Aller au contenu
Se connecter Créer mon compte
Économie · 12e SM

Leçon 19 sur 19

Les séries de fréquences

Je sais calculer les fréquences et les fréquences cumulées d'une série, les exprimer en pourcentages, les interpréter et les utiliser pour comparer des populations de tailles différentes.

  • 50 min
  • 5 exercices corrigés
  • 1 schéma
  • QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

  • Définir et calculer la fréquence d'une modalité ou d'une classe
  • Exprimer les fréquences en pourcentages et gérer les arrondis
  • Calculer et interpréter les fréquences cumulées croissantes et décroissantes
  • Comparer deux populations d'effectifs différents grâce aux fréquences

Avant de commencer : Les leçons « Les séries statistiques » et « Les séries cumulées ».

1Je découvre

Deux lycées se disputent le titre de « meilleur lycée de la région » au baccalauréat. Au lycée de Kindia, 117 candidats ont été admis ; au lycée de Faranah, 105 seulement. Sékou, élève à Kindia, triomphe : « On a plus d'admis, on est les meilleurs ! »

Kadiatou, élève à Faranah, n'est pas d'accord : « Vous aviez 180 candidats, nous seulement 150. Tu ne peux pas comparer des nombres d'admis quand les nombres de candidats sont différents. Il faut regarder la part des admis parmi les candidats. »

Kadiatou calcule : à Kindia, 117 sur 180 ; à Faranah, 105 sur 150. Qui a raison ? Pour le savoir, il faut transformer les effectifs en fréquences, c'est-à-dire en parts de l'ensemble, qu'on peut exprimer en pourcentages.

Comment calculer et interpréter les fréquences d'une série statistique, et pourquoi sont-elles indispensables pour comparer ?

2Je comprends

1. La fréquence d'une modalité

La fréquence (ou fréquence relative) d'une modalité (ou d'une classe) est le quotient de son effectif par l'effectif total :

fi = niN

Elle indique quelle part de la population présente cette modalité. On l'exprime :

  • sous forme décimale (par exemple 0,65) ;
  • ou en pourcentage, en la multipliant par 100 : fi × 100 (ici 65 %).

Propriétés :

  • une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ fi ≤ 1 (entre 0 % et 100 %) ;
  • la somme des fréquences de toutes les modalités vaut 1 (soit 100 %) :

f1 + f2 + … + fk = n1 + n2 + … + nkN = NN = 1

On appelle série de fréquences (ou distribution des fréquences) le tableau qui associe à chaque modalité sa fréquence.

2. Le problème des arrondis

Quand les fréquences ne tombent pas juste, on les arrondit (souvent au centième, ou à 0,1 % près). La somme des valeurs arrondies peut alors donner 99,9 % ou 100,1 % au lieu de 100 %. Ce n'est pas une faute de calcul : on l'indique par une note (« total différent de 100 % en raison des arrondis ») ou on ajuste la plus grande valeur pour que le total fasse 100 %.

Exemple : trois modalités de même effectif 5 sur N = 15 : chaque fréquence vaut 515 = 13 ≈ 33,3 \%, et 33,3 + 33,3 + 33,3 = 99,9 %.

3. Pourquoi les fréquences ? Comparer

Les effectifs dépendent de la taille de la population ; les fréquences, non. Pour comparer deux populations d'effectifs différents (deux lycées, deux préfectures, deux années), on compare donc les fréquences.

Exemple

Situation : Kindia : 117 admis sur 180 candidats ; Faranah : 105 admis sur 150 candidats.

Question : quel lycée a le meilleur taux de réussite ?

Réponse :

Kindia : f = 117 / 180 = 0,65, soit 65 %.

Faranah : f = 105 / 150 = 0,7, soit 70 %.

Kindia a plus d'admis en nombre (117 contre 105), mais Faranah a le meilleur taux de réussite (70 % contre 65 %). Kadiatou a raison : il fallait comparer les fréquences.

4. Les fréquences cumulées

Comme pour les effectifs, on cumule les fréquences :

  • Fréquences cumulées croissantes (FCC) : Fi = f1 + f2 + … + fi, ou directement Fi = ECCiN. La dernière FCC vaut 1 (100 %).
  • Fréquences cumulées décroissantes (FCD) : on part de 1 et on retranche chaque fréquence, ou ECDiN. La première FCD vaut 1.

Leur interprétation est la même que celle des effectifs cumulés, mais en proportion : pour une série en classes [a ;b[, la FCC est la part des individus ayant une valeur inférieure à b ; la FCD est la part des individus ayant une valeur au moins égale à a. Relation de contrôle : FCCi + FCDi+1 = 1.

