Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 17
Organisation des données
Je sais organiser une série statistique dans un tableau complet : effectifs, fréquences, effectifs et fréquences cumulés, regroupement en classes et tableau à double entrée.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire un tableau d'effectifs et de fréquences cumulés croissants et décroissants
- Regrouper les valeurs d'un caractère continu en classes et donner amplitude et centre
- Lire et compléter un tableau à double entrée
- Répondre à des questions du type « au plus », « au moins », « moins de » à l'aide des cumuls
Avant de commencer : Le vocabulaire statistique, les effectifs et les fréquences (leçon « Généralités sur l'organisation des données »), les intervalles (leçon « Les nombres réels »).
1Je découvre
Après son enquête, Hawa, déléguée de 11e au lycée de Kindia, a relevé la durée du trajet domicile-lycée des 40 élèves de sa classe. Les durées sont toutes différentes : 7 min, 12 min, 23 min, 38 min, 51 min… Faire une colonne par durée donnerait un tableau immense et illisible.
Elle décide de regrouper les durées par tranches de 10 minutes, avec une dernière tranche plus large :
| Durée (min) | de 0 à moins de 10 | de 10 à moins de 20 | de 20 à moins de 30 | de 30 à moins de 40 | de 40 à moins de 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 6 | 10 | 12 | 7 | 5 |
Le proviseur lui pose alors deux questions : « Combien d'élèves mettent moins de 30 minutes ? » et « Combien mettent au moins 20 minutes ? ». Pour la première, Hawa additionne 6 + 10 + 12 = 28 ; pour la seconde, 12 + 7 + 5 = 24.
Ces additions successives reviennent si souvent qu'on les inscrit directement dans le tableau.
Comment organiser des données dans un tableau qui répond vite à toutes ces questions ?
2Je comprends
1. Rappels : effectifs et fréquences
Pour chaque modalité xi (ou chaque classe), l'effectif ni est le nombre d'individus concernés, et la fréquence est fi = niN, où N est l'effectif total. La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.
Le mode d'une série à caractère discret est la modalité qui a le plus grand effectif. Pour un caractère regroupé en classes de même amplitude, on parle de classe modale.
2. Effectifs et fréquences cumulés
Pour un caractère quantitatif, les modalités sont rangées dans l'ordre croissant. On définit :
- l'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur : la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs plus petites. Il répond à « combien d'individus ont au plus cette valeur ? » ;
- l'effectif cumulé décroissant (ECD) d'une valeur : la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs plus grandes. Il répond à « combien ont au moins cette valeur ? » ;
- les fréquences cumulées croissantes (FCC) et décroissantes (FCD), calculées de la même façon avec les fréquences.
Le dernier ECC est toujours égal à N ; le premier ECD aussi. La dernière FCC vaut 100 %.
Méthode
Pour construire les effectifs cumulés :
- Je range les modalités (ou les classes) dans l'ordre croissant.
- ECC : je recopie le premier effectif, puis j'ajoute chaque nouvel effectif au cumul précédent (de gauche à droite).
- ECD : je pars de N sous la première valeur, puis je retire à chaque fois l'effectif de la colonne précédente.
- Je vérifie : le dernier ECC et le premier ECD sont égaux à N.
- Pour les fréquences cumulées, je fais la même chose avec les fréquences (ou je divise les cumuls par N).
Exemple
Nombre d'enfants de 20 familles d'un quartier de Kindia (enquête de la leçon précédente).
Nombre d'enfants : 0 1 2 3 4 5 6
Effectif : 1 2 5 7 3 1 1
ECC : 1 3 8 15 18 19 20
ECD : 20 19 17 12 5 2 1
FCC (%) : 5 15 40 75 90 95 100
Mode : 3 enfants (effectif 7).
Lectures : 15 familles ont au plus 3 enfants (ECC sous 3), soit 75 % (FCC).
12 familles ont au moins 3 enfants (ECD sous 3).
3. Regrouper en classes
Quand le caractère est continu (durée, masse, taille, revenu) ou prend beaucoup de valeurs, on regroupe les valeurs en classes de la forme [a ; b[ : la borne a est incluse, la borne b exclue, pour qu'une valeur n'appartienne qu'à une seule classe.
- L'amplitude de la classe [a ; b[ est b - a.
- Le centre de la classe est a + b2 ; il sert à représenter la classe dans certains calculs.
