Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 23
La trigonométrie
Je sais utiliser le radian et le cercle trigonométrique, calculer des cosinus et sinus avec les angles associés et les formules d'addition, et résoudre des équations trigonométriques simples.
- 1 h 10
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Convertir des mesures d'angles entre degrés et radians et trouver une mesure principale
- Lire cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique et connaître les valeurs remarquables
- Utiliser les angles associés, les formules d'addition et de duplication
- Résoudre les équations cos x = cos a et sin x = sin a
Avant de commencer : Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle (collège), le théorème de Pythagore, le calcul avec les racines carrées.
1Je découvre
Alpha répare la roue arrière d'une moto-taxi dans son atelier de Labé. Il colle un petit morceau de ruban rouge sur la valve et fait tourner la roue lentement. Le ruban monte, redescend, revient à sa position de départ après un tour complet, puis recommence.
Son apprenti Ibrahima demande : « Si la roue fait un quart de tour, puis encore un tiers de tour, à quelle hauteur se trouve le ruban par rapport à l'axe ? Et si elle fait deux tours et demi ? »
Au collège, tu as utilisé le cosinus et le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle, donc pour des angles entre 0° et 90°. Mais une roue tourne dans les deux sens et peut faire plusieurs tours : il faut des angles de toutes tailles, positifs ou négatifs.
Comment définir le cosinus et le sinus de n'importe quel angle, et comment les calculer ?
2Je comprends
1. Le radian
On mesure souvent les angles en radians (rad). Un angle de 1 radian est l'angle au centre qui intercepte, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon.
Un tour complet correspond à une longueur d'arc 2π r, donc à 2π radians. D'où la correspondance :
π rad = 180°.
Pour convertir : αrad = αdeg × π180 et αdeg = αrad × 180π.
| Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | 2π3 | 3π4 | 5π6 | π |
2. Le cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
À tout réel x, on associe un point M du cercle : on part de I et on parcourt un arc de longueur |x|, dans le sens direct si x > 0, dans l'autre sens si x < 0.
Un même point M est associé à x, x + 2π, x - 2π, x + 4π… : on dit que x est une mesure de l'angle orienté (overrightarrowOI, overrightarrowOM), définie à 2kπ près (k entier). La mesure principale est l'unique mesure comprise dans ]-π ; π].
Exemple
Trouver la mesure principale de 17π/3.
On retire des multiples de 2π = 6π/3 pour arriver dans ]−π ; π] :
17π/3 − 6π = 17π/3 − 18π/3 = −π/3.
Or −π < −π/3 ≤ π : la mesure principale est −π/3.
3. Cosinus, sinus et tangente d'un réel
Si M est le point du cercle trigonométrique associé à x, alors par définition :
cos x = abscisse de M et sin x = ordonnée de M.
Pour un angle aigu, on retrouve les définitions du collège. Conséquences immédiates :
- -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 ;
- cos2 x + sin2 x = 1 (théorème de Pythagore dans le triangle OHM) ;
- cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x ;
- quand cos x ≠ 0 : tan x = sin xcos x.
Les valeurs remarquables sont à connaître par cœur :
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | -1 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 |
4. Les angles associés
Les symétries du cercle donnent les formules suivantes, valables pour tout réel x :
| Angle | cosinus | sinus | Symétrie utilisée |
|---|---|---|---|
| -x | cos x | -sin x | par rapport à l'axe des abscisses |
| π - x | -cos x | sin x | par rapport à l'axe des ordonnées |
| π + x | -cos x | -sin x | par rapport à l'origine O |
| π2 - x | sin x | cos x | par rapport à la droite y = x |
Elles permettent de ramener tout calcul à un angle entre 0 et π2. Par exemple : cos5π6 = cos(π - π6) = -cosπ6 = -√32.
5. Formules d'addition et de duplication
Pour tous réels a et b :
- cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
- cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
En prenant a = b, on obtient les formules de duplication :
- sin 2a = 2 sin a cos a
- cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2 a
Exemple
Calculer la valeur exacte de cos(π/12).
On remarque que π/12 = π/3 − π/4 (car 4π/12 − 3π/12 = π/12).
cos(π/12) = cos(π/3) cos(π/4) + sin(π/3) sin(π/4)
= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)
= √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4.
Contrôle à la calculatrice : (1,414 + 2,449)/4 ≈ 0,966, et cos 15° ≈ 0,966. Juste.
Exemple
On sait que sin x = 3/5 et que x ∈ [π/2 ; π]. Calculer cos x, tan x, sin 2x et cos 2x.
cos² x = 1 − sin² x = 1 − 9/25 = 16/25, donc cos x = 4/5 ou cos x = −4/5.
Sur [π/2 ; π], le cosinus est négatif : cos x = −4/5.
tan x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
sin 2x = 2 sin x cos x = 2 × (3/5) × (−4/5) = −24/25.
cos 2x = 1 − 2 sin² x = 1 − 18/25 = 7/25.
6. Équations trigonométriques
Deux points du cercle ont la même abscisse s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses ; deux points ont la même ordonnée s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. D'où, pour k entier relatif :
- cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ ;
- sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ.
