Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 17
Les fonctions usuelles
Je connais les fonctions carré, inverse, racine carrée et valeur absolue : leur ensemble de définition, leurs variations, leur courbe, et je sais les utiliser pour comparer, encadrer et résoudre.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître l'ensemble de définition, la parité, les variations et l'allure de la courbe des fonctions carré, inverse, racine carrée et valeur absolue
- Comparer ou encadrer des nombres grâce aux variations de ces fonctions
- Résoudre des équations et inéquations simples comme x² ≤ a ou 1/x > a
- Reconnaître une fonction usuelle dans une situation concrète
Avant de commencer : Les généralités sur les fonctions, la représentation graphique et les fonctions affines (leçons 7, 8 et 10), les racines carrées et la valeur absolue (leçon « Les nombres réels »).
1Je découvre
Deux situations occupent la famille de Fanta, à Dubréka.
D'abord, son père veut acheter un terrain carré. S'il double le côté, la surface n'est pas doublée : un carré de 20 m de côté fait 400 m², un carré de 40 m fait 1 600 m², soit quatre fois plus. L'aire dépend du côté c selon A(c) = c2.
Ensuite, sa mère et ses tantes veulent partager les frais d'un car pour un baptême au village : 1 200 000 GNF. Si elles sont 4, chacune paie 300 000 GNF ; si elles sont 8, chacune paie 150 000 GNF. Plus elles sont nombreuses, moins chacune paie, mais la part ne descend jamais à zéro. La part vaut 1 200 000n pour n personnes.
Ni c2 ni 1n ne sont des fonctions affines : leurs courbes ne sont pas des droites.
Quelles sont les fonctions de référence, en dehors des fonctions affines, et comment se comportent-elles ?
2Je comprends
1. La fonction carré : f(x) = x2
- Définie sur ℝ.
- Paire : (-x)2 = x2 ; sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
- Minimum : 0, atteint en x = 0 ; un carré n'est jamais négatif.
- Sa courbe est une parabole de sommet O.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
2. La fonction valeur absolue : f(x) = |x|
- Définie sur ℝ, paire.
- |x| = -x si x ≤ 0 et |x| = x si x ≥ 0 : elle est affine par morceaux.
- Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum 0 en 0.
- Sa courbe est formée de deux demi-droites en forme de « V ».
3. La fonction inverse : f(x) = 1x
- Définie sur ℝ^* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ : on ne divise pas par 0.
- Impaire : 1-x = -1x ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
- Décroissante sur ]-∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[ (mais pas sur ℝ^* tout entier : -1 < 1 et 1-1 < 11).
- 1x a le signe de x.
- Sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches qui se rapprochent des axes sans jamais les toucher.
4. La fonction racine carrée : f(x) = √x
- Définie sur [0 ; +∞[ seulement.
- Ni paire ni impaire (son ensemble de définition n'est pas symétrique).
- Croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum 0 en 0.
- Sa courbe est une demi-parabole « couchée ».
5. Tableau récapitulatif
| Fonction | Définie sur | Parité | Variations |
|---|---|---|---|
| x2 | ℝ | paire | searrow sur ]-∞ ; 0], nearrow sur [0 ; +∞[ |
| lvert x rvert | ℝ | paire | searrow sur ]-∞ ; 0], nearrow sur [0 ; +∞[ |
| 1x | ℝ^* | impaire | searrow sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ |
| √x | [0 ; +∞[ | aucune | nearrow sur [0 ; +∞[ |
6. Comparer et encadrer grâce aux variations
Une fonction croissante sur un intervalle conserve l'ordre ; une fonction décroissante l'inverse. On peut donc comparer des nombres sans les calculer, à condition qu'ils soient dans un même intervalle où la fonction est monotone.
Méthode
Pour comparer f(a) et f(b) sans calculatrice :
- Je repère la fonction usuelle utilisée (carré, inverse, racine…).
- Je vérifie que a et b sont dans un même intervalle où f est croissante ou décroissante.
- Je compare a et b.
- Si f est croissante, f(a) et f(b) sont dans le même ordre ; si f est décroissante, dans l'ordre contraire.
Exemple
Comparer (−3)² et (−2)², puis 1/3 et 1/5.
−3 et −2 sont dans ]−∞ ; 0], où la fonction carré est décroissante.
−3 < −2, donc (−3)² > (−2)². (En effet, 9 > 4.)
3 et 5 sont dans ]0 ; +∞[, où la fonction inverse est décroissante.
3 < 5, donc 1/3 > 1/5.
Exemple
Sachant que 2 ≤ x ≤ 5, encadrer x², 1/x et √x.
Sur [2 ; 5], la fonction carré est croissante : 4 ≤ x² ≤ 25.
La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : 1/5 ≤ 1/x ≤ 1/2.
La fonction racine est croissante : √2 ≤ √x ≤ √5.
7. Résoudre avec les courbes de référence
- x2 = a : deux solutions ± √a si a > 0, une (0) si a = 0, aucune si a < 0.
