Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 23
Les équations du second degré
Je sais résoudre toute équation du second degré avec le discriminant, factoriser un trinôme, utiliser la somme et le produit des racines, et résoudre les équations qui s'y ramènent.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire un trinôme sous forme canonique
- Résoudre ax² + bx + c = 0 à l'aide du discriminant et factoriser le trinôme
- Utiliser la somme et le produit des racines (racine évidente, deux nombres de somme et produit donnés)
- Résoudre une équation bicarrée ou rationnelle et discuter une équation à paramètre
Avant de commencer : Les identités remarquables, la propriété du produit nul, les équations du premier degré (leçon 1) et les équations du second degré simples vues en 11e.
1Je découvre
Ibrahima veut clôturer un jardin rectangulaire derrière la maison familiale, près de Dabola. Il a exactement 34 m de grillage, qu'il veut utiliser en entier, et il souhaite une surface de 60 m².
Il appelle x la largeur en mètres. Le demi-périmètre vaut 17 m, donc la longueur vaut 17 - x. L'aire donne :
x(17 - x) = 60, soit -x2 + 17x - 60 = 0, ou encore x2 - 17x + 60 = 0.
Ibrahima essaie de factoriser « à vue », sans succès : il n'y a ni facteur commun évident, ni identité remarquable. Sa cousine Aïssatou, en Terminale, lui dit : « Calcule le discriminant. »
Existe-t-il une méthode qui résout à coup sûr toute équation de la forme ax2 + bx + c = 0 ?
2Je comprends
1. Trinôme et forme canonique
On appelle trinôme du second degré toute expression ax2 + bx + c où a, b, c sont des réels et a ≠ 0. Une racine du trinôme est une solution de l'équation ax2 + bx + c = 0.
En complétant le carré, on obtient la forme canonique :
ax2 + bx + c = a[(x + b2a)2 - b2 - 4ac4a2].
Le nombre Δ = b2 - 4ac s'appelle le discriminant du trinôme.
Exemple
Forme canonique de x² − 6x + 5.
x² − 6x est le début de (x − 3)² = x² − 6x + 9. Donc x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.
On reconnaît A² − B² : (x − 3)² − 2² = (x − 3 − 2)(x − 3 + 2) = (x − 5)(x − 1).
Les racines sont donc 1 et 5.
2. Résolution à l'aide du discriminant
La forme canonique montre que tout dépend du signe de Δ :
| Signe de Δ | Solutions de ax2 + bx + c = 0 | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux racines x1 = -b - √Δ2a et x2 = -b + √Δ2a | a(x - x1)(x - x2) |
| Δ = 0 | une racine double x0 = -b2a | a(x - x0)2 |
| Δ < 0 | aucune racine réelle | pas de factorisation |
Discriminant réduit. Si b est pair, on pose b = 2b' et Δ' = b'2 - ac. Alors Δ = 4Δ' (même signe) et, si Δ' > 0, les racines sont -b' ± √Δ'a. Les calculs sont plus légers.
Méthode
Pour résoudre ax² + bx + c = 0 :
- Je mets l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et j'écris a, b et c avec leurs signes.
- Je cherche d'abord un raccourci : facteur commun, identité remarquable, racine évidente.
- Sinon, je calcule Δ = b² − 4ac (ou Δ' si b est pair).
- Selon le signe de Δ, j'applique les formules et je simplifie les racines.
- J'écris S et, si on le demande, la factorisation a(x − x1)(x − x2).
Exemple
Résoudre 2x² − 5x − 3 = 0.
a = 2, b = −5, c = −3. Δ = (−5)² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49 = 7².
x1 = (5 − 7)/4 = −1/2 et x2 = (5 + 7)/4 = 3.
S = {−1/2 ; 3} et 2x² − 5x − 3 = 2(x + 1/2)(x − 3) = (2x + 1)(x − 3).
Exemple
Résoudre 9x² − 12x + 4 = 0, puis x² + x + 1 = 0.
