Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 3
Enregistrement d'un mouvement
Je sais lire un enregistrement de positions prises à intervalles de temps égaux pour en déduire la nature du mouvement et calculer des vitesses moyennes et instantanées.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire le principe d'un enregistrement (chronophotographie, table à coussin d'air, gouttes à intervalles réguliers)
- Déduire d'un enregistrement la forme de la trajectoire et la nature du mouvement
- Calculer une vitesse moyenne et une vitesse instantanée à partir d'un enregistrement
- Tenir compte de l'échelle d'un document et représenter un vecteur vitesse
Avant de commencer : Les leçons « Le mouvement » et « Mouvement d'un mobile » (référentiel, trajectoire, vitesse moyenne, conversions d'unités).
1Je découvre
Mamadou revient du marché de Pita avec sa charrette tirée par un âne. À l'arrière, son bidon d'eau est percé : une goutte tombe à peu près toutes les demi-secondes, et chaque goutte laisse une petite tache sombre sur la piste poussiéreuse.
Le lendemain matin, sa petite sœur Mariama remarque la ligne de taches sur la piste. Au début, les taches sont très serrées ; puis elles s'écartent de plus en plus ; plus loin, elles sont régulièrement espacées ; enfin, près de la maison, elles se resserrent à nouveau.
Mariama n'a pas vu la charrette passer. Pourtant, elle devine : « Ici, l'âne démarrait doucement ; là, il trottait régulièrement ; et à la fin, il ralentissait pour s'arrêter. »
Sans le savoir, le bidon percé a réalisé un enregistrement du mouvement : il a marqué la position de la charrette à intervalles de temps égaux.
Comment réalise-t-on un enregistrement d'un mouvement, et comment en tirer la trajectoire, la nature du mouvement et les vitesses ?
2Je comprends
1. Le principe d'un enregistrement
Enregistrer un mouvement, c'est noter les positions successives d'un point du mobile à des intervalles de temps égaux. Cette durée constante entre deux marques consécutives est notée tau (lettre grecque « tau ») ; on l'appelle l'intervalle de temps (ou la période) de l'enregistrement.
On obtient une série de points M0, M1, M2, M3, … : le point Mi est la position du mobile à la date ti = i × tau (si l'on prend t0 = 0 en M0).
Entre deux points consécutifs, il s'écoule toujours la même durée tau. Entre M0 et M4, par exemple, il s'écoule 4tau.
2. Les principaux dispositifs d'enregistrement
| Dispositif | Comment il marque les positions |
|---|---|
| Chronophotographie | Un appareil photo, dans l'obscurité, garde son obturateur ouvert pendant qu'une lampe éclaire le mobile par des éclairs brefs et réguliers. On obtient sur une seule image plusieurs positions du mobile. |
| Table à coussin d'air | Un palet (mobile autoporteur) glisse presque sans frottement sur un coussin d'air. Un dispositif produit des étincelles à intervalles réguliers qui laissent des points sur une feuille spéciale placée sous le palet. |
| Vidéo image par image | Une caméra filme le mouvement ; on relève la position du mobile sur chaque image, les images étant séparées par une durée constante. |
| Gouttes ou marques régulières | Comme le bidon de Mamadou : un liquide qui s'écoule goutte à goutte à rythme régulier laisse des traces sur le sol. |
- 1Choisir le point du mobile à suivre et le référentiel (en général le sol ou la table).
- 2Marquer ses positions M0, M1, M2… à intervalles de temps égaux τ.
- 3Observer l'alignement des points : on en déduit la forme de la trajectoire.
- 4Observer les écarts entre points consécutifs : on en déduit l'évolution de la vitesse.
- 5Mesurer les distances, tenir compte de l'échelle, puis calculer les vitesses.
3. Lire la nature du mouvement
La forme de la trajectoire. On relie les points M0, M1, M2, … :
- s'ils sont alignés, la trajectoire est rectiligne ;
- s'ils sont sur un cercle, elle est circulaire ;
- sinon, elle est curviligne.
L'évolution de la vitesse. Pendant chaque intervalle tau, le mobile parcourt la distance entre deux points consécutifs. Donc :
- écarts égaux : le mobile parcourt des distances égales pendant des durées égales, le mouvement est uniforme ;
- écarts de plus en plus grands : le mouvement est accéléré ;
- écarts de plus en plus petits : le mouvement est ralenti.
4. Calculer une vitesse moyenne
La vitesse moyenne entre deux positions Mi et Mj (avec j > i) est la distance parcourue divisée par la durée (j - i)tau. Si la trajectoire est rectiligne :
vm = MiMj(j - i) tau
5. Calculer une vitesse instantanée
On ne peut pas mesurer directement la vitesse à un instant. On l'approche par la vitesse moyenne sur un très court intervalle qui encadre cet instant. En pratique, pour la vitesse au point Mi, on prend les deux points voisins Mi-1 et Mi+1, séparés par une durée 2tau :
vi ≈ Mi-1Mi+12 tau
Conséquence : on ne peut pas calculer ainsi la vitesse au premier point ni au dernier point de l'enregistrement, car il leur manque un voisin.