Les classes doivent se suivre sans trou ni chevauchement. Elles n'ont pas forcément toutes la même amplitude (une dernière classe plus large regroupe souvent les valeurs rares).
Exemple
Durées de trajet (en min) de 20 élèves d'une autre classe :
12 ; 25 ; 8 ; 33 ; 18 ; 22 ; 45 ; 15 ; 27 ; 5 ; 38 ; 19 ; 29 ; 11 ; 24 ; 52 ; 16 ; 31 ; 21 ; 9.
Classe : [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[
Effectif : 3 6 6 3 2
Centre : 5 15 25 35 50
Amplitude : 10 10 10 10 20
ECC : 3 9 15 18 20
Vérification : 3 + 6 + 6 + 3 + 2 = 20.
Lecture : 15 élèves mettent moins de 30 minutes (ECC de la classe [20 ; 30[).
Avec les classes, on perd un peu d'information (on ne sait plus la durée exacte de chacun), mais on gagne beaucoup en lisibilité.
4. Le tableau à double entrée
Quand on étudie deux caractères sur la même population, on utilise un tableau à double entrée : les modalités d'un caractère en lignes, celles de l'autre en colonnes. Chaque case donne l'effectif des individus qui ont les deux modalités. On ajoute une ligne et une colonne « Total ».
| À pied | Moto-taxi | Vélo | Voiture | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| Filles | 12 | 5 | 1 | 2 | 20 |
| Garçons | 10 | 5 | 4 | 1 | 20 |
| Total | 22 | 10 | 5 | 3 | 40 |
Lecture : 12 filles viennent à pied ; au total, 22 élèves viennent à pied. Les totaux de la dernière ligne redonnent le tableau de la leçon précédente.
Attention à la question posée : « parmi les filles, quel pourcentage vient à pied ? » donne 1220 = 60 \%, alors que « parmi les élèves qui viennent à pied, quel pourcentage sont des filles ? » donne 1222 ≈ 54,5 \%. Le dénominateur est le total du groupe de référence.
3Je retiens
Je retiens
On range les valeurs d'un caractère quantitatif dans l'ordre croissant avant de cumuler.
ECC : « au plus » cette valeur ; ECD : « au moins » cette valeur.
Dernier ECC = premier ECD = N ; dernière FCC = 100 %.
Classe [a ; b[ : a inclus, b exclu ; amplitude b − a ; centre (a + b)/2.
Mode : modalité de plus grand effectif ; classe modale pour des classes de même amplitude.
Tableau à double entrée : chaque case croise deux modalités ; toujours vérifier les totaux.
4Erreurs fréquentes
- Cumuler sans avoir rangé les valeurs dans l'ordre croissant : les cumuls n'ont alors aucun sens.
- Confondre « moins de 30 » et « au plus 30 » avec des classes : « moins de 30 min » correspond à l'ECC de la classe [20 ; 30[, car 30 est exclu.
- Faire des classes qui se chevauchent, comme [10 ; 20] et [20 ; 30] : la valeur 20 serait comptée deux fois.
- Dans un tableau à double entrée, prendre le mauvais total comme dénominateur d'un pourcentage.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On a demandé à 30 élèves combien de livres ils ont lus pendant les vacances.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 9 | 6 | 3 | 1 |
a) Complète le tableau avec les ECC et les ECD. Donne le mode.
b) Combien d'élèves ont lu au plus 2 livres ? Au moins 3 livres ?
c) Quel pourcentage d'élèves a lu au plus 2 livres (arrondi à 0,1 %) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a)
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 9 | 6 | 3 | 1 |
| ECC | 4 | 11 | 20 | 26 | 29 | 30 |
| ECD | 30 | 26 | 19 | 10 | 4 | 1 |
Mode : 2 livres (effectif 9).
b) Au plus 2 livres : ECC sous 2, soit 20 élèves. Au moins 3 livres : ECD sous 3, soit 10 élèves. (Contrôle : 20 + 10 = 30.)
c) 2030 ≈ 0,667, soit environ 66,7 %.
