Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 23
Ensemble de définition d'une fonction
Je sais déterminer l'ensemble de définition d'une fonction polynôme, rationnelle ou avec racine carrée, et l'écrire sous forme d'intervalles.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les conditions d'existence (dénominateur non nul, radicande positif ou nul)
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction qui combine plusieurs conditions
- Écrire le résultat sous forme d'intervalles ou de réunion d'intervalles
- Distinguer l'ensemble de définition mathématique et l'ensemble imposé par un problème concret
Avant de commencer : Les inéquations du premier et du second degré, les tableaux de signes, les intervalles et leurs opérations.
1Je découvre
Mamadou révise ses mathématiques avec une calculatrice. Il tape 10 : la machine affiche « Erreur ». Il tape √-4 : encore « Erreur ». Il tape 1x - 3 en remplaçant x par 3 : toujours « Erreur ».
Sa sœur Mariama lui explique : « Certaines expressions n'ont pas de valeur pour certains nombres. Avant d'étudier une fonction, il faut savoir pour quels x elle existe. »
Mamadou regarde alors la fonction de son exercice : f(x) = √x + 3x - 1. Il se demande quels nombres il a le droit de remplacer dans cette formule, et quels nombres vont faire « planter » la calculatrice.
Comment trouver, sans calculatrice et sans oubli, l'ensemble de tous les réels pour lesquels une fonction est définie ?
2Je comprends
1. Définition
L'ensemble de définition d'une fonction f, noté Df, est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe, c'est-à-dire peut être calculé.
Au niveau de la 12e, deux opérations posent problème :
- on ne peut pas diviser par zéro ;
- on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif.
Toutes les autres opérations (addition, soustraction, multiplication, puissance entière, valeur absolue) sont toujours possibles.
2. Les cas de base
| Type de fonction | Condition d'existence | Exemple |
|---|---|---|
| polynôme P(x) | aucune | D = ℝ |
| quotient A(x)B(x) | B(x) ≠ 0 | 1x - 3 : D = ℝ setminus {3} |
| racine √A(x) | A(x) ≥ 0 | √x - 2 : D = [2 ; +∞[ |
| racine au dénominateur 1√A(x) | A(x) > 0 | 1√x : D = ]0 ; +∞[ |
Le nombre sous la racine s'appelle le radicande.
Quand une fonction combine plusieurs morceaux, toutes les conditions doivent être vérifiées en même temps : Df est l'intersection des ensembles obtenus.
Méthode
Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction :
- Je repère tous les dénominateurs et toutes les racines carrées.
- J'écris une condition par obstacle : dénominateur ≠ 0 ; radicande ≥ 0 ; radicande > 0 s'il est sous une racine au dénominateur.
- Je résous chaque condition (équation, inéquation du 1er ou du 2e degré, tableau de signes).
- Je prends l'intersection de toutes les conditions.
- J'écris Df avec des intervalles et je contrôle avec une ou deux valeurs.
3. Exemples résolus
Exemple
f(x) = (3x + 1)/(x² − 5x + 6).
Condition : x² − 5x + 6 ≠ 0. Δ = 25 − 24 = 1, racines 2 et 3.
Df = ℝ \ {2 ; 3} = ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
Exemple
g(x) = √(6 − 2x) et h(x) = √(x² − x − 2).
Pour g : 6 − 2x ≥ 0 ⟺ −2x ≥ −6 ⟺ x ≤ 3. Dg = ]−∞ ; 3].
Pour h : x² − x − 2 ≥ 0. Δ = 1 + 8 = 9, racines −1 et 2 ; a > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Dh = ]−∞ ; −1] ∪ [2 ; +∞[.
Exemple
k(x) = (x + 1)/√(4 − x²).
Le radicande est au dénominateur : il doit être strictement positif. 4 − x² > 0.
Racines −2 et 2 ; a = −1 < 0 : le trinôme est positif entre les racines.
Dk = ]−2 ; 2[.
Exemple
m(x) = √(x + 3) + 1/(x − 1). (C'est la même condition que pour la fonction de Mamadou.)
Condition 1 : x + 3 ≥ 0, soit x ≥ −3. Condition 2 : x − 1 ≠ 0, soit x ≠ 1.
Dm = [−3 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
4. Attention : √(A/B) n'est pas √A/√B
Les deux écritures sont égales là où elles existent toutes les deux, mais elles n'ont pas forcément le même ensemble de définition.
Exemple
Comparer p(x) = √((x − 2)/(x + 1)) et q(x) = √(x − 2)/√(x + 1).
Pour p : (x − 2)/(x + 1) ≥ 0 avec x ≠ −1. Tableau de signes : positif pour x < −1 et pour x ≥ 2.
Dp = ]−∞ ; −1[ ∪ [2 ; +∞[.
Pour q : x − 2 ≥ 0 et x + 1 > 0, soit x ≥ 2 et x > −1. Dq = [2 ; +∞[.
Par exemple, p(−2) = √(−4/−1) = √4 = 2 existe, mais q(−2) n'existe pas.