Le vecteur vitesse vi a pour origine Mi, est porté par la trajectoire (tangent à elle), orienté dans le sens du mouvement, et sa longueur est fixée par une échelle (par exemple 1 cm pour 10 cm/s).
Méthode
Pour exploiter un enregistrement :
- Je note la valeur de τ et je la convertis en secondes (1 ms = 0,001 s).
- Je regarde l'alignement des points (forme de la trajectoire) et les écarts (uniforme, accéléré ou ralenti).
- Je mesure les distances utiles et j'applique l'échelle du document si elle existe.
- Vitesse moyenne entre Mi et Mj : je divise la distance MiMj par (j − i)τ.
- Vitesse instantanée en Mi : je divise la distance Mi−1Mi+1 par 2τ.
- Je donne le résultat avec son unité (cm/s ou m/s) et je le représente par un vecteur si on le demande.
Exemple
Enregistrement sur table à coussin d'air, τ = 40 ms. Les points sont alignés et tous les écarts valent 1,2 cm.
Trajectoire : rectiligne (points alignés).
Vitesse : écarts égaux, donc mouvement uniforme.
τ = 40 ms = 0,04 s.
v = 1,2 cm ÷ 0,04 s = 30 cm/s = 0,30 m/s.
Nature : mouvement rectiligne uniforme à 0,30 m/s.
Exemple
Enregistrement d'un palet sur une table inclinée, τ = 20 ms = 0,02 s. Points alignés. Positions mesurées depuis M0 :
M0 : 0 cm ; M1 : 0,5 cm ; M2 : 1,2 cm ; M3 : 2,1 cm ; M4 : 3,2 cm ; M5 : 4,5 cm.
Écarts : 0,5 ; 0,7 ; 0,9 ; 1,1 ; 1,3 cm, de plus en plus grands : mouvement rectiligne accéléré.
v1 = M0M2 ÷ 2τ = 1,2 ÷ 0,04 = 30 cm/s.
v2 = M1M3 ÷ 2τ = (2,1 − 0,5) ÷ 0,04 = 1,6 ÷ 0,04 = 40 cm/s.
v3 = M2M4 ÷ 2τ = (3,2 − 1,2) ÷ 0,04 = 2,0 ÷ 0,04 = 50 cm/s.
v4 = M3M5 ÷ 2τ = (4,5 − 2,1) ÷ 0,04 = 2,4 ÷ 0,04 = 60 cm/s.
La vitesse augmente de 10 cm/s à chaque intervalle τ : c'est bien un mouvement accéléré.
Vecteur v2 à l'échelle 1 cm pour 10 cm/s : une flèche de 4 cm partant de M2, dans le sens du mouvement.
6. Tenir compte de l'échelle
Sur une chronophotographie, l'image est souvent plus petite que la réalité. Il faut convertir les distances mesurées sur le document en distances réelles avant de calculer.
Exemple
Chronophotographie d'une balle qui roule, à l'échelle 1/20 (1 cm sur la photo représente 20 cm en réalité). Les éclairs se produisent toutes les 0,1 s. Sur la photo, deux images successives sont distantes de 1,5 cm.
Distance réelle : 1,5 × 20 = 30 cm = 0,30 m.
Vitesse moyenne sur cet intervalle : v = 0,30 ÷ 0,1 = 3 m/s.
7. Retour à la charrette de Mamadou
Si les gouttes tombent toutes les 0,5 s et qu'au milieu du trajet les taches sont régulièrement espacées de 60 cm, alors la charrette roulait à vitesse constante : v = 0,600,5 = 1,2 m/s, soit 1,2 × 3,6 ≈ 4,3 km/h, l'allure d'un âne qui marche d'un bon pas.
3Je retiens
Je retiens
Enregistrer un mouvement : marquer les positions M0, M1, M2… d'un point du mobile à intervalles de temps égaux τ.
Points alignés : trajectoire rectiligne.
Écarts égaux : uniforme ; écarts croissants : accéléré ; écarts décroissants : ralenti.
Vitesse moyenne entre Mi et Mj : vm = MiMj / ((j − i)τ).
Vitesse instantanée en Mi : vi ≈ Mi−1Mi+1 / (2τ) (impossible au premier et au dernier point).
Toujours convertir τ en secondes et appliquer l'échelle du document avant de calculer.
4Erreurs fréquentes
- Diviser Mi−1Mi+1 par τ au lieu de 2τ : entre Mi−1 et Mi+1, il s'écoule deux intervalles.
- Oublier de convertir τ : 40 ms = 0,04 s, et non 0,4 s.
- Oublier l'échelle d'une chronophotographie : la distance mesurée sur la photo n'est pas la distance réelle.
