Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 17
Les fonctions affines
Je sais reconnaître une fonction affine, trouver son expression à partir de deux informations, la représenter par une droite et l'utiliser pour modéliser une situation.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une fonction affine, linéaire ou constante
- Calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, et déterminer f à partir de deux valeurs
- Représenter une fonction affine et lire a et b sur sa droite
- Connaître le sens de variation et le signe de ax + b, et modéliser un tarif ou une évolution
Avant de commencer : Les généralités sur les fonctions et la représentation graphique (leçons 7 et 8), les pourcentages (leçon « Activités numériques »).
1Je découvre
Mariama, vendeuse de beignets à Siguiri, a déjà 150 000 GNF dans sa tirelire. Chaque semaine, elle y met 25 000 GNF de plus. Elle veut s'acheter une machine à coudre d'occasion à 500 000 GNF.
Elle fait un tableau :
| Semaines | 0 | 1 | 2 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Épargne (GNF) | 150 000 | 175 000 | 200 000 | 250 000 | 400 000 |
À chaque semaine de plus, l'épargne augmente toujours de la même quantité : 25 000 GNF. Après x semaines, elle a S(x) = 25 000x + 150 000 GNF. Pour savoir quand elle pourra acheter sa machine, elle résout 25 000x + 150 000 = 500 000, soit x = 14 semaines.
Si elle place les points de son tableau dans un repère, ils sont tous alignés.
Qu'ont de particulier les fonctions de la forme ax + b, et comment les utiliser ?
2Je comprends
1. Définitions
Une fonction affine est une fonction définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont deux réels fixés.
- a est le coefficient directeur (ou pente) ;
- b est l'ordonnée à l'origine : c'est f(0).
Deux cas particuliers :
- si b = 0, f(x) = ax est une fonction linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité ;
- si a = 0, f(x) = b est une fonction constante.
| Fonction | Nature | a | b |
|---|---|---|---|
| f(x) = 3x - 1 | affine | 3 | -1 |
| g(x) = -x2 | linéaire | -12 | 0 |
| h(x) = 4 | constante | 0 | 4 |
| k(x) = x2 + 1 | pas affine |
Les pourcentages sont des fonctions linéaires : augmenter un prix de 8 %, c'est appliquer f(x) = 1,08x.
2. Accroissements proportionnels
Pour une fonction affine, l'augmentation de f(x) est proportionnelle à l'augmentation de x. Pour deux nombres distincts x1 et x2 :
a = f(x2) - f(x1)x2 - x1.
Autrement dit, quand x augmente de 1, f(x) augmente de a. Pour l'épargne de Mariama, a = 25 000 : c'est ce qu'elle ajoute chaque semaine.
Méthode
Pour déterminer la fonction affine f telle que f(x₁) = y₁ et f(x₂) = y₂ :
- Je calcule a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- Je remplace dans f(x₁) = a × x₁ + b pour trouver b.
- J'écris f(x) = ax + b.
- Je vérifie avec la seconde valeur : f(x₂) doit donner y₂.
Exemple
Déterminer la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(6) = −3.
a = (−3 − 5)/(6 − 2) = −8/4 = −2.
f(2) = 5 donne −2 × 2 + b = 5, soit b = 9.
f(x) = −2x + 9. Vérification : f(6) = −12 + 9 = −3.
3. Représentation graphique
La courbe représentative d'une fonction affine est une droite, d'équation y = ax + b.
- Elle coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).
- Si on avance de 1 vers la droite, on monte de a (si a > 0) ou on descend de |a| (si a < 0).
- Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l'origine.
- Une fonction constante est représentée par une droite horizontale.
Pour tracer la droite, deux points suffisent ; un troisième permet de vérifier.
Exemple
Tracer la droite de g(x) = 2x − 3 et lire son intersection avec celle de f(x) = −2x + 9.
Deux points de la droite de g : g(0) = −3 donne A(0 ; −3) ; g(3) = 3 donne (3 ; 3).
Sur le graphique, les deux droites se coupent en I(3 ; 3).
Vérification par le calcul : 2x − 3 = −2x + 9 ⇔ 4x = 12 ⇔ x = 3, et g(3) = 3.
Lecture inverse : si une droite passe par (0 ; 1) et (2 ; 4), alors b = 1 et a = 4 - 12 - 0 = 32 ; c'est la droite de f(x) = 32x + 1.
4. Sens de variation et signe
Pour f(x) = ax + b :
- si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ ;
- si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ ;
- si a = 0, f est constante.
En effet, pour x1 < x2, f(x2) - f(x1) = a(x2 - x1) a le signe de a.
Pour a ≠ 0, f(x) s'annule en x0 = -ba ; elle est du signe de a à droite de x0 et du signe contraire à gauche (règle vue dans la leçon « Les inéquations »).
| a > 0 | a < 0 |
|---|---|
| droite qui monte | droite qui descend |
| f(x) < 0 puis f(x) > 0 | f(x) > 0 puis f(x) < 0 |
5. Modéliser avec une fonction affine
Une situation se modélise par une fonction affine quand on a une partie fixe (b) et une partie proportionnelle (ax) : frais fixes plus prix à l'unité, épargne de départ plus versements réguliers, réservoir qui se vide d'une même quantité chaque jour… On compare deux offres en cherchant le point d'intersection de leurs droites.
