Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 3
Mouvement d'un mobile
Je sais calculer la vitesse moyenne d'un mobile, convertir les vitesses, reconnaître un mouvement uniforme, accéléré ou ralenti, et utiliser l'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniforme.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer une vitesse moyenne et convertir entre m/s et km/h
- Distinguer vitesse moyenne et vitesse instantanée
- Classer un mouvement (rectiligne ou circulaire ; uniforme, accéléré ou ralenti)
- Écrire et exploiter l'équation horaire x = vt + x₀ d'un mouvement rectiligne uniforme
Avant de commencer : La leçon « Le mouvement » (référentiel, repère, date, durée, trajectoire) et la résolution d'une équation du premier degré.
1Je découvre
Chaque matin, Ibrahima prend une moto-taxi pour aller de son quartier au lycée de Labé. Le trajet fait 6 km et dure 15 min. Son camarade Alpha, qui habite plus loin, vient en minibus : 18 km en 40 min.
Ibrahima taquine Alpha : « Ton minibus est lent, il met presque trois fois plus de temps que ma moto ! » Alpha répond : « Mais il fait trois fois plus de chemin ! »
Pour savoir lequel des deux véhicules va le plus vite, il ne suffit pas de comparer les durées, ni les distances : il faut comparer les deux en même temps. Et encore : la moto-taxi s'arrête aux carrefours, accélère dans les descentes, ralentit dans les nids-de-poule. Sa vitesse change sans cesse.
Comment mesurer la rapidité d'un mobile, et comment décrire la façon dont elle évolue au cours du trajet ?
2Je comprends
1. La vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée Δ t du parcours :
vm = dΔ t
- Dans le Système international (SI) : d en mètres (m), Δ t en secondes (s), vm en mètres par seconde (m/s ou m·s⁻¹).
- Dans la vie courante : d en km, Δ t en h, vm en kilomètres par heure (km/h).
On en déduit aussi : d = vm × Δ t et Δ t = dvm.
2. Convertir les vitesses
Comme 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s :
1 km/h = 1 000 m3 600 s = 13,6 m/s
- Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.
- Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.
Exemples : 72 km/h = 723,6 = 20 m/s ; 15 m/s = 15 × 3,6 = 54 km/h.
Exemple
Qui va le plus vite : la moto-taxi d'Ibrahima ou le minibus d'Alpha ?
Moto-taxi : d = 6 km ; Δt = 15 min = 0,25 h.
v = 6 ÷ 0,25 = 24 km/h.
Minibus : d = 18 km ; Δt = 40 min = 40/60 h = 2/3 h.
v = 18 ÷ (2/3) = 18 × 3/2 = 27 km/h.
Le minibus a la plus grande vitesse moyenne : 27 km/h contre 24 km/h.
En m/s : 24 ÷ 3,6 ≈ 6,7 m/s et 27 ÷ 3,6 = 7,5 m/s.
3. La vitesse instantanée
La vitesse moyenne ne dit pas tout : sur un trajet de 24 km/h de moyenne, la moto a pu rouler à 50 km/h sur le goudron et à 10 km/h dans les trous.
La vitesse instantanée est la vitesse du mobile à un instant précis. C'est celle qu'affiche le compteur d'une moto ou d'une voiture. On l'obtient en calculant une vitesse moyenne sur une durée très courte autour de l'instant considéré (on verra comment dans la leçon « Enregistrement d'un mouvement »).
On représente la vitesse instantanée par un vecteur vitesse v :
- son origine : la position du mobile à cet instant ;
- sa direction : celle de la tangente à la trajectoire en ce point ;
- son sens : celui du mouvement ;
- sa longueur : proportionnelle à la valeur de la vitesse (selon une échelle choisie).
4. Classer les mouvements
On décrit un mouvement avec deux informations :
- La forme de la trajectoire : rectiligne (droite), circulaire (cercle), curviligne (courbe quelconque).
- L'évolution de la valeur de la vitesse :
- uniforme : la valeur de la vitesse reste constante ;
- accéléré : la valeur de la vitesse augmente ;
- ralenti (ou décéléré, retardé) : la valeur de la vitesse diminue.