Méthode
Pour résoudre une équation du type cos x = c ou sin x = c dans un intervalle :
- J'isole cos x (ou sin x). Si c > 1 ou c < −1, il n'y a aucune solution.
- Je reconnais c comme le cosinus (ou le sinus) d'un angle remarquable a.
- J'écris les deux familles de solutions avec 2kπ.
- Je donne à k des valeurs entières pour garder seulement les solutions de l'intervalle demandé.
- Je contrôle sur le cercle trigonométrique que le nombre de solutions est cohérent.
Exemple
Résoudre 2 cos x − 1 = 0 dans ]−π ; π].
cos x = 1/2 = cos(π/3).
x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
Dans ]−π ; π], seul k = 0 convient : S = {−π/3 ; π/3}.
7. Retour à la roue d'Alpha
Un quart de tour puis un tiers de tour font π2 + 2π3 = 7π6. Si la valve part de la position I, sa hauteur par rapport à l'axe vaut (en rayons) sin7π6 = sin(π + π6) = -12 : le ruban est sous l'axe, à la moitié du rayon. Deux tours et demi font 5π ; sin 5π = sin π = 0 : le ruban est à la hauteur de l'axe, du côté opposé au départ.
3Je retiens
Je retiens
π rad = 180° ; une mesure d'angle orienté est définie à 2kπ près ; la mesure principale est dans ]−π ; π].
cos x et sin x sont l'abscisse et l'ordonnée du point M associé à x sur le cercle trigonométrique ; cos² x + sin² x = 1.
cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x.
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ; sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b.
sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = 2cos² a − 1 = 1 − 2 sin² a.
cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ.
sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ.
4Erreurs fréquentes
- Écrire cos(a + b) = cos a + cos b : c'est faux (exemple : cos(π/2) = 0 alors que cos(π/4) + cos(π/4) = √2).
- Oublier le signe en utilisant cos² x + sin² x = 1 : il faut regarder dans quel intervalle se trouve x pour choisir entre + et −.
- Oublier la deuxième famille de solutions : cos x = 1/2 a deux solutions par tour, π/3 et −π/3.
- Mélanger degrés et radians sur la calculatrice : vérifie le mode avant de calculer.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Convertis en radians : 150° ; 45° ; 270°. Convertis en degrés : 7π6 ; 2π5.
Voir le corrigéCacher le corrigé
150° = 150 × π180 = 5π6 ; 45° = π4 ; 270° = 3π2.
7π6 = 7 × 1806° = 210° ; 2π5 = 2 × 1805° = 72°.
2Exercice 2
Donne la mesure principale de 17π4 et de -25π4.
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17π4 - 4π = 17π4 - 16π4 = π4, qui est dans ]-π ; π] : mesure principale π4.
-25π4 + 6π = -25π4 + 24π4 = -π4 : mesure principale -π4.
3Exercice 3
On sait que cos x = -13 et que x ∈ [0 ; π]. Calcule sin x, tan x, cos 2x et sin 2x.
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sin2 x = 1 - 19 = 89. Sur [0 ; π], sin x ≥ 0, donc sin x = √83 = 2√23.
tan x = 2√2/3-1/3 = -2√2.
cos 2x = 2cos2 x - 1 = 29 - 1 = -79.
sin 2x = 2 × 2√23 × (-13) = -4√29.
4Exercice 4
a) En remarquant que 7π12 = π3 + π4, calcule la valeur exacte de sin7π12.
b) Simplifie A = cos(π - x) + sin(π2 - x) - cos(-x).
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a) sin7π12 = sinπ3cosπ4 + cosπ3sinπ4 = √32 × √22 + 12 × √22 = √6 + √24.
b) cos(π - x) = -cos x ; sin(π2 - x) = cos x ; cos(-x) = cos x.
A = -cos x + cos x - cos x = -cos x.
5Exercice 5
Résous dans ]-π ; π] :
a) 2sin x - √3 = 0 ;
b) √2cos x + 1 = 0.
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a) sin x = √32 = sinπ3, donc x = π3 + 2kπ ou x = π - π3 + 2kπ = 2π3 + 2kπ. Dans ]-π ; π] : S = {π3 ; 2π3}.
b) cos x = -1√2 = -√22 = cos3π4, donc x = 3π4 + 2kπ ou x = -3π4 + 2kπ. Dans ]-π ; π] : S = {-3π4 ; 3π4}.
6Exercice 6
(Type examen)
a) Développe (X - 1)(2X + 1).
b) Déduis-en les solutions dans ]-π ; π] de l'équation 2cos2 x - cos x - 1 = 0.
c) Place les points solutions sur le cercle trigonométrique : quelle figure forment-ils ?
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a) (X - 1)(2X + 1) = 2X2 + X - 2X - 1 = 2X2 - X - 1.
b) En posant X = cos x, l'équation s'écrit (cos x - 1)(2cos x + 1) = 0, donc cos x = 1 ou cos x = -12.
cos x = 1 = cos 0 donne x = 2kπ ; dans ]-π ; π] : x = 0.
cos x = -12 = cos2π3 donne x = ± 2π3 + 2kπ ; dans ]-π ; π] : x = -2π3 ou x = 2π3.
S = {-2π3 ; 0 ; 2π3}.
c) Les trois points sont espacés de 2π3 (un tiers de tour) : ils forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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