2Exercice 2
Voici les masses (en kg) de 24 sacs d'arachides pesés dans une coopérative de Kouroussa :
48,5 ; 51,2 ; 49,8 ; 50,4 ; 47,9 ; 52,6 ; 50,0 ; 49,1 ; 53,4 ; 50,7 ; 48,2 ; 51,8 ; 49,5 ; 50,9 ; 46,8 ; 51,1 ; 50,2 ; 49,9 ; 52,1 ; 48,9 ; 50,5 ; 47,5 ; 51,5 ; 49,3.
a) Regroupe ces masses dans les classes [46 ; 48[, [48 ; 50[, [50 ; 52[ et [52 ; 54[.
b) Donne le centre de chaque classe, les fréquences (arrondies à 0,1 %) et les ECC.
c) Combien de sacs pèsent moins de 50 kg ? Quelle est la classe modale ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) et b)
| Masse (kg) | [46 ; 48[ | [48 ; 50[ | [50 ; 52[ | [52 ; 54[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 10 | 3 | 24 |
| Centre | 47 | 49 | 51 | 53 | |
| Fréquence (%) | 12,5 | 33,3 | 41,7 | 12,5 | 100 |
| ECC | 3 | 11 | 21 | 24 |
Détail : [46 ; 48[ contient 47,9 ; 46,8 ; 47,5. La valeur 50,0 va dans [50 ; 52[, car 50 est exclu de [48 ; 50[.
c) Moins de 50 kg : ECC de [48 ; 50[, soit 11 sacs. Classe modale (classes de même amplitude) : [50 ; 52[.
3Exercice 3
On a interrogé 60 personnes au marché de Labé sur leur activité principale. Complète le tableau.
| Commerce | Agriculture | Artisanat | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Femmes | 18 | … | 6 | 36 |
| Hommes | … | 10 | … | … |
| Total | 27 | 22 | … | 60 |
Puis calcule : a) le pourcentage de femmes parmi les commerçants ; b) le pourcentage de commerçantes parmi les femmes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Femmes agriculture : 36 - 18 - 6 = 12. Hommes commerce : 27 - 18 = 9. Total hommes : 60 - 36 = 24. Hommes artisanat : 24 - 9 - 10 = 5. Total artisanat : 6 + 5 = 11. Contrôles : 12 + 10 = 22 et 27 + 22 + 11 = 60.
a) 1827 ≈ 66,7 \% des commerçants sont des femmes.
b) 1836 = 50 \% des femmes sont commerçantes.
4Exercice 4
Voici les effectifs cumulés croissants de l'âge (en années) des 40 membres d'une association de jeunes de Nzérékoré :
| Âge | [15 ; 18[ | [18 ; 21[ | [21 ; 24[ | [24 ; 27[ | [27 ; 30[ |
|---|---|---|---|---|---|
| ECC | 5 | 12 | 25 | 34 | 40 |
a) Retrouve l'effectif de chaque classe.
b) Combien de membres ont au moins 24 ans ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Effectifs : 5 ; 12 - 5 = 7 ; 25 - 12 = 13 ; 34 - 25 = 9 ; 40 - 34 = 6. Contrôle : 5 + 7 + 13 + 9 + 6 = 40.
b) Au moins 24 ans : 9 + 6 = 15 membres (ou 40 - 25 = 15).
5Exercice 5
(Type examen) Le salaire mensuel (en milliers de GNF) des 40 employés d'une entreprise de Kamsar est réparti ainsi :
| Salaire | [1 000 ; 1 500[ | [1 500 ; 2 000[ | [2 000 ; 2 500[ | [2 500 ; 3 000[ | [3 000 ; 4 000[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 10 | 5 | 3 |
a) Quel est le caractère étudié ? Sa nature ? Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
b) Calcule les fréquences en pourcentage, puis les fréquences cumulées croissantes.
c) Quel pourcentage d'employés gagne moins de 2 000 000 GNF ? Au moins 2 500 000 GNF ?
d) Quelle est la classe modale ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Caractère : le salaire mensuel, quantitatif continu. Amplitudes : 500 pour les quatre premières classes, 1 000 pour la dernière. Centres : 1 250 ; 1 750 ; 2 250 ; 2 750 ; 3 500.
b) Fréquences : 840 = 20 \% ; 1440 = 35 \% ; 1040 = 25 \% ; 540 = 12,5 \% ; 340 = 7,5 \%. FCC : 20 % ; 55 % ; 80 % ; 92,5 % ; 100 %.
c) Moins de 2 000 000 GNF : FCC de [1 500 ; 2 000[, soit 55 %. Au moins 2 500 000 GNF : 12,5 + 7,5 = 20 \% (ou 100 - 80).
d) Les quatre premières classes ont la même amplitude ; la plus grande est [1 500 ; 2 000[ avec 14 employés. La dernière, plus large, n'a que 3 employés. La classe modale est [1 500 ; 2 000[.
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