Exemple

Situation : notes des 25 élèves de 12e SM de Kérouané : [4 ; 8[ : 3 ; [8 ; 12[ : 12 ; [12 ; 16[ : 8 ; [16 ; 20[ : 2.

Questions : a) Calcule les fréquences en pourcentages. b) Calcule les FCC et les FCD. c) Quel pourcentage d'élèves a moins de 12 ? au moins 12 ?

Réponses :

a) 3/25 = 0,12 → 12 % ; 12/25 = 0,48 → 48 % ; 8/25 = 0,32 → 32 % ; 2/25 = 0,08 → 8 %. Somme : 12 + 48 + 32 + 8 = 100 %.

b) FCC : 12 % ; 12 + 48 = 60 % ; 60 + 32 = 92 % ; 92 + 8 = 100 %.

FCD : 100 % ; 100 − 12 = 88 % ; 88 − 48 = 40 % ; 40 − 32 = 8 %.

c) Moins de 12 : FCC de [8 ; 12[, soit 60 % des élèves. Au moins 12 : FCD de [12 ; 16[, soit 40 %. Contrôle : 60 + 40 = 100 %.

Notes[4 ; 8[[8 ; 12[[12 ; 16[[16 ; 20[Total
Effectif ni3128225
Fréquence fi (%)1248328100
FCC (%)126092100—
FCD (%)10088408—
De 4 à moins …12 %De 8 à moins …48 %De 12 à moins…32 %De 16 à moins…8 %
Fréquences des notes des 25 élèves de l'exemple (en pourcentage) ; près de la moitié des élèves ont entre 8 et 12.

5. Des fréquences aux effectifs

Si l'on connaît les fréquences et l'effectif total, on retrouve les effectifs : ni = fi × N. C'est ce qu'on fait pour estimer, à partir d'un sondage, le nombre d'unités d'une population (voir la leçon sur l'échantillon).

6. Fréquences et diagramme circulaire

L'angle d'un secteur du diagramme circulaire est αi = fi × 360°. Par exemple, une fréquence de 25 % correspond à un angle de 0,25 × 360° = 90°.

Méthode

Pour construire une série de fréquences :

  1. Je vérifie l'effectif total N (somme des effectifs).
  2. Je calcule chaque fréquence f_i = n_i / N, puis le pourcentage f_i × 100 (j'arrondis si nécessaire).
  3. Je vérifie que la somme des fréquences vaut 1 (100 %), aux arrondis près.
  4. FCC : je cumule les fréquences de haut en bas (dernière = 100 %) ; FCD : je pars de 100 % et je retranche.
  5. J'interprète en parts de la population : « x % des individus ont… ». Pour comparer deux populations, je compare les fréquences, jamais les effectifs.

3Je retiens

Je retiens

Fréquence : f_i = n_i / N ; 0 ≤ f_i ≤ 1 ; en pourcentage : f_i × 100.

La somme des fréquences vaut 1 (100 %), aux arrondis près.

Pour comparer des populations d'effectifs différents, on compare les fréquences, pas les effectifs.

FCC : F_i = f_1 + … + f_i = ECC_i / N ; dernière FCC = 1. FCD = ECD_i / N ; première FCD = 1.

Série en classes [a ; b[ : FCC = part « moins de b » ; FCD = part « au moins a » ; FCC_i + FCD_(i+1) = 1.

Retour aux effectifs : n_i = f_i × N ; angle du diagramme circulaire : f_i × 360°.

4Erreurs fréquentes

  • Comparer des effectifs entre deux populations de tailles différentes : 117 admis sur 180 n'est pas meilleur que 105 admis sur 150.
  • Diviser par le mauvais total (par exemple par l'effectif d'une autre modalité au lieu de N).
  • Croire que le calcul est faux parce que la somme des pourcentages arrondis donne 99,9 % : c'est l'effet des arrondis.
  • Écrire une fréquence supérieure à 1 (ou à 100 %) : c'est le signe certain d'une erreur.

5Je m’exerce

1Exercice 1

(Questions de cours)

a) Définis la fréquence d'une modalité.

b) Que vaut la somme des fréquences d'une série ? Démontre-le.

c) Pourquoi compare-t-on les fréquences plutôt que les effectifs ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) C'est le quotient de l'effectif de la modalité par l'effectif total : f_i = n_i / N. Elle indique la part de la population qui présente cette modalité.

b) Elle vaut 1. En effet, f_1 + f_2 + … + f_k = (n_1 + n_2 + … + n_k) / N = N / N = 1.

c) Parce que les effectifs dépendent de la taille des populations ; les fréquences, qui sont des parts, permettent de comparer des populations de tailles différentes.