- rectiligne : une droite
- circulaire : un cercle
- curviligne : une courbe
- uniforme : vitesse constante
- accéléré : la vitesse augmente
- ralenti : la vitesse diminue
| Situation | Nom du mouvement |
|---|---|
| Un camion roule à 60 km/h constants sur une route droite | rectiligne uniforme |
| Une mangue tombe de l'arbre | rectiligne accéléré |
| Une moto freine en ligne droite avant un barrage | rectiligne ralenti |
| Un point de la meule d'un moulin à grain qui tourne régulièrement | circulaire uniforme |
5. Le mouvement rectiligne uniforme et son équation horaire
Un mouvement est rectiligne uniforme si la trajectoire est une droite et si la vitesse est constante. Alors le mobile parcourt des distances égales pendant des durées égales.
On repère le mobile sur un axe Ox orienté dans le sens du mouvement. À la date t = 0, il est à l'abscisse x0 (position initiale). Pendant la durée t, il parcourt v × t. Son abscisse à la date t est donc :
x(t) = v t + x0
C'est l'équation horaire du mouvement. Elle permet de connaître la position à n'importe quelle date, ou la date à laquelle le mobile passe à une position donnée. Si le mobile se déplace dans le sens contraire de l'axe, on prend v négatif.
La représentation graphique de x en fonction de t est une droite : c'est la marque d'un mouvement uniforme.
Méthode
Pour exploiter un mouvement rectiligne uniforme :
- Je choisis l'origine O de l'axe, son sens et l'instant t = 0.
- Je relève la position initiale x₀ et la vitesse v (en m/s, négative si le mobile va dans le sens contraire de l'axe).
- J'écris l'équation horaire x(t) = vt + x₀.
- Pour une position à une date donnée : je remplace t par sa valeur.
- Pour la date de passage à une position : je résous l'équation x(t) = valeur donnée.
- Je vérifie les unités et le sens du résultat.
Exemple
Un cycliste roule en ligne droite à la vitesse constante de 15 m/s. À t = 0, il passe devant une borne située à 200 m de l'origine O.
a) Équation horaire : x(t) = 15t + 200 (x en m, t en s).
b) Position à t = 20 s : x = 15 × 20 + 200 = 300 + 200 = 500 m.
c) Date de passage à x = 1 100 m : 15t + 200 = 1 100, donc 15t = 900 et t = 900 ÷ 15 = 60 s.
6. La rencontre de deux mobiles
Deux mobiles qui se déplacent sur le même axe se rencontrent quand ils ont la même abscisse à la même date : on résout x1(t) = x2(t).
Exemple
Sur une piste droite, Moussa part de O (x = 0) vers l'est à 5 m/s. Au même instant, Aïssatou part d'un point situé à 900 m à l'est et vient à sa rencontre à 4 m/s. L'axe est orienté vers l'est.
Moussa : x₁(t) = 5t.
Aïssatou va vers l'ouest, donc sa vitesse est négative : x₂(t) = −4t + 900.
Rencontre : 5t = −4t + 900, soit 9t = 900 et t = 100 s.
Lieu : x₁ = 5 × 100 = 500 m. Vérification : x₂ = −400 + 900 = 500 m. Juste.
Ils se rencontrent 100 s après le départ, à 500 m à l'est de O.
7. Le mouvement circulaire uniforme
Si un point tourne sur un cercle de rayon R en effectuant chaque tour en une même durée T (la période, en s), il parcourt à chaque tour le périmètre 2π R. Sa vitesse est :
v = 2π RT
Par exemple, un point de la meule d'un moulin à grain, à 0,3 m de l'axe, qui fait un tour en 0,5 s : v = 2 × π × 0,30,5 ≈ 3,77 m/s. Attention : la valeur de la vitesse est constante, mais sa direction change sans cesse (elle reste tangente au cercle).
3Je retiens
Je retiens
Vitesse moyenne : v = d / Δt (m/s dans le SI ; km/h dans la vie courante).
Conversion : km/h → m/s, on divise par 3,6 ; m/s → km/h, on multiplie par 3,6.
La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis ; le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
Un mouvement se nomme par sa trajectoire (rectiligne, circulaire, curviligne) et par sa vitesse (uniforme, accéléré, ralenti).
Mouvement rectiligne uniforme : x(t) = vt + x₀ ; le graphique x(t) est une droite.
Deux mobiles se rencontrent quand x₁(t) = x₂(t).
Mouvement circulaire uniforme : v = 2πR / T.
