Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 19
Les séries statistiques
Je sais reconnaître les différentes séries statistiques (brute, ordonnée, distribution à valeurs isolées ou en classes, chronologique) et transformer une série brute en distribution groupée en classes.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une série statistique et distinguer série brute, série ordonnée et distribution
- Distinguer séries de répartition et séries chronologiques
- Calculer l'étendue d'une série et choisir un nombre de classes et une amplitude
- Construire la distribution groupée en classes d'une série brute et en contrôler le total
Avant de commencer : Les leçons sur les caractères (discret, continu, classes, amplitude, centre) et sur le dépouillement.
1Je découvre
À la fin du trimestre, le professeur de mathématiques du lycée de Kérouané lit les notes du devoir de ses 25 élèves de 12e SM, dans l'ordre de la liste d'appel : 7, 12, 9, 15, 10, 11, 8, 13, 6, 14, 10, 9, 12, 16, 11, 5, 13, 10, 8, 17, 12, 9, 11, 14, 10.
Aïssatou, la déléguée, essaie de suivre : « Monsieur, on ne voit rien dans cette liste ! Quelle est la plus basse note ? Combien d'élèves ont la moyenne ? La classe a-t-elle bien réussi ? »
Le professeur sourit : « Tu as raison. Ces notes forment une série statistique, mais sous sa forme la plus brute. Pour la lire, il faut la ranger, puis la regrouper. » Il réécrit les notes dans l'ordre croissant, puis les regroupe en quelques tranches. Tout devient lisible.
Qu'est-ce qu'une série statistique, quelles sont ses différentes formes, et comment passer d'une liste brute à un tableau clair ?
2Je comprends
1. Définition
Une série statistique est l'ensemble des données obtenues en observant un caractère sur les unités d'une population (ou d'un échantillon). Elle peut se présenter sous plusieurs formes, de la plus brute à la plus élaborée.
2. Série brute, série ordonnée, distribution
- La série brute : les valeurs sont écrites dans l'ordre où elles ont été observées (ordre des questionnaires, de la liste d'appel). C'est la forme obtenue juste après la collecte ; elle est difficile à lire.
- La série ordonnée (ou classée) : les mêmes valeurs sont rangées dans l'ordre croissant (ou décroissant). On y repère immédiatement la plus petite et la plus grande valeur.
- La distribution statistique (ou série de répartition, ou distribution des effectifs) : on présente dans un tableau chaque modalité (ou chaque classe) avec son effectif. C'est la forme obtenue après le dépouillement.
Avec les notes de Kérouané :
- série ordonnée : 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 17 ;
- on lit : la plus petite note est 5, la plus grande 17.
3. Les deux sortes de distributions
a) Distribution à valeurs isolées (ou série discrète) : pour un caractère quantitatif discret qui a peu de valeurs, chaque valeur xi figure avec son effectif ni.
| Nombre d'enfants xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de familles ni | 4 | 9 | 12 | 8 | 5 | 38 |
b) Distribution groupée en classes (ou série continue) : pour un caractère continu (ou discret avec beaucoup de valeurs), on regroupe les valeurs en classes [a ;b[, chacune avec son effectif.
On parle aussi de série qualitative quand le caractère est qualitatif (modalités et effectifs).
4. Séries de répartition et séries chronologiques
- Une série de répartition (ou série spatiale) décrit comment une population se répartit entre les modalités à un moment donné : répartition des élèves par note, des ménages par source d'eau.
- Une série chronologique (ou temporelle) décrit l'évolution d'une grandeur dans le temps : ventes d'une coopérative chaque année, prix du riz chaque mois, nombre de naissances chaque trimestre. La modalité est une date (année, mois) ; on la représente par une courbe.
- 1Série brute : les valeurs dans l'ordre d'observation
- 2Série ordonnée : les mêmes valeurs rangées dans l'ordre croissant
- 3Calcul de l'étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur
- 4Choix du nombre de classes et de l'amplitude
- 5Distribution groupée : tableau des classes et de leurs effectifs, avec contrôle du total
5. L'étendue
L'étendue d'une série est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur :
e = xmax - xmin
Pour les notes : e = 17 - 5 = 12 points. Elle mesure la dispersion globale de la série et sert à construire les classes.
