Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 23
Géométrie plane
Je sais calculer un produit scalaire de plusieurs façons et l'utiliser pour démontrer une orthogonalité, calculer des longueurs et des angles dans un triangle.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les règles de calcul sur les vecteurs (relation de Chasles, colinéarité)
- Calculer un produit scalaire avec le cosinus, la projection orthogonale ou les normes
- Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux
- Appliquer le théorème d'Al-Kashi et le théorème de la médiane
Avant de commencer : Les vecteurs du plan (somme, relation de Chasles, multiplication par un réel), le théorème de Pythagore, la leçon « La trigonométrie ».
1Je découvre
Mamadou, géomètre stagiaire à Siguiri, doit mesurer la largeur d'un marigot entre deux arbres B et C situés sur les deux rives. Il ne peut pas traverser l'eau avec son décamètre.
Il se place en un point A sur la rive, d'où il voit les deux arbres. Il mesure AB = 40 m, AC = 30 m, et avec un rapporteur de chantier il trouve que l'angle BAC mesure 60°.
Le triangle ABC n'est pas rectangle : le théorème de Pythagore ne s'applique pas. Pourtant, il a l'impression que deux longueurs et l'angle entre elles suffisent à déterminer la troisième longueur.
Quel outil permet de calculer une longueur ou un angle dans un triangle quelconque, et de démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Cet outil s'appelle le produit scalaire.
2Je comprends
1. Rappels sur les vecteurs
- Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : overrightarrowAB + overrightarrowBC = overrightarrowAC.
- Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u (ou si u = 0).
- Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si overrightarrowAB et overrightarrowAC sont colinéaires ; deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si overrightarrowAB et overrightarrowCD sont colinéaires.
- La norme ‖u‖ est la longueur du vecteur : ‖overrightarrowAB‖ = AB.
- I est le milieu de [AB] si et seulement si overrightarrowIA + overrightarrowIB = 0.
2. Définition du produit scalaire
Soient u et v deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel :
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
Si l'un des deux vecteurs est nul, u · v = 0. Avec des points : overrightarrowAB · overrightarrowAC = AB × AC × cos BAC.
Le signe du produit scalaire dépend de l'angle : positif si l'angle est aigu, nul s'il est droit, négatif s'il est obtus.
3. Produit scalaire et projection orthogonale
Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :
overrightarrowAB · overrightarrowAC = overrightarrowAB · overrightarrowAH.
- Si overrightarrowAB et overrightarrowAH sont de même sens : overrightarrowAB · overrightarrowAC = AB × AH.
- S'ils sont de sens contraires : overrightarrowAB · overrightarrowAC = -AB × AH.
Exemple
ABCD est un carré de côté 4. Calculer AB · AC, AB · AD et AB · CD.
Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B, donc AB · AC = AB · AB = AB² = 16.
(AB) et (AD) sont perpendiculaires, donc AB · AD = 0.
Le vecteur CD est égal à −AB (même longueur, sens contraire), donc AB · CD = −AB² = −16.
4. Propriétés de calcul
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k :
- symétrie : u · v = v · u ;
- distributivité : u · (v + w) = u · v + u · w ;
- (k u) · v = k (u · v) ;
- carré scalaire : u · u = u 2 = ‖u‖2, donc overrightarrowAB2 = AB2.
On en déduit des « identités remarquables » : (u + v)2 = ‖u‖2 + 2 u · v + ‖v‖2, et la formule avec les normes :
u · v = 12(‖u + v‖2 - ‖u‖2 - ‖v‖2).
Orthogonalité. Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0. Ainsi, (AB) ⊥ (CD) ⇔ overrightarrowAB · overrightarrowCD = 0.
5. Le théorème d'Al-Kashi
Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = CA, c = AB. Comme overrightarrowBC = overrightarrowAC - overrightarrowAB :
BC2 = (overrightarrowAC - overrightarrowAB)2 = AC2 - 2 overrightarrowAB · overrightarrowAC + AB2.
D'où le théorème d'Al-Kashi (qui généralise celui de Pythagore) :
a2 = b2 + c2 - 2bccosA, et donc cosA = b2 + c2 - a22bc.
Si A = 90°, cosA = 0 et on retrouve Pythagore.
Exemple
Un triangle ABC a pour côtés AB = 8, AC = 5 et BC = 7. Calculer l'angle Â.
cos  = (AB² + AC² − BC²)/(2 × AB × AC) = (64 + 25 − 49)/(2 × 8 × 5) = 40/80 = 1/2.
Donc  = 60°.
6. Le théorème de la médiane
Soit I le milieu de [AB]. Pour tout point M du plan :
- MA2 + MB2 = 2MI2 + AB22 ;
- overrightarrowMA · overrightarrowMB = MI2 - AB24.
Idée de la preuve. overrightarrowMA = overrightarrowMI + overrightarrowIA et overrightarrowMB = overrightarrowMI + overrightarrowIB = overrightarrowMI - overrightarrowIA. En développant, les doubles produits s'éliminent (somme) ou on obtient MI2 - IA2 (produit), avec IA = AB2.
Conséquence : l'ensemble des points M tels que overrightarrowMA · overrightarrowMB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
Exemple
Un triangle ABC a pour côtés AB = 6, AC = 8 et BC = 10. I est le milieu de [BC]. Calculer AI.
Théorème de la médiane avec M = A et le segment [BC] :
AB² + AC² = 2AI² + BC²/2, soit 36 + 64 = 2AI² + 50.