4Erreurs fréquentes
- Mélanger les unités : diviser des km par des minutes donne des km/min, pas des km/h. Convertis d'abord la durée (15 min = 0,25 h).
- Écrire 40 min = 0,40 h : c'est faux, 40 min = 40/60 h ≈ 0,67 h.
- Se tromper de sens dans la conversion : 20 m/s vaut 72 km/h (on multiplie par 3,6), pas 5,6 km/h.
- Oublier le signe de la vitesse d'un mobile qui va dans le sens contraire de l'axe : son équation horaire est x = −vt + x₀.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Convertis :
a) 90 km/h en m/s ;
b) 12 m/s en km/h ;
c) 108 km/h en m/s.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 90 ÷ 3,6 = 25 m/s.
b) 12 × 3,6 = 43,2 km/h.
c) 108 ÷ 3,6 = 30 m/s.
2Exercice 2
Un camion transportant de la bauxite parcourt 45 km en 1 h 15 min.
a) Calcule sa vitesse moyenne en km/h, puis en m/s.
b) À cette vitesse moyenne, quelle durée lui faudrait-il pour parcourir 120 km ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Δ t = 1 h 15 min = 1,25 h. vm = 451,25 = 36 km/h. En m/s : 36 ÷ 3,6 = 10 m/s.
b) Δ t = dvm = 12036 = 103 h ≈ 3,33 h, soit 3 h 20 min (car 13 h = 20 min).
3Exercice 3
Nomme chaque mouvement (forme de la trajectoire et évolution de la vitesse).
a) Une pierre lâchée du haut d'un pont, sans vitesse initiale.
b) L'extrémité de l'aiguille des secondes d'une horloge.
c) Un taxi qui s'arrête progressivement en ligne droite au feu rouge.
d) Une pirogue qui descend le fleuve en ligne droite à vitesse constante.
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a) Rectiligne accéléré (la pierre tombe verticalement et va de plus en plus vite).
b) Circulaire uniforme (l'aiguille tourne régulièrement autour de l'axe).
c) Rectiligne ralenti.
d) Rectiligne uniforme.
4Exercice 4
Un mobile a pour équation horaire x(t) = 3t - 12 (x en m, t en s).
a) Quelle est la nature de son mouvement ? Donne sa vitesse et sa position initiale.
b) Où se trouve-t-il à t = 10 s ?
c) À quelle date passe-t-il par l'origine O ?
d) À quelle date passe-t-il par l'abscisse x = 30 m ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'équation est de la forme x = vt + x0 : le mouvement est rectiligne uniforme, avec v = 3 m/s et x0 = -12 m.
b) x(10) = 3 × 10 - 12 = 30 - 12 = 18 m.
c) x = 0 : 3t - 12 = 0, donc t = 4 s.
d) 3t - 12 = 30, donc 3t = 42 et t = 14 s.
5Exercice 5
(Problème de synthèse) Sur une route droite, un car quitte Mamou à 8 h 00 en direction de Labé, à la vitesse constante de 60 km/h. À 8 h 30, une voiture quitte Mamou sur la même route, dans le même sens, à la vitesse constante de 90 km/h. On prend pour origine des positions Mamou, l'axe orienté vers Labé, et pour origine des dates 8 h 00 ; les dates sont en heures et les positions en kilomètres.
a) Écris l'équation horaire du car.
b) Montre que l'équation horaire de la voiture est x2(t) = 90t - 45 (pour t ≥ 0,5 h).
c) À quelle heure et à quelle distance de Mamou la voiture rattrape-t-elle le car ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) À t = 0, le car est à Mamou (x0 = 0) et roule à 60 km/h : x1(t) = 60t.
b) La voiture part de Mamou à t = 0,5 h. À la date t, elle roule depuis (t - 0,5) h, donc elle a parcouru 90(t - 0,5) km : x2(t) = 90(t - 0,5) = 90t - 45.
c) Rattrapage : x1 = x2, soit 60t = 90t - 45, donc 30t = 45 et t = 1,5 h.
Heure : 8 h 00 + 1 h 30 min = 9 h 30. Position : x1 = 60 × 1,5 = 90 km. Vérification : x2 = 90 × 1,5 - 45 = 135 - 45 = 90 km.
La voiture rattrape le car à 9 h 30, à 90 km de Mamou.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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