Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 23
Systèmes d'équations linéaires
Je sais résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues (substitution, combinaison, déterminant) ou de trois équations à trois inconnues, et discuter un système à paramètre.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre un système 2 × 2 par substitution, par combinaison et par la méthode des déterminants
- Reconnaître un système sans solution ou avec une infinité de solutions et l'interpréter avec deux droites
- Résoudre un système 3 × 3 par la méthode du pivot
- Mettre un problème en système et discuter un système à paramètre
Avant de commencer : Les équations du premier degré, l'équation d'une droite dans un repère et les systèmes vus en 11e.
1Je découvre
Mariama fait les courses pour sa famille au marché de Kindia. Chez le même commerçant, elle achète la première semaine 3 kg de riz et 2 litres d'huile pour 64 000 GNF. La semaine suivante, aux mêmes prix, elle achète 2 kg de riz et 3 litres d'huile pour 66 000 GNF.
Son frère Ibrahima veut retrouver le prix d'un kilo de riz, noté x, et le prix d'un litre d'huile, noté y. Il écrit :
3x + 2y = 64 000 et 2x + 3y = 66 000.
Une seule équation ne suffit pas : 3x + 2y = 64 000 a une infinité de solutions. Il faut que le couple (x ; y) vérifie les deux équations en même temps.
Comment trouver toutes les solutions d'un système de plusieurs équations du premier degré, et comment savoir à l'avance s'il en a une, aucune ou une infinité ?
2Je comprends
1. Système de deux équations à deux inconnues
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit :
begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases
Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations. Résoudre le système, c'est trouver tous ces couples.
Interprétation graphique. Chaque équation est celle d'une droite. Les solutions sont les coordonnées des points communs aux deux droites :
- droites sécantes : une seule solution ;
- droites strictement parallèles : aucune solution ;
- droites confondues : une infinité de solutions.
2. Substitution et combinaison
- Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre équation.
- Combinaison (addition) : on multiplie les équations par des nombres bien choisis pour qu'en les ajoutant, une inconnue disparaisse.
Exemple
Retour aux courses de Mariama : 3x + 2y = 64 000 et 2x + 3y = 66 000.
On additionne : 5x + 5y = 130 000, donc x + y = 26 000.
On soustrait la 1re de la 2e : −x + y = 2 000.
En ajoutant ces deux nouvelles égalités : 2y = 28 000, donc y = 14 000 ; puis x = 26 000 − 14 000 = 12 000.
Vérification : 3 × 12 000 + 2 × 14 000 = 36 000 + 28 000 = 64 000.
Le riz coûte 12 000 GNF le kilo et l'huile 14 000 GNF le litre chez ce commerçant.
3. La méthode des déterminants (méthode de Cramer)
On appelle déterminant du système le nombre :
D = beginvmatrix a & b
a' & b' endvmatrix = ab' - a'b.
On calcule aussi Dx = beginvmatrix c & b
c' & b' endvmatrix = cb' - c'b et Dy = beginvmatrix a & c
a' & c' endvmatrix = ac' - a'c.
Théorème. Si D ≠ 0, le système a une unique solution : x = DxD et y = DyD.
Si D = 0, les deux droites sont parallèles : le système a aucune solution ou une infinité ; on le voit en comparant les équations.
Exemple
Résoudre 2x + 3y = 8 et 5x − y = 3.
D = 2 × (−1) − 5 × 3 = −2 − 15 = −17 ≠ 0 : une solution unique.
Dx = 8 × (−1) − 3 × 3 = −8 − 9 = −17, donc x = −17/(−17) = 1.
Dy = 2 × 3 − 5 × 8 = 6 − 40 = −34, donc y = −34/(−17) = 2.
Vérification : 2 + 6 = 8 et 5 − 2 = 3. S = {(1 ; 2)}.
Exemple
Résoudre 2x − 4y = 6 et −x + 2y = 1.
D = 2 × 2 − (−1) × (−4) = 4 − 4 = 0.
On multiplie la 2e équation par −2 : 2x − 4y = −2. Or la 1re dit 2x − 4y = 6.
Un même nombre ne peut pas valoir 6 et −2 : S = ∅ (droites strictement parallèles).
4. Systèmes de trois équations à trois inconnues
Pour un système 3 × 3, on utilise la méthode du pivot de Gauss : on garde une équation (le pivot) et on s'en sert pour éliminer la même inconnue dans les deux autres. On obtient un système 2 × 2, que l'on sait résoudre.
Méthode
Pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues :
- Je choisis une équation pivot où une inconnue a le coefficient 1 (par exemple L1).
- Je remplace L2 par L2 − k × L1 et L3 par L3 − k' × L1 pour faire disparaître cette inconnue.
- Je résous le système 2 × 2 obtenu.
- Je remonte dans l'équation pivot pour trouver la troisième inconnue.
- Je vérifie la solution dans les trois équations de départ.
Exemple
Résoudre : x + y + z = 6 (L1) ; 2x − y + z = 3 (L2) ; x + 2y − z = 2 (L3).
L2 − 2L1 : −3y − z = −9.
L3 − L1 : y − 2z = −4, donc y = 2z − 4.
On remplace : −3(2z − 4) − z = −9, soit −6z + 12 − z = −9, donc −7z = −21 et z = 3.
Puis y = 2 × 3 − 4 = 2 et x = 6 − 2 − 3 = 1.
Vérification : 1 + 2 + 3 = 6 ; 2 − 2 + 3 = 3 ; 1 + 4 − 3 = 2. S = {(1 ; 2 ; 3)}.