2AI² = 50, donc AI² = 25 et AI = 5.
Contrôle : 36 + 64 = 100 = 10², le triangle est rectangle en A, et la médiane issue de l'angle droit vaut bien la moitié de l'hypoténuse.
Méthode
Pour calculer un produit scalaire, je choisis la formule selon les données :
- Je connais deux longueurs et l'angle entre elles : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
- Je vois un angle droit ou une hauteur : j'utilise le projeté orthogonal.
- Je connais les trois côtés d'un triangle : u · v = ½(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²), ou Al-Kashi.
- La figure est un rectangle ou un carré : je décompose avec la relation de Chasles pour faire apparaître des vecteurs perpendiculaires (produit nul) ou colinéaires.
- Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, je montre que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
7. Retour au marigot de Mamadou
Par Al-Kashi : BC2 = 402 + 302 - 2 × 40 × 30 × cos 60° = 1 600 + 900 - 1 200 = 1 300.
Donc BC = √1 300 = 10√13 ≈ 36,06 m. La largeur entre les deux arbres est d'environ 36 m.
3Je retiens
Je retiens
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v) ; c'est un nombre réel, pas un vecteur.
Avec H projeté orthogonal de C sur (AB) : AB · AC = AB · AH (= AB × AH si même sens, −AB × AH sinon).
u · v = ½(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) et u · u = ‖u‖².
u et v orthogonaux ⟺ u · v = 0.
Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos Â.
Médiane (I milieu de [AB]) : MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 et MA · MB = MI² − AB²/4.
4Erreurs fréquentes
- Écrire le résultat d'un produit scalaire avec une flèche : u · v est un NOMBRE.
- Oublier le signe dans la projection : si AB et AH sont de sens contraires, le produit scalaire est négatif.
- Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle : il faut Al-Kashi.
- Oublier le facteur 2 dans Al-Kashi : c'est − 2bc cos Â, pas − bc cos Â.
5Je m’exerce
1Exercice 1
‖u‖ = 4 et ‖v‖ = 3. Calcule u · v lorsque l'angle (u, v) mesure :
a) π3 ; b) 3π4 ; c) π2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u · v = 4 × 3 × cosπ3 = 12 × 12 = 6.
b) u · v = 12 × cos3π4 = 12 × (-√22) = -6√2.
c) cosπ2 = 0, donc u · v = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
2Exercice 2
Dans un triangle ABC, AB = 4, AC = 6 et BAC = 120°.
a) Calcule overrightarrowAB · overrightarrowAC.
b) Calcule la valeur exacte de BC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) overrightarrowAB · overrightarrowAC = 4 × 6 × cos 120° = 24 × (-12) = -12.
b) BC2 = AB2 + AC2 - 2 overrightarrowAB · overrightarrowAC = 16 + 36 - 2 × (-12) = 76. Donc BC = √76 = 2√19 ≈ 8,72.
3Exercice 3
Un triangle ABC a pour côtés AB = 3, AC = 5 et BC = 7. Calcule la mesure de l'angle BAC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
cosBAC = AB2 + AC2 - BC22 × AB × AC = 9 + 25 - 492 × 3 × 5 = -1530 = -12.
Donc BAC = 120° (angle obtus, car le cosinus est négatif).
4Exercice 4
Un triangle ABC a pour côtés AB = 4, AC = 6 et BC = 8. I est le milieu de [BC]. Calcule la longueur de la médiane AI.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Théorème de la médiane : AB2 + AC2 = 2AI2 + BC22, soit 16 + 36 = 2AI2 + 32.
2AI2 = 20, AI2 = 10, donc AI = √10 ≈ 3,16.
5Exercice 5
(Type examen) ABCD est un rectangle tel que AB = 6 et AD = 4. I est le milieu de [DC].
a) En décomposant overrightarrowAI = overrightarrowAD + overrightarrowDI et overrightarrowBI = overrightarrowBC + overrightarrowCI, calcule overrightarrowAI · overrightarrowBI.
b) Calcule AI et BI.
c) Déduis-en cosAIB, puis une valeur approchée de l'angle AIB au degré près. Le triangle AIB est-il rectangle en I ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) overrightarrowAI · overrightarrowBI = (overrightarrowAD + overrightarrowDI) · (overrightarrowBC + overrightarrowCI)
= overrightarrowAD · overrightarrowBC + overrightarrowAD · overrightarrowCI + overrightarrowDI · overrightarrowBC + overrightarrowDI · overrightarrowCI.
- overrightarrowBC = overrightarrowAD, donc overrightarrowAD · overrightarrowBC = AD2 = 16.
- (AD) ⊥ (DC) et (BC) ⊥ (DC), donc les deux produits du milieu sont nuls.
- overrightarrowDI et overrightarrowCI sont colinéaires de sens contraires, de longueur 3 : overrightarrowDI · overrightarrowCI = -3 × 3 = -9.
Donc overrightarrowAI · overrightarrowBI = 16 + 0 + 0 - 9 = 7.
b) Dans le triangle ADI rectangle en D : AI2 = 16 + 9 = 25, AI = 5. De même BI = 5.
c) overrightarrowIA · overrightarrowIB = overrightarrowAI · overrightarrowBI = 7 (on a changé le sens des deux vecteurs). Donc cosAIB = 75 × 5 = 725 = 0,28, d'où AIB ≈ 74°.
Le produit scalaire n'est pas nul : le triangle AIB n'est pas rectangle en I (il est isocèle en I).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