- Conclure « uniforme » parce que les points sont alignés : l'alignement renseigne sur la trajectoire, les écarts renseignent sur la vitesse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Questions de cours)
a) Que signifie « enregistrer un mouvement » ?
b) Cite deux dispositifs d'enregistrement.
c) Sur un enregistrement, comment reconnaît-on un mouvement ralenti ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Enregistrer un mouvement, c'est marquer les positions successives d'un point du mobile à des intervalles de temps égaux tau.
b) Par exemple : la chronophotographie et la table à coussin d'air (on peut aussi citer la vidéo image par image).
c) Les écarts entre points consécutifs sont de plus en plus petits : le mobile parcourt des distances de plus en plus courtes pendant la même durée tau.
2Exercice 2
Sur une table à coussin d'air, on obtient des points alignés. L'intervalle de temps est tau = 60 ms et la distance entre deux points consécutifs vaut toujours 1,8 cm.
a) Quelle est la nature du mouvement ?
b) Calcule la vitesse du palet en cm/s, puis en m/s.
c) Quelle distance sépare M0 de M5 ? Retrouve la vitesse à partir de cette distance.
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a) Points alignés : trajectoire rectiligne. Écarts égaux : mouvement uniforme. C'est un mouvement rectiligne uniforme.
b) tau = 60 ms = 0,06 s. v = 1,80,06 = 30 cm/s = 0,30 m/s.
c) M0M5 = 5 × 1,8 = 9,0 cm, parcourus en 5tau = 0,30 s. v = 9,00,30 = 30 cm/s. On retrouve la même valeur, ce qui confirme que le mouvement est uniforme.
3Exercice 3
Un palet lancé sur une table légèrement inclinée monte en ralentissant. On a relevé (tau = 40 ms), depuis M0 :
M0 : 0 cm ; M1 : 2,4 cm ; M2 : 4,4 cm ; M3 : 6,0 cm ; M4 : 7,2 cm ; M5 : 8,0 cm. Les points sont alignés.
a) Calcule les écarts entre points consécutifs et justifie que le mouvement est rectiligne ralenti.
b) Calcule les vitesses instantanées v1, v2, v3 et v4.
c) Calcule la vitesse moyenne entre M0 et M5.
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2tau = 0,08 s.
a) Écarts : 2,4 ; 4,4 - 2,4 = 2,0 ; 6,0 - 4,4 = 1,6 ; 7,2 - 6,0 = 1,2 ; 8,0 - 7,2 = 0,8 cm. Les points sont alignés (trajectoire rectiligne) et les écarts diminuent (mouvement ralenti) : le mouvement est rectiligne ralenti.
b) v1 = M0M22tau = 4,40,08 = 55 cm/s.
v2 = M1M32tau = 6,0 - 2,40,08 = 3,60,08 = 45 cm/s.
v3 = M2M42tau = 7,2 - 4,40,08 = 2,80,08 = 35 cm/s.
v4 = M3M52tau = 8,0 - 6,00,08 = 2,00,08 = 25 cm/s.
La vitesse diminue de 10 cm/s à chaque intervalle : le ralentissement est régulier.
c) M0M5 = 8,0 cm, parcourus en 5tau = 0,20 s : vm = 8,00,20 = 40 cm/s = 0,40 m/s.
4Exercice 4
Une chronophotographie d'une bille qui roule sur un sol horizontal est à l'échelle 1/10. Les éclairs ont lieu toutes les 50 ms. Sur la photo, les images sont alignées et régulièrement espacées de 0,8 cm.
a) Quelle est la nature du mouvement ?
b) Quelle est la distance réelle parcourue entre deux éclairs ?
c) Calcule la vitesse de la bille en m/s, puis en km/h.
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a) Images alignées et régulièrement espacées : mouvement rectiligne uniforme.
b) Distance réelle : 0,8 × 10 = 8 cm = 0,08 m.
c) tau = 50 ms = 0,05 s. v = 0,080,05 = 1,6 m/s, soit 1,6 × 3,6 = 5,76 km/h.
5Exercice 5
(Synthèse) Le bidon percé de la charrette de Mamadou laisse tomber une goutte toutes les 0,5 s. Sur une partie droite de la piste, Mariama mesure les écarts entre taches successives : 20 cm, 30 cm, 40 cm, 50 cm, 50 cm, 50 cm.
a) Décris les deux phases du mouvement de la charrette.
b) Calcule la vitesse de la charrette pendant la deuxième phase, en m/s puis en km/h.
c) Estime la vitesse instantanée au moment où tombe la troisième goutte (celle qui sépare l'écart de 30 cm de l'écart de 40 cm).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Première phase : les écarts augmentent (20, 30, 40, 50 cm), la charrette accélère. Deuxième phase : les écarts restent égaux à 50 cm, la charrette roule à vitesse constante (mouvement rectiligne uniforme, la partie de piste étant droite).
b) v = 0,500,5 = 1,0 m/s, soit 1,0 × 3,6 = 3,6 km/h.
c) La troisième goutte est encadrée par un écart de 30 cm et un écart de 40 cm. Entre la goutte qui la précède et celle qui la suit, il y a 30 + 40 = 70 cm = 0,70 m, parcourus en 2 × 0,5 = 1 s. Donc v ≈ 0,701 = 0,70 m/s.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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