Premier : Δ = 144 − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0. Racine double x0 = 12/18 = 2/3. S = {2/3}.
(On pouvait voir directement 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)².)
Second : Δ = 1 − 4 = −3 < 0. S = ∅.
Pour le jardin d'Ibrahima : Δ = (-17)2 - 4 × 60 = 289 - 240 = 49, donc x = 17 - 72 = 5 ou x = 17 + 72 = 12. Le jardin mesure 5 m sur 12 m (vérification : 5 × 12 = 60 et 2 × (5 + 12) = 34).
3. Somme et produit des racines
Si Δ ≥ 0, les racines x1 et x2 vérifient :
S = x1 + x2 = -ba et P = x1 × x2 = ca.
Deux usages très fréquents :
- Racine évidente. Si a + b + c = 0, alors 1 est racine et l'autre vaut ca. Si a - b + c = 0, alors -1 est racine et l'autre vaut -ca.
- Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X2 - SX + P = 0.
Exemple
Résoudre 3x² − 7x + 4 = 0 sans discriminant.
a + b + c = 3 − 7 + 4 = 0, donc 1 est racine. Le produit vaut c/a = 4/3, donc l'autre racine est 4/3.
S = {1 ; 4/3}.
Exemple
Trouver deux nombres dont la somme vaut 10 et le produit 21.
Ils sont solutions de X² − 10X + 21 = 0. Δ = 100 − 84 = 16. X = (10 − 4)/2 = 3 ou X = (10 + 4)/2 = 7.
Les deux nombres sont 3 et 7.
4. Équations qui se ramènent au second degré
Équation bicarrée ax4 + bx2 + c = 0 : on pose X = x2 (avec X ≥ 0), on résout aX2 + bX + c = 0, puis on revient à x.
Exemple
Résoudre x⁴ − 5x² + 4 = 0.
On pose X = x² : X² − 5X + 4 = 0. a + b + c = 0, donc X = 1 ou X = 4.
x² = 1 donne x = −1 ou x = 1 ; x² = 4 donne x = −2 ou x = 2.
S = {−2 ; −1 ; 1 ; 2}.
Équation rationnelle : on écrit les valeurs interdites, on réduit au même dénominateur, et on écarte à la fin les valeurs interdites.
5. Équation à paramètre
Pour une équation comme x2 - 2x + m - 3 = 0, le nombre de solutions dépend du signe de Δ, qui dépend de m. Les deux séries doivent savoir faire cette discussion ; en SM, on la rencontre aussi avec des conditions sur le signe des racines (grâce à S et P).
3Je retiens
Je retiens
Trinôme ax² + bx + c (a ≠ 0) ; discriminant Δ = b² − 4ac.
Δ > 0 : deux racines (−b ± √Δ)/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
Δ = 0 : une racine double −b/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x0)².
Δ < 0 : aucune racine réelle ; pas de factorisation.
Si b = 2b' : Δ' = b'² − ac et racines (−b' ± √Δ')/a.
Somme x1 + x2 = −b/a ; produit x1 × x2 = c/a.
a + b + c = 0 : racines 1 et c/a. a − b + c = 0 : racines −1 et −c/a.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de b : pour x² − 7x + 10, b = −7 et −b = 7. Écris toujours a, b, c avec leur signe avant de calculer.
- Écrire Δ = −4² … au lieu de (−4)² : le carré d'un nombre négatif est positif.
- Diviser seulement √Δ par 2a : la formule est (−b + √Δ)/(2a), tout le numérateur est divisé.