5. Ensemble de définition et problème concret
Dans un problème, la formule peut être définie sur ℝ alors que la situation impose d'autres limites. Par exemple, une longueur doit être positive, un nombre d'objets doit être un entier. On précise alors l'ensemble d'étude imposé par le problème.
3Je retiens
Je retiens
Df : ensemble des réels x pour lesquels f(x) peut être calculé.
Polynôme : Df = ℝ.
A(x)/B(x) : B(x) ≠ 0.
√A(x) : A(x) ≥ 0 ; 1/√A(x) : A(x) > 0.
Plusieurs conditions : Df est leur intersection.
√(A/B) et √A/√B n'ont pas toujours le même ensemble de définition.
Dans un problème concret, la situation peut réduire encore l'ensemble d'étude.
4Erreurs fréquentes
- Écrire « x² + 4 ≠ 0, donc x ≠ −2 et x ≠ 2 » : x² + 4 ne s'annule jamais (c'est x² − 4 qui s'annule en ±2). Ici Df = ℝ.
- Mettre un crochet fermé sur une valeur qui annule un dénominateur : elle est toujours exclue.
- Oublier qu'un radicande au dénominateur doit être strictement positif : pour 1/√(x − 5), on exige x > 5, et non x ≥ 5.
- Oublier une condition quand la fonction combine une racine et une fraction : il faut les écrire toutes avant de conclure.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine l'ensemble de définition de :
a) f(x) = 2x3 - x + 7
b) g(x) = 52x - 8
c) h(x) = x - 1x2 + 4
d) k(x) = xx2 - 9
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Polynôme : Df = ℝ.
b) 2x - 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4 : Dg = ℝ setminus {4}.
c) x2 + 4 ≥ 4 > 0 pour tout x : le dénominateur ne s'annule jamais. Dh = ℝ.
d) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 et x ≠ -3 : Dk = ℝ setminus {-3 ; 3}.
2Exercice 2
Détermine l'ensemble de définition de :
a) f(x) = √3x + 12
b) g(x) = √-x2 + 4x
c) h(x) = √x2 + 2x + 5
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x + 12 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4 : Df = [-4 ; +∞[.
b) -x2 + 4x = x(4 - x) ≥ 0. Racines 0 et 4, a = -1 < 0 : positif entre les racines. Dg = [0 ; 4].
c) Δ = 4 - 20 = -16 < 0 et a > 0 : le radicande est toujours positif. Dh = ℝ.
3Exercice 3
Détermine l'ensemble de définition de :
a) f(x) = 1√2x - 1
b) g(x) = x + 1√x2 - 16
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a) 2x - 1 > 0 ⇔ x > 12 : Df = ]12 ; +∞[.
b) x2 - 16 > 0 ; racines -4 et 4, a > 0 : positif à l'extérieur. Dg = ]-∞ ; -4[ ∪ ]4 ; +∞[.
4Exercice 4
On considère p(x) = √x + 43 - x et q(x) = √x + 4√3 - x. Détermine Dp et Dq. Sont-ils égaux ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour p : x + 43 - x ≥ 0 avec x ≠ 3. x + 4 s'annule en -4 ; 3 - x s'annule en 3 et change de signe (positif avant, négatif après).
- x < -4 : (-)/(+), négatif ;
- -4 ≤ x < 3 : positif ou nul ;
- x > 3 : (+)/(-), négatif.
Dp = [-4 ; 3[.
Pour q : x + 4 ≥ 0 et 3 - x > 0, soit x ≥ -4 et x < 3. Dq = [-4 ; 3[.
Ici, les deux ensembles sont égaux. (Ce n'est pas toujours le cas : revois l'exemple du paragraphe 4.)
5Exercice 5
(Type BAC) Détermine l'ensemble de définition de :
a) f(x) = √x + 2 + 3x2 - x
b) g(x) = 2x - 1|x| - 3
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a) Conditions : x + 2 ≥ 0, soit x ≥ -2 ; et x2 - x = x(x - 1) ≠ 0, soit x ≠ 0 et x ≠ 1.
Df = [-2 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
b) |x| - 3 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 3 ⇔ x ≠ -3 et x ≠ 3. Dg = ℝ setminus {-3 ; 3}.
6Exercice 6
(Problème) Dans un atelier de Kankan, Ousmane fabrique des boîtes sans couvercle à partir de plaques de tôle rectangulaires de 20 cm sur 12 cm. Il découpe un carré de côté x cm à chaque coin, puis il relève les bords. Le volume de la boîte est V(x) = x(20 - 2x)(12 - 2x).
a) Quel est l'ensemble de définition mathématique de la fonction V ?
b) Quel est l'ensemble des valeurs de x qui ont un sens pour la boîte ?
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a) V est un polynôme (de degré 3) : son ensemble de définition mathématique est ℝ.
b) Il faut x > 0 (on découpe vraiment un carré), 20 - 2x > 0 et 12 - 2x > 0 (les côtés du fond sont des longueurs positives), soit x < 10 et x < 6. L'ensemble d'étude est ]0 ; 6[.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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