Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 23
Les fonctions polynômes
Je sais reconnaître un polynôme, trouver son degré, identifier ses coefficients et le factoriser à l'aide d'une racine connue (identification ou schéma de Horner) pour résoudre des équations et inéquations.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un polynôme, son degré et ses coefficients
- Utiliser le principe d'identification de deux polynômes
- Factoriser un polynôme par (x − a) quand a est racine, par identification ou avec le schéma de Horner
- Résoudre une équation ou une inéquation de degré 3 après factorisation
Avant de commencer : Le calcul littéral, les équations et inéquations du second degré (discriminant, signe du trinôme), les tableaux de signes.
1Je découvre
Dans la leçon précédente, Ousmane fabriquait à Kankan des boîtes à partir de plaques de tôle de 20 cm sur 12 cm, en découpant un carré de côté x à chaque coin. Le volume de la boîte est :
V(x) = x(20 - 2x)(12 - 2x) = 4x3 - 64x2 + 240x.
Un client commande une boîte de 256 cm³. Ousmane essaie x = 2 : V(2) = 2 × 16 × 8 = 256. C'est gagné ! Mais son apprentie Fanta demande : « Y a-t-il une autre découpe qui donne aussi 256 cm³ ? »
Il faut résoudre 4x3 - 64x2 + 240x - 256 = 0, une équation de degré 3. On ne connaît pas de formule simple comme pour le second degré. Mais on connaît déjà une solution, 2.
Comment utiliser une racine connue pour factoriser un polynôme de degré 3 et trouver toutes ses racines ?
2Je comprends
1. Polynômes : vocabulaire
On appelle fonction polynôme (ou polynôme) toute fonction P définie sur ℝ par :
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0,
où n est un entier naturel et an, …, a0 des réels appelés coefficients.
- Chaque terme ak xk est un monôme.
- Si an ≠ 0, l'entier n est le degré de P, noté deg P, et an est le coefficient dominant.
- Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; il n'a pas de degré.
Par exemple, P(x) = -3x4 + x - 7 est de degré 4 ; les fonctions affines non constantes sont de degré 1 ; les trinômes sont de degré 2.
Opérations. Le degré d'un produit est la somme des degrés : deg(PQ) = deg P + deg Q. Le degré d'une somme est au plus égal au plus grand des deux degrés (il peut être plus petit si les termes de plus haut degré s'annulent).
2. Égalité de deux polynômes : l'identification
Théorème. Deux polynômes sont égaux (pour tout réel x) si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour chaque puissance de x.
Ce théorème permet de trouver des coefficients inconnus : c'est la méthode d'identification.
Exemple
Trouver a, b, c tels que, pour tout x, 2x² + 3x − 5 = a(x − 1)² + b(x − 1) + c.
On développe le second membre : a(x² − 2x + 1) + bx − b + c = ax² + (−2a + b)x + (a − b + c).
Par identification : a = 2 ; −2a + b = 3, donc b = 7 ; a − b + c = −5, donc 2 − 7 + c = −5 et c = 0.
Vérification : 2(x − 1)² + 7(x − 1) = 2x² − 4x + 2 + 7x − 7 = 2x² + 3x − 5.
3. Racine et factorisation par (x − a)
Un réel a est une racine (ou un zéro) du polynôme P si P(a) = 0.
Théorème. a est racine de P si et seulement si on peut écrire P(x) = (x - a) Q(x), où Q est un polynôme de degré deg P - 1.
Pour trouver une racine « évidente », on essaie les petites valeurs : 0, 1, -1, 2, -2, 3… Remarque utile : 1 est racine si et seulement si la somme des coefficients est nulle.
Pour trouver Q, deux méthodes : l'identification ou le schéma de Horner.
Exemple
Factoriser P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 (identification).
P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 : 1 est racine. On cherche P(x) = (x − 1)(x² + bx + c).
En développant : (x − 1)(x² + bx + c) = x³ + (b − 1)x² + (c − b)x − c.