- Dans une équation bicarrée, garder une valeur X négative : x² = −3 n'a pas de solution.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) x2 - 7x + 10 = 0
b) 4x2 + 4x + 1 = 0
c) 2x2 - x + 3 = 0
d) -x2 + 2x + 8 = 0
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a) Δ = 49 - 40 = 9. x = 7 - 32 = 2 ou x = 7 + 32 = 5. S = {2 ; 5}.
b) Δ = 16 - 16 = 0. Racine double x0 = -48 = -12. S = {-12} (en effet 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2).
c) Δ = 1 - 24 = -23 < 0. S = ∅.
d) a = -1, b = 2, c = 8. Δ = 4 + 32 = 36. x = -2 - 6-2 = 4 ou x = -2 + 6-2 = -2. S = {-2 ; 4}.
2Exercice 2
On donne f(x) = 2x2 - 8x + 6. Écris f(x) sous forme canonique, puis factorise-le.
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f(x) = 2(x2 - 4x + 3) = 2[(x - 2)2 - 4 + 3] = 2[(x - 2)2 - 1] : c'est la forme canonique.
Puis f(x) = 2(x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = 2(x - 3)(x - 1).
Vérification : 2(x2 - 4x + 3) = 2x2 - 8x + 6.
3Exercice 3
a) Résous 5x2 + 3x - 8 = 0 à l'aide d'une racine évidente.
b) Sans calculer Δ, trouve les racines de x2 + 2x - 15 = 0 en cherchant deux nombres de somme -2 et de produit -15.
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a) a + b + c = 5 + 3 - 8 = 0 : 1 est racine ; l'autre vaut ca = -85. S = {-85 ; 1}.
b) La somme des racines vaut -ba = -2 et le produit ca = -15. Les nombres 3 et -5 conviennent : 3 + (-5) = -2 et 3 × (-5) = -15. S = {-5 ; 3}.
4Exercice 4
a) Résous x4 - 13x2 + 36 = 0.
b) Résous x + 6x = 5.
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a) On pose X = x2 : X2 - 13X + 36 = 0, Δ = 169 - 144 = 25, X = 13 - 52 = 4 ou X = 13 + 52 = 9. Donc x2 = 4 ou x2 = 9. S = {-3 ; -2 ; 2 ; 3}.
b) Valeur interdite : 0. Pour x ≠ 0, on multiplie par x : x2 + 6 = 5x, soit x2 - 5x + 6 = 0. Δ = 25 - 24 = 1, x = 2 ou x = 3 (non interdits). S = {2 ; 3}.
5Exercice 5
On considère l'équation (Em) : x2 - 2x + m - 3 = 0.
a) Discute, selon m, le nombre de solutions de (Em).
b) Trouve m pour que 3 soit solution, puis trouve l'autre solution sans calculer Δ.
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a) Δ = (-2)2 - 4(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m.
- Si m < 4 : Δ > 0, deux solutions.
- Si m = 4 : Δ = 0, une solution double x0 = 1.
- Si m > 4 : Δ < 0, aucune solution.
b) 3 est solution si 9 - 6 + m - 3 = 0, soit m = 0. L'équation devient x2 - 2x - 3 = 0 ; le produit des racines vaut -3, donc l'autre racine est -33 = -1. Vérification avec la somme : 3 + (-1) = 2 = -ba.
6Exercice 6
(Type BAC) Un groupe d'amis loue un minibus pour aller de Mamou à Dalaba. La location coûte 120 000 GNF, partagés à parts égales. Si deux amis de plus venaient, chacun paierait 5 000 GNF de moins. Combien sont-ils ?
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Soit x le nombre d'amis (x entier, x > 0). Chacun paie 120 000x ; avec deux amis de plus, 120 000x + 2. On a :
120 000x - 120 000x + 2 = 5 000.
On multiplie par x(x + 2) : 120 000(x + 2) - 120 000x = 5 000x(x + 2), soit 240 000 = 5 000(x2 + 2x), donc x2 + 2x - 48 = 0.
Δ = 4 + 192 = 196 = 142 ; x = -2 + 142 = 6 ou x = -2 - 142 = -8 (rejeté).
Ils sont 6. Vérification : 120 000 ÷ 6 = 20 000 et 120 000 ÷ 8 = 15 000, soit 5 000 GNF de moins.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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