2Exercice 2

Nombre de pièces des logements de 50 ménages : 1 : 6 ; 2 : 14 ; 3 : 17 ; 4 : 9 ; 5 : 4.

a) Calcule les fréquences (en décimal et en pourcentage).

b) Calcule les FCC.

c) Quel pourcentage des ménages a au plus 3 pièces ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) 6/50 = 0,12 (12 %) ; 14/50 = 0,28 (28 %) ; 17/50 = 0,34 (34 %) ; 9/50 = 0,18 (18 %) ; 4/50 = 0,08 (8 %). Somme : 100 %.

b) FCC : 12 % ; 40 % ; 74 % ; 92 % ; 100 %.

c) Au plus 3 pièces : FCC de 3, soit 74 % des ménages.

3Exercice 3

Dans un sondage auprès de 240 cultivateurs de la préfecture de Kankan, les fréquences de la culture principale sont : riz 0,35 ; maïs 0,20 ; arachide 0,30 ; autre 0,15.

a) Vérifie la somme des fréquences.

b) Retrouve les effectifs de chaque modalité.

c) Calcule l'angle du secteur « riz » dans un diagramme circulaire.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) 0,35 + 0,20 + 0,30 + 0,15 = 1.

b) Riz : 0,35 × 240 = 84 ; maïs : 0,20 × 240 = 48 ; arachide : 0,30 × 240 = 72 ; autre : 0,15 × 240 = 36. Contrôle : 84 + 48 + 72 + 36 = 240.

c) 0,35 × 360° = 126°.

4Exercice 4

Un élève présente ce tableau : modalité A : 33,3 % ; B : 33,3 % ; C : 33,3 % ; total 99,9 %. Son camarade dit qu'il y a une erreur. Qu'en penses-tu ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

Il n'y a pas d'erreur de calcul : chaque fréquence vaut exactement 1/3, soit 33,333… %, arrondie à 33,3 %. La somme des valeurs arrondies donne 99,9 % au lieu de 100 % à cause des arrondis. Il suffit de le signaler par une note sous le tableau (ou d'écrire 33,4 % pour l'une des modalités).

5Exercice 5

(Type examen) Tailles (en cm) de 40 élèves : [150 ; 155[ : 4 ; [155 ; 160[ : 9 ; [160 ; 165[ : 13 ; [165 ; 170[ : 10 ; [170 ; 175[ : 4.

a) Dresse le tableau des fréquences (en pourcentage), des FCC et des FCD.

b) Quel pourcentage des élèves mesure moins de 165 cm ? au moins 165 cm ? Vérifie.

c) Dans une autre classe de 50 élèves, 20 élèves mesurent au moins 165 cm. Dans quelle classe la part des élèves d'au moins 165 cm est-elle la plus grande ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a)

Taille (cm)[150 ; 155[[155 ; 160[[160 ; 165[[165 ; 170[[170 ; 175[Total
Effectif491310440
Fréquence (%)1022,532,52510100
FCC (%)1032,56590100—
FCD (%)1009067,53510—

Calculs : 4/40 = 0,1 ; 9/40 = 0,225 ; 13/40 = 0,325 ; 10/40 = 0,25 ; 4/40 = 0,1.

b) Moins de 165 cm : FCC de [160 ; 165[, soit 65 %. Au moins 165 cm : FCD de [165 ; 170[, soit 35 %. Vérification : 65 + 35 = 100 %.

c) Autre classe : 20 / 50 = 0,4, soit 40 %. Première classe : 35 %. La part des élèves d'au moins 165 cm est plus grande dans la seconde classe (40 % contre 35 %).

Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.

6Je vérifie

Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.

1Une modalité a un effectif de 18 sur un total de 72. Sa fréquence est :
Voir la réponse

Réponse B : 0,25. f = 18 / 72 = 0,25, soit 25 %.

2La somme des fréquences d'une série vaut :
Voir la réponse

Réponse B : 1. Les fréquences sont des parts de l'ensemble.

3Lycée A : 80 admis sur 100 ; lycée B : 150 admis sur 200. Le meilleur taux de réussite est celui :
Voir la réponse

Réponse A : du lycée A. A : 80 % ; B : 75 %. On compare les fréquences, pas les effectifs.

4Pour une classe [10 ; 20[, la FCC de 0,70 signifie que :
Voir la réponse

Réponse B : 70 % des individus ont moins de 20. La FCC d'une classe est la part des individus inférieurs à la borne supérieure.

5Sur N = 300, une fréquence de 0,15 correspond à un effectif de :
Voir la réponse

Réponse B : 45. n = 0,15 × 300 = 45.

Tu as fini la leçon ?

Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.

Créer mon compteMe connecter
Karamö
Un point pas clair ? Dis-moi ce qui te bloque dans cette leçon : je t’explique autrement, pas à pas. Demander à Karamö

Toutes les leçons de Économie · 12e SM

Demander à Karamö