Identification : b − 1 = −2 donne b = −1 ; −c = 6 donne c = −6 ; contrôle : c − b = −6 + 1 = −5. Juste.
Donc P(x) = (x − 1)(x² − x − 6). Le trinôme a pour Δ = 1 + 24 = 25, racines −2 et 3.
P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).
4. Le schéma de Horner
Le schéma de Horner donne rapidement les coefficients de Q quand on divise P par (x - a).
Méthode
Pour diviser P(x) par (x − a) avec le schéma de Horner :
- J'écris sur une ligne tous les coefficients de P, du plus haut degré au terme constant, sans oublier les 0 pour les puissances absentes.
- J'abaisse le premier coefficient sous la ligne.
- Je le multiplie par a, j'écris le résultat sous le coefficient suivant et j'additionne.
- Je recommence jusqu'au dernier coefficient. Le dernier nombre obtenu est P(a) : il doit valoir 0 si a est racine.
- Les autres nombres obtenus sont les coefficients de Q, de degré un de moins que P.
Exemple
Factoriser P(x) = 2x³ + x² − 13x + 6, sachant que 2 est racine.
P(2) = 16 + 4 − 26 + 6 = 0. Horner avec a = 2 :
| Coefficients de P | 2 | 1 | −13 | 6 |
| Produits par 2 | 4 | 10 | −6 | |
| Sommes | 2 | 5 | −3 | 0 |
Q(x) = 2x² + 5x − 3 et le reste est 0. Donc P(x) = (x − 2)(2x² + 5x − 3).
Pour Q : Δ = 25 + 24 = 49, racines (−5 − 7)/4 = −3 et (−5 + 7)/4 = 1/2.
Q(x) = 2(x + 3)(x − 1/2) = (x + 3)(2x − 1), d'où P(x) = (x − 2)(x + 3)(2x − 1).
5. Signe d'un polynôme factorisé
Une fois P écrit comme produit de facteurs du premier et du second degré, on étudie son signe avec un tableau de signes. Pour P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) : P(x) < 0 sur ]-∞ ; -2[, P(x) > 0 sur ]-2 ; 1[, P(x) < 0 sur ]1 ; 3[ et P(x) > 0 sur ]3 ; +∞[. La courbe ci-dessus le confirme.
3Je retiens
Je retiens
Polynôme : P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ ; si aₙ ≠ 0, son degré est n.
deg(P × Q) = deg P + deg Q.
Identification : deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients.
a est racine de P ⟺ P(a) = 0 ⟺ P(x) = (x − a) Q(x), avec deg Q = deg P − 1.
Somme des coefficients nulle ⟺ 1 est racine.
Horner : on abaisse, on multiplie par a, on additionne ; le dernier nombre est P(a).
Après factorisation : tableau de signes pour résoudre P(x) ≥ 0 ou P(x) ≤ 0.
4Erreurs fréquentes
- Oublier un coefficient nul dans Horner : pour x³ − 3x + 2, il faut écrire 1 ; 0 ; −3 ; 2.
- Diviser par (x − a) alors que P(a) ≠ 0 : vérifie toujours que le dernier nombre du schéma de Horner vaut 0.
- Se tromper de signe : si −2 est racine, le facteur est (x + 2), pas (x − 2).
- Oublier le coefficient dominant dans la factorisation du trinôme : 2x² + 5x − 3 = 2(x + 3)(x − 1/2), et non (x + 3)(x − 1/2).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Développe et réduis P(x) = (2x - 1)(x2 + 3) - 2x3. Quel est son degré ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
(2x - 1)(x2 + 3) = 2x3 + 6x - x2 - 3. Donc P(x) = 2x3 - x2 + 6x - 3 - 2x3 = -x2 + 6x - 3.
Les termes en x3 s'annulent : P est de degré 2.