5. Système à paramètre
Quand les coefficients dépendent d'un paramètre m, on calcule D en fonction de m et on traite à part les valeurs qui l'annulent. Cette discussion est au programme des deux séries ; en SM, elle revient plus souvent et avec des calculs plus longs.
Exemple
Discuter selon m : mx + y = 1 et x + my = 1.
D = m × m − 1 × 1 = m² − 1 = (m − 1)(m + 1) ; Dx = 1 × m − 1 × 1 = m − 1 ; Dy = m × 1 − 1 × 1 = m − 1.
Si m ≠ 1 et m ≠ −1 : x = y = (m − 1)/((m − 1)(m + 1)) = 1/(m + 1). Solution unique.
Si m = 1 : les deux équations deviennent x + y = 1 : infinité de solutions, les couples (x ; 1 − x).
Si m = −1 : −x + y = 1 et x − y = 1 ; en ajoutant : 0 = 2, impossible. S = ∅.
3Je retiens
Je retiens
Système 2 × 2 : ax + by = c et a'x + b'y = c'. Une solution est un couple (x ; y).
D = ab' − a'b ; Dx = cb' − c'b ; Dy = ac' − a'c.
Si D ≠ 0 : solution unique x = Dx/D, y = Dy/D (droites sécantes).
Si D = 0 : aucune solution (droites strictement parallèles) ou une infinité (droites confondues).
Système 3 × 3 : pivot de Gauss pour se ramener à un système 2 × 2.
Toujours vérifier la solution dans toutes les équations de départ.
4Erreurs fréquentes
- Confondre Dx et Dy : dans Dx, la colonne des c remplace la colonne des coefficients de x.
- Oublier un signe dans D = ab' − a'b quand un coefficient est négatif : écris chaque produit entre parenthèses.
- Conclure « pas de solution » dès que D = 0 : il faut regarder si les équations sont proportionnelles (infinité) ou contradictoires (aucune).
- Dans un système 3 × 3, ne vérifier que deux équations : une erreur de calcul se cache souvent dans la troisième.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous par substitution : x + 2y = 7 et 3x - y = 7.
Voir le corrigéCacher le corrigé
De la 1re équation : x = 7 - 2y. On remplace dans la 2e : 3(7 - 2y) - y = 7, soit 21 - 7y = 7, donc y = 2, puis x = 7 - 4 = 3.
Vérification : 3 + 4 = 7 et 9 - 2 = 7. S = {(3 ; 2)}.
2Exercice 2
Résous par la méthode des déterminants : 3x - 2y = 4 et 4x + 5y = 13.
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D = 3 × 5 - 4 × (-2) = 15 + 8 = 23.
Dx = 4 × 5 - 13 × (-2) = 20 + 26 = 46, donc x = 4623 = 2.
Dy = 3 × 13 - 4 × 4 = 39 - 16 = 23, donc y = 1.
Vérification : 6 - 2 = 4 et 8 + 5 = 13. S = {(2 ; 1)}.
3Exercice 3
Sans chercher les solutions en détail, dis combien chaque système en possède, puis donne-les.
a) x - 3y = 2 et -2x + 6y = -4
b) 4x + 2y = 1 et 2x + y = 3
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a) D = 1 × 6 - (-2) × (-3) = 6 - 6 = 0. La 2e équation est la 1re multipliée par -2 : les droites sont confondues. Infinité de solutions : x = 2 + 3y, soit S = {(2 + 3y ; y), y ∈ ℝ}.
b) D = 4 × 1 - 2 × 2 = 0. En multipliant la 2e par 2 : 4x + 2y = 6, alors que la 1re donne 4x + 2y = 1. Contradiction : S = ∅.
4Exercice 4
Résous : x + y - z = 2 ; 2x + y + z = 5 ; x - y + 2z = 1.
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Pivot L1.
L2 − 2L1 : -y + 3z = 1. L3 − L1 : -2y + 3z = -1.
En soustrayant ces deux équations : (-y + 3z) - (-2y + 3z) = 1 - (-1), soit y = 2. Puis 3z = 1 + 2 = 3, donc z = 1. Enfin x = 2 - y + z = 2 - 2 + 1 = 1.
Vérification : 1 + 2 - 1 = 2 ; 2 + 2 + 1 = 5 ; 1 - 2 + 2 = 1. S = {(1 ; 2 ; 1)}.
5Exercice 5
Discute selon le réel m le système : mx + y = 2 et 4x + my = 4.
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D = m2 - 4 = (m - 2)(m + 2) ; Dx = 2m - 4 = 2(m - 2) ; Dy = 4m - 8 = 4(m - 2).
- Si m ≠ 2 et m ≠ -2 : x = 2m + 2 et y = 4m + 2.
- Si m = 2 : 2x + y = 2 et 4x + 2y = 4 ; la 2e est le double de la 1re. Infinité de solutions : les couples (x ; 2 - 2x).
- Si m = -2 : -2x + y = 2 et 4x - 2y = 4. En multipliant la 1re par -2 : 4x - 2y = -4, en contradiction avec 4x - 2y = 4. S = ∅.
6Exercice 6
(Problème) Dans la cour d'Ousmane, à Pita, il y a des poules et des chèvres. On compte 40 têtes et 110 pattes. Combien y a-t-il de poules et de chèvres ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x le nombre de poules et y le nombre de chèvres : x + y = 40 et 2x + 4y = 110.
On retranche 2 fois la 1re de la 2e : 2y = 110 - 80 = 30, donc y = 15 et x = 25.
Vérification : 25 + 15 = 40 têtes et 50 + 60 = 110 pattes. Il y a 25 poules et 15 chèvres.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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