) = −2 et β = g(−2) = 8 − 16 + 5 = −3.
g(x) = 2(x + 2)² − 3. Vérification : 2(x² + 4x + 4) − 3 = 2x² + 8x + 5.
a = 2 > 0 : 2(x + 2)² ≥ 0, donc g(x) ≥ −3. Le minimum de g est −3, atteint en x = −2.
5. Retour au bissap de Kadiatou
B(x) = -x2 + 12x - 20 : a = -1, α = -122 × (-1) = 6 et β = B(6) = 16.
Forme canonique : B(x) = -(x - 6)2 + 16. Vérification : -(x2 - 12x + 36) + 16 = -x2 + 12x - 20.
Comme -(x - 6)2 ≤ 0, on a B(x) ≤ 16 pour tout x, avec égalité pour x = 6, qui est bien dans [2 ; 10]. Le bénéfice maximal est de 16 000 GNF par jour, pour un prix de 6 000 GNF le litre. Ce type de raisonnement, appelé optimisation, est très utilisé en économie : bénéfice maximal, coût minimal.
3Je retiens
Je retiens
Maximum de f sur I : f(a) tel que f(x) ≤ f(a) pour tout x de I ; minimum : f(x) ≥ f(a).
Le maximum est une valeur (ordonnée) ; il est atteint en a (abscisse).
Dans un tableau de variations, on compare les valeurs aux changements de sens et aux bornes.
Extremum local : extremum seulement au voisinage de a.
Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α).
a > 0 : minimum β en α ; a < 0 : maximum β en α.
4Erreurs fréquentes
- Répondre « le maximum est 1 » quand f atteint 6 en x = 1 : le maximum est 6, atteint en 1.
- Oublier les bornes : sur [−3 ; 5], la valeur f(5) peut être plus grande qu'un sommet de colline.
- Croire qu'une lecture sur le graphique suffit à démontrer : il faut une inégalité f(x) ≤ M vraie pour tout x.
- Se tromper de sens : avec a < 0, la parabole est « tournée vers le bas », β est un maximum, pas un minimum.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une fonction g a le tableau de variations suivant sur [0 ; 10] :
| x | 0 | 2 | 6 | 10 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 3 | nearrow | 7 | searrow | 1 | nearrow | 5 |
a) Donne le maximum et le minimum de g sur [0 ; 10], et où ils sont atteints.
b) La valeur 5 est-elle un extremum de g sur [0 ; 10] ? Justifie.
c) Compare g(x) et 7 pour tout x de [0 ; 10].
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a) Valeurs candidates : 3 ; 7 ; 1 ; 5. Maximum : 7, atteint en x = 2. Minimum : 1, atteint en x = 6.
b) Non : g(10) = 5, mais g(2) = 7 > 5 et g(6) = 1 < 5. Ce n'est ni le maximum ni le minimum sur [0 ; 10] (c'est seulement la valeur à la borne droite).
c) 7 est le maximum : pour tout x de [0 ; 10], g(x) ≤ 7.
2Exercice 2
Soit f(x) = x2 + 4x + 7. Écris f(x) sous forme canonique, puis démontre que f admet un minimum sur ℝ que tu préciseras.
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α = -42 = -2 et β = f(-2) = 4 - 8 + 7 = 3. Donc f(x) = (x + 2)2 + 3. Vérification : x2 + 4x + 4 + 3 = x2 + 4x + 7.
Pour tout x, (x + 2)2 ≥ 0, donc f(x) ≥ 3 ; et f(-2) = 3. Le minimum de f est 3, atteint en x = -2.
3Exercice 3
Soit h(x) = -x2 + 6x - 5. Démontre que h admet un maximum sur ℝ et précise-le.
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α = -62 × (-1) = 3 et β = h(3) = -9 + 18 - 5 = 4. Donc h(x) = -(x - 3)2 + 4. Vérification : -(x2 - 6x + 9) + 4 = -x2 + 6x - 5.
Pour tout x, -(x - 3)2 ≤ 0, donc h(x) ≤ 4 ; et h(3) = 4. Le maximum de h est 4, atteint en x = 3.
4Exercice 4
Soit k(x) = 3x2 - 12x + 1. Calcule α et β, écris la forme canonique et donne l'extremum de k.
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α = --122 × 3 = 2 et β = k(2) = 12 - 24 + 1 = -11. Donc k(x) = 3(x - 2)2 - 11. Vérification : 3(x2 - 4x + 4) - 11 = 3x2 - 12x + 1.
a = 3 > 0 : k(x) ≥ -11 pour tout x. Le minimum de k est -11, atteint en x = 2.
5Exercice 5
(Type examen) Au bord du Milo, à Kankan, Mamadou veut clôturer un jardin rectangulaire avec 60 m de grillage. Le côté qui longe la rivière n'a pas besoin de grillage. On note x la largeur (les deux côtés perpendiculaires à la rivière), en mètres.
a) Montre que la longueur vaut 60 - 2x et que 0 < x < 30.
b) Montre que l'aire du jardin est A(x) = -2x2 + 60x. Calcule A(10).
c) Montre que A(x) = -2(x - 15)2 + 450.
d) Déduis-en les dimensions du jardin d'aire maximale, et cette aire.
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a) Le grillage couvre deux largeurs et une longueur : 2x + L = 60, donc L = 60 - 2x. Il faut x > 0 et L > 0, soit 60 - 2x > 0, donc x < 30.
b) A(x) = x(60 - 2x) = -2x2 + 60x. A(10) = 10 × 40 = 400 m².
c) -2(x - 15)2 + 450 = -2(x2 - 30x + 225) + 450 = -2x2 + 60x - 450 + 450 = -2x2 + 60x = A(x).
d) Pour tout x, -2(x - 15)2 ≤ 0, donc A(x) ≤ 450, avec égalité pour x = 15, qui est bien dans ]0 ; 30[. Le jardin d'aire maximale mesure 15 m de large et 60 - 30 = 30 m de long ; son aire est 15 × 30 = 450 m².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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