2Exercice 2
Soit P(x) = x3 - 3x2 + 4.
a) Vérifie que -1 est racine de P.
b) Trouve par identification les réels a, b, c tels que P(x) = (x + 1)(ax2 + bx + c).
c) Factorise complètement P(x).
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a) P(-1) = -1 - 3 + 4 = 0 : -1 est racine.
b) (x + 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (a + b)x2 + (b + c)x + c. Par identification avec x3 - 3x2 + 0x + 4 : a = 1 ; a + b = -3 donc b = -4 ; c = 4 ; contrôle : b + c = 0. Juste.
c) P(x) = (x + 1)(x2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)2.
3Exercice 3
Soit P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6.
a) Calcule P(2).
b) Avec le schéma de Horner, écris P(x) = (x - 2)Q(x).
c) Factorise complètement P(x).
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a) P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0.
b) Horner avec a = 2 : on abaisse 1 ; 1 × 2 + 2 = 4 ; 4 × 2 - 5 = 3 ; 3 × 2 - 6 = 0.
| Coefficients | 1 | 2 | −5 | −6 |
|---|---|---|---|---|
| Produits par 2 | 2 | 8 | 6 | |
| Sommes | 1 | 4 | 3 | 0 |
Q(x) = x2 + 4x + 3 et P(x) = (x - 2)(x2 + 4x + 3).
c) Pour Q : a - b + c = 1 - 4 + 3 = 0, donc -1 est racine et l'autre vaut -ca = -3. P(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3).
4Exercice 4
Avec la factorisation de l'exercice 3, résous l'inéquation P(x) ≤ 0.
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Racines rangées : -3, -1, 2.
- x < -3 : trois facteurs négatifs, produit négatif ;
- -3 < x < -1 : (x + 3) > 0, les deux autres négatifs, produit positif ;
- -1 < x < 2 : seul (x - 2) est négatif, produit négatif ;
- x > 2 : tous positifs, produit positif.
S = ]-∞ ; -3] ∪ [-1 ; 2].
5Exercice 5
Soit P(x) = x3 + mx2 - x - 2, où m est un réel.
a) Trouve m pour que 1 soit racine de P.
b) Pour cette valeur de m, factorise P(x) (indication : regroupe les termes deux par deux).
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a) P(1) = 1 + m - 1 - 2 = m - 2. P(1) = 0 ⇔ m = 2.
b) P(x) = x3 + 2x2 - x - 2 = x2(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)(x2 - 1) = (x + 2)(x - 1)(x + 1).
6Exercice 6
(Type BAC) On reprend la boîte d'Ousmane : V(x) = 4x3 - 64x2 + 240x pour x ∈ ]0 ; 6[.
a) Montre que V(x) = 256 ⇔ x3 - 16x2 + 60x - 64 = 0.
b) Vérifie que 2 est solution, puis factorise x3 - 16x2 + 60x - 64 avec le schéma de Horner.
c) Trouve toutes les valeurs de x dans ]0 ; 6[ qui donnent une boîte de 256 cm³.
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a) V(x) = 256 ⇔ 4x3 - 64x2 + 240x - 256 = 0 ; on divise par 4 : x3 - 16x2 + 60x - 64 = 0.
b) 8 - 64 + 120 - 64 = 0 : 2 est solution. Horner avec a = 2 : on abaisse 1 ; 2 - 16 = -14 ; -28 + 60 = 32 ; 64 - 64 = 0.
Donc x3 - 16x2 + 60x - 64 = (x - 2)(x2 - 14x + 32).
c) x2 - 14x + 32 = 0 : Δ = 196 - 128 = 68, √68 = 2√17. Racines 7 - √17 et 7 + √17.
7 - √17 ≈ 7 - 4,123 = 2,877, qui est dans ]0 ; 6[ ; 7 + √17 ≈ 11,12 est hors de ]0 ; 6[ : on le rejette.
Deux découpes conviennent : x = 2 cm ou x = 7 - √17 ≈ 2,88 cm. C'est la réponse à la question de Fanta.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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