3Je retiens
Je retiens
Fonction affine : f(x) = ax + b ; linéaire si b = 0 ; constante si a = 0.
b = f(0) : ordonnée à l'origine ; a : coefficient directeur.
a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁) : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a.
La représentation graphique est une droite ; une fonction linéaire passe par l'origine.
a > 0 : f croissante ; a < 0 : f décroissante.
ax + b s'annule en −b/a, avec le signe de a à droite de ce nombre.
4Erreurs fréquentes
- Inverser le calcul de la pente : a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), et non (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁).
- Confondre b et le point où la droite coupe l'axe des abscisses : b se lit sur l'axe des ORDONNÉES.
- Croire que toute fonction « qui augmente régulièrement » est linéaire : avec des frais fixes (b ≠ 0), elle est affine, pas proportionnelle.
- Oublier de vérifier la fonction trouvée avec la deuxième valeur donnée.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque fonction, dis si elle est affine, linéaire, constante ou rien de cela, et donne a et b quand c'est possible.
a) f(x) = 5 - 2x b) g(x) = 0,3x c) h(x) = -6 d) k(x) = 1x e) m(x) = 3(x + 1) - 3x
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f(x) = -2x + 5 : affine, a = -2, b = 5.
b) Linéaire, a = 0,3, b = 0.
c) Constante, a = 0, b = -6.
d) Pas affine : x est au dénominateur (et k n'est pas définie en 0).
e) m(x) = 3x + 3 - 3x = 3 : fonction constante, a = 0, b = 3. Il faut toujours réduire avant de conclure.
2Exercice 2
Détermine la fonction affine f telle que f(-1) = 4 et f(3) = -4. Donne son sens de variation et dresse son tableau de signes.
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a = -4 - 43 - (-1) = -84 = -2. f(-1) = 4 donne 2 + b = 4, soit b = 2. Donc f(x) = -2x + 2. Vérification : f(3) = -6 + 2 = -4.
a = -2 < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ.
f(x) = 0 ⇔ x = 1 : f(x) > 0 pour x < 1, f(x) = 0 pour x = 1, f(x) < 0 pour x > 1.
3Exercice 3
Une droite (D) passe par A(0 ; 1) et B(2 ; 4).
a) Détermine la fonction affine f représentée par (D).
b) Calcule f(4), puis l'antécédent de -2.
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a) b = 1 (la droite passe par (0 ; 1)) et a = 4 - 12 - 0 = 32. Donc f(x) = 32x + 1.
b) f(4) = 6 + 1 = 7. Antécédent de -2 : 32x + 1 = -2 ⇔ 32x = -3 ⇔ x = -2.
4Exercice 4
Un commerçant de Kamsar augmente tous ses prix de 15 %.
a) Exprime le nouveau prix f(x) en fonction de l'ancien prix x. Quelle est la nature de f ?
b) Calcule le nouveau prix d'un article qui coûtait 80 000 GNF.
c) Un article coûte maintenant 69 000 GNF. Quel était son ancien prix ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f(x) = x × 1,15 = 1,15x : fonction linéaire (situation de proportionnalité).
b) f(80 000) = 1,15 × 80 000 = 92 000 GNF.
c) 1,15x = 69 000 ⇔ x = 69 0001,15 = 60 000 GNF. Vérification : 60 000 × 1,15 = 69 000.
5Exercice 5
(Type examen) À Kouroussa, deux loueurs proposent une motopompe pour irriguer les champs :
- loueur A : 20 000 GNF par heure ;
- loueur B : 60 000 GNF de frais fixes, puis 12 000 GNF par heure.
On note x le nombre d'heures, fA(x) et fB(x) les prix correspondants.
a) Exprime fA(x) et fB(x). Précise la nature de chaque fonction.
b) Représente les deux fonctions dans un même repère pour 0 ≤ x ≤ 12.
c) Pour quelle durée les deux loueurs demandent-ils le même prix ?
d) Quel loueur est le plus avantageux pour 10 heures ? Pour quelles durées le loueur B est-il le moins cher ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) fA(x) = 20 000x : linéaire. fB(x) = 12 000x + 60 000 : affine.
b) Droite de fA : passe par (0 ; 0) et (10 ; 200 000). Droite de fB : passe par (0 ; 60 000) et (10 ; 180 000).
c) 20 000x = 12 000x + 60 000 ⇔ 8 000x = 60 000 ⇔ x = 7,5. Pour 7 h 30, les deux coûtent 150 000 GNF.
d) Pour 10 h : fA(10) = 200 000 GNF et fB(10) = 180 000 GNF : B est plus avantageux. fB(x) < fA(x) ⇔ 60 000 < 8 000x ⇔ x > 7,5 : B est le moins cher au-delà de 7 h 30 de location ; en dessous, c'est A.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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