- x2 ≤ a (avec a > 0) : x ∈ [-√a ; √a]. Par exemple x2 < 9 ⇔ x ∈ ]-3 ; 3[.
- x2 ≥ a (avec a > 0) : x ∈ ]-∞ ; -√a] ∪ [√a ; +∞[.
- √x = a (avec a ≥ 0) : x = a2. Par exemple √x ≤ 3 ⇔ x ∈ [0 ; 9].
- 1x ≥ 12 : si x < 0, 1x est négatif, donc impossible ; si x > 0, la fonction inverse est décroissante et 12 est l'image de 2, donc x ≤ 2. Solution : ]0 ; 2].
3Je retiens
Je retiens
x² : définie sur R, paire, décroissante puis croissante, minimum 0 en 0, parabole.
|x| : définie sur R, paire, décroissante puis croissante, courbe en « V ».
1/x : définie sur R*, impaire, décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, hyperbole.
√x : définie sur [0 ; +∞[, croissante, demi-parabole.
Une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante l'inverse (sur un même intervalle).
x² ≤ a (a > 0) ⇔ −√a ≤ x ≤ √a.
4Erreurs fréquentes
- Dire que la fonction carré est croissante sur R : −3 < 1 mais 9 > 1.
- Dire que 1/x est décroissante sur R* : il faut préciser « sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ ».
- Résoudre x² ≤ 9 en écrivant seulement x ≤ 3 : il faut aussi x ≥ −3.
- Calculer √x pour un x négatif : √x n'existe que pour x ≥ 0.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Compare sans calculatrice, en justifiant.
a) 2,32 et 2,52 b) (-1,5)2 et (-0,5)2 c) 10,7 et 10,9 d) √15 et 4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2,3 et 2,5 sont positifs et la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : 2,3 < 2,5 donc 2,32 < 2,52 (5,29 < 6,25).
b) -1,5 et -0,5 sont négatifs et la fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] : -1,5 < -0,5 donc (-1,5)2 > (-0,5)2 (2,25 > 0,25).
c) La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : 0,7 < 0,9 donc 10,7 > 10,9.
d) 4 = √16 ; la fonction racine est croissante et 15 < 16, donc √15 < 4.
2Exercice 2
Résous.
a) x2 = 5 b) x2 ≤ 16 c) x2 > 1 d) 1x = 4 e) √x = 5 f) |x| = 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) S = {-√5 ; √5}.
b) S = [-4 ; 4].
c) S = ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[.
d) x = 14 (x ≠ 0). S = {14}.
e) x = 52 = 25. S = {25}.
f) S = {-3 ; 3}.
3Exercice 3
a) On sait que -3 ≤ x ≤ -1. Encadre x2 et 1x.
b) On sait que 4 ≤ x ≤ 9. Encadre √x et 1x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Sur [-3 ; -1], la fonction carré est décroissante : l'ordre s'inverse, (-1)2 ≤ x2 ≤ (-3)2, soit 1 ≤ x2 ≤ 9. La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ : 1-1 ≤ 1x ≤ 1-3, soit -1 ≤ 1x ≤ -13.
b) La racine est croissante : 2 ≤ √x ≤ 3. L'inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : 19 ≤ 1x ≤ 14.
4Exercice 4
Sans calculatrice, range dans l'ordre croissant x, x2 et √x :
a) pour x = 0,25 ; b) pour x = 4. Que remarques-tu ? Relie ta réponse au graphique du cours.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 0,25 : x2 = 0,0625 et √x = 0,5. Donc x2 < x < √x.
b) x = 4 : x2 = 16 et √x = 2. Donc √x < x < x2.
Remarque : entre 0 et 1, élever au carré fait diminuer et prendre la racine fait augmenter ; au-delà de 1, c'est le contraire. C'est ce que montrent les trois courbes, qui se croisent en A(1 ; 1).
5Exercice 5
(Type examen) Une association de jeunes de Mamou loue un car pour un voyage culturel. La location coûte 1 800 000 GNF, partagés entre les x participants, avec 10 ≤ x ≤ 60.
a) Exprime la part p(x) de chaque participant. Calcule p(20) et p(45).
b) Quel est le sens de variation de p sur [10 ; 60] ? Justifie à l'aide d'une fonction usuelle.
c) Combien faut-il de participants au minimum pour que chacun paie au plus 50 000 GNF ?
d) Quelle est la forme de la courbe de p ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) p(x) = 1 800 000x. p(20) = 90 000 GNF ; p(45) = 40 000 GNF.
b) p(x) = 1 800 000 × 1x. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ et on la multiplie par un nombre positif : p est décroissante sur [10 ; 60]. Plus il y a de participants, moins chacun paie.
c) 1 800 000x ≤ 50 000 ⇔ 1 800 000 ≤ 50 000x (car x > 0) ⇔ x ≥ 36. Il faut au moins 36 participants. Vérification : p(36) = 50 000 GNF.
d) C'est un morceau d'hyperbole, comme la branche de 1x pour x > 0.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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