6. Construire les classes
Pour grouper une série en classes, on procède ainsi :
- Choisir le nombre de classes k : ni trop peu (on perd l'information), ni trop (le tableau reste illisible). En pratique, entre 5 et 12 classes selon le nombre de données ; pour de petites séries, 4 ou 5 classes suffisent. Une règle indicative, dite règle de Sturges, propose k ≈ 1 + 3,3 log10 N.
- Calculer l'amplitude : a ≈ ek, que l'on arrondit à une valeur commode (souvent vers le haut : 2, 4, 5, 10…).
- Fixer la première borne : une valeur ronde inférieure ou égale à la plus petite valeur.
- Écrire les classes [a ;b[ successives jusqu'à couvrir la plus grande valeur.
- Compter les valeurs de chaque classe (attention aux bornes : la borne supérieure est exclue) et contrôler le total.
Exemple
Situation : les 25 notes de Kérouané (plus petite 5, plus grande 17).
Question : construis une distribution groupée en classes d'amplitude 4 à partir de 4.
Réponse :
Étendue : 17 − 5 = 12. Avec 4 classes environ, amplitude 12 / 4 = 3 ; on choisit 4, plus commode, et on commence à 4.
Classes : [4 ; 8[, [8 ; 12[, [12 ; 16[, [16 ; 20[.
Comptage sur la série ordonnée :
[4 ; 8[ : 5, 6, 7 → 3.
[8 ; 12[ : 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11 → 12.
[12 ; 16[ : 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15 → 8.
[16 ; 20[ : 16, 17 → 2.
Contrôle : 3 + 12 + 8 + 2 = 25.
| Notes (sur 20) | [4 ; 8[ | [8 ; 12[ | [12 ; 16[ | [16 ; 20[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 3 | 12 | 8 | 2 | 25 |
| Centre de classe | 6 | 10 | 14 | 18 | — |
Lecture : 12 élèves ont une note comprise entre 8 inclus et 12 exclu. La classe la plus chargée est [8 ; 12[. En regroupant, on perd un peu d'information (on ne sait plus quelle note exacte a chaque élève), mais on gagne en lisibilité.
Exemple
Situation : ventes d'une coopérative de riz de Kankan : 2021 : 40 t ; 2022 : 46 t ; 2023 : 43 t ; 2024 : 52 t ; 2025 : 60 t.
Question : de quel type de série s'agit-il ? Que peut-on en dire ?
Réponse : c'est une série chronologique : la modalité est l'année, la valeur est la quantité vendue. On observe une tendance à la hausse (de 40 t à 60 t), avec un recul en 2023 (43 t contre 46 t en 2022). La hausse totale est de 60 − 40 = 20 tonnes, soit 20 / 40 = 50 %.
Méthode
Pour transformer une série brute en distribution groupée :
- Je range les valeurs dans l'ordre croissant (série ordonnée) et je compte les données (N).
- Je calcule l'étendue e = x_max − x_min.
- Je choisis le nombre de classes k (4 à 12 selon N) et l'amplitude a ≈ e / k, arrondie à une valeur commode.
- Je fixe une première borne ronde inférieure ou égale à x_min et j'écris les classes [a ; b[.
- Je compte les valeurs de chaque classe (borne supérieure exclue) et je vérifie que le total est N.
3Je retiens
Je retiens
Série statistique : ensemble des données obtenues en observant un caractère sur une population.
Série brute : ordre d'observation ; série ordonnée : ordre croissant ; distribution : tableau modalités (ou classes) et effectifs.
Distribution à valeurs isolées (discrète) ou groupée en classes (continue).
Série de répartition : répartition à un moment donné ; série chronologique : évolution dans le temps.
Étendue : e = x_max − x_min.
Classes : k entre 5 et 12 en général (règle de Sturges : k ≈ 1 + 3,3 log N) ; amplitude a ≈ e / k arrondie ; classes [a ; b[ ; total contrôlé.
4Erreurs fréquentes
- Compter une valeur égale à une borne dans la mauvaise classe : 12 appartient à [12 ; 16[, pas à [8 ; 12[.
- Choisir des classes qui ne couvrent pas toutes les valeurs (première borne trop haute, dernière classe trop basse).
- Confondre série chronologique et série de répartition : dans une série chronologique, la modalité est une date.
- Oublier de ranger la série avant de compter : on fait alors beaucoup plus d'erreurs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Questions de cours)
a) Définis une série statistique.
b) Quelle est la différence entre une série brute et une série ordonnée ?
c) Qu'est-ce qu'une série chronologique ? Donne un exemple.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) C'est l'ensemble des données obtenues en observant un caractère sur les unités d'une population ou d'un échantillon.
b) Dans la série brute, les valeurs sont dans l'ordre d'observation ; dans la série ordonnée, elles sont rangées dans l'ordre croissant (ou décroissant).
c) C'est une série qui décrit l'évolution d'une grandeur dans le temps ; la modalité est une date. Exemple : le prix du sac de riz chaque mois de l'année.
2Exercice 2
Dis s'il s'agit d'une série de répartition ou d'une série chronologique.
a) Nombre de candidats admis au BAC dans un lycée chaque année de 2020 à 2025.
b) Répartition des 300 ménages d'un village selon le type de toit.
c) Prix du kilogramme d'oignon au marché de Labé chaque mois de l'année.
d) Répartition des élèves d'une classe selon leur âge.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Chronologique. b) Répartition. c) Chronologique. d) Répartition.
3Exercice 3
Voici le nombre de repas pris la veille par 15 personnes : 2, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2.
a) Écris la série ordonnée.
b) Construis la distribution à valeurs isolées.
c) Calcule l'étendue.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3.
b)
| Nombre de repas | 1 | 2 | 3 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de personnes | 2 | 7 | 6 | 15 |
c) e = 3 − 1 = 2.
4Exercice 4
Voici le revenu d'une journée (en milliers de GNF) de 20 vendeuses de beignets de Kaloum :
38 52 45 61 47 55 49 58 42 66 51 44 57 48 53 60 46 50 63 54
a) Range la série et calcule l'étendue.
b) Construis la distribution en classes d'amplitude 5, en commençant à 35.
c) Vérifie le total et indique la classe la plus chargée.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 38, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 66. Étendue : 66 − 38 = 28 (milliers de GNF).
b)
| Revenu (milliers de GNF) | [35 ; 40[ | [40 ; 45[ | [45 ; 50[ | [50 ; 55[ | [55 ; 60[ | [60 ; 65[ | [65 ; 70[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de vendeuses | 1 | 2 | 5 | 5 | 3 | 3 | 1 | 20 |
Détail : [35 ; 40[ : 38 ; [40 ; 45[ : 42, 44 ; [45 ; 50[ : 45, 46, 47, 48, 49 ; [50 ; 55[ : 50, 51, 52, 53, 54 ; [55 ; 60[ : 55, 57, 58 ; [60 ; 65[ : 60, 61, 63 ; [65 ; 70[ : 66.
c) 1 + 2 + 5 + 5 + 3 + 3 + 1 = 20. Deux classes sont les plus chargées : [45 ; 50[ et [50 ; 55[ (5 vendeuses chacune).
5Exercice 5
(Type examen) Une série compte N = 100 données ; la plus petite vaut 12,4 et la plus grande 71,8.
a) Calcule l'étendue.
b) Calcule le nombre de classes indiqué par la règle de Sturges (on donne log 100 = 2).
c) Propose une amplitude commode et écris la liste des classes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) e = 71,8 − 12,4 = 59,4.
b) k ≈ 1 + 3,3 × 2 = 7,6, soit environ 8 classes.
c) a ≈ 59,4 / 8 ≈ 7,4 ; on choisit une amplitude commode de 8 (ou 10). Avec a = 8 et une première borne à 12 : [12 ; 20[, [20 ; 28[, [28 ; 36[, [36 ; 44[, [44 ; 52[, [52 ; 60[, [60 ; 68[, [68 ; 76[. Les 8 classes couvrent bien de 12,4 à 71,8.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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