Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 23
Barycentre
Je sais définir, construire et calculer les coordonnées du barycentre de deux ou trois points pondérés, et l'utiliser pour réduire une somme de vecteurs et trouver des ensembles de points.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le barycentre de deux ou trois points pondérés et savoir quand il existe
- Construire le barycentre et calculer ses coordonnées
- Utiliser l'homogénéité et l'associativité
- Réduire une somme de vecteurs pour déterminer un ensemble de points
Avant de commencer : Les vecteurs du plan et la relation de Chasles, la colinéarité, les coordonnées d'un vecteur et d'un milieu dans un repère.
1Je découvre
Ibrahima rentre du marché de Kankan avec une perche de bambou de 1,5 m sur l'épaule. À l'extrémité A, il a accroché un bidon d'huile de 20 kg ; à l'autre extrémité B, un sac de 10 kg.
S'il pose la perche sur son épaule en son milieu, elle bascule du côté du bidon. Il doit donc se placer plus près de A que de B. Mais à quel endroit exactement la perche sera-t-elle en équilibre ?
Les physiciens disent que le point d'équilibre est le centre de gravité du système. En mathématiques, ce point porte un autre nom : c'est le barycentre des points A et B affectés des « poids » 20 et 10.
Comment trouver précisément ce point d'équilibre, et comment ce point aide-t-il à résoudre des problèmes de géométrie ?
2Je comprends
1. Barycentre de deux points pondérés
Un point pondéré est un couple (A, a) formé d'un point A et d'un réel a appelé coefficient (ou poids).
Théorème et définition. Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés avec a + b ≠ 0. Il existe un unique point G tel que :
a overrightarrowGA + b overrightarrowGB = 0.
Ce point G est le barycentre du système {(A, a) ; (B, b)}.
Pour le construire, on utilise la relation de Chasles : overrightarrowGB = overrightarrowGA + overrightarrowAB. Alors a overrightarrowGA + b overrightarrowGA + b overrightarrowAB = 0, soit (a + b) overrightarrowAG = b overrightarrowAB, et :
overrightarrowAG = ba + b overrightarrowAB.
Si a + b = 0 (et a ≠ 0), la relation devient a overrightarrowBA = 0, impossible si A ≠ B : il n'y a pas de barycentre.
Propriétés.
- G est sur la droite (AB).
- Si a et b sont de même signe, G est sur le segment [AB], plus près du point de plus grand coefficient (en valeur absolue).
- Si a et b sont de signes contraires, G est en dehors du segment, du côté du point de plus grand coefficient en valeur absolue.
- Si a = b, G est le milieu de [AB] (on parle d'isobarycentre).
- Homogénéité : on peut multiplier tous les coefficients par un même réel non nul sans changer le barycentre. Ainsi {(A, 20) ; (B, 10)} et {(A, 2) ; (B, 1)} ont le même barycentre.
Exemple
Construire le barycentre G de {(A, 2) ; (B, 3)}, puis celui de {(A, 3) ; (B, −1)}.
Cas 1 : a + b = 5 ≠ 0. AG = (3/5) AB (en vecteurs). G est sur [AB], aux trois cinquièmes à partir de A, donc plus près de B, qui a le plus grand coefficient.
Cas 2 : a + b = 2 ≠ 0. AG = (−1/2) AB. G est sur la droite (AB), à l'extérieur du segment, du côté de A, à une distance de A égale à la moitié de AB.
Contrôle du cas 2 : 3GA − GB = 3GA − (GA + AB) = 2GA − AB, qui est nul si AG = −½ AB. Juste.
2. Coordonnées du barycentre
Dans un repère, si G est le barycentre de {(A, a) ; (B, b)} :
xG = a xA + b xBa + b et yG = a yA + b yBa + b.
C'est une « moyenne pondérée » des coordonnées. Pour a = b, on retrouve les coordonnées du milieu.
3. Barycentre de trois points
Soient (A, a), (B, b), (C, c) avec a + b + c ≠ 0. Il existe un unique point G tel que :
a overrightarrowGA + b overrightarrowGB + c overrightarrowGC = 0, et overrightarrowAG = b overrightarrowAB + c overrightarrowACa + b + c.
Ses coordonnées : xG = a xA + b xB + c xCa + b + c (même formule pour yG).
L'isobarycentre de trois points non alignés (coefficients égaux) est le centre de gravité du triangle, point de concours des médianes.
Associativité (barycentre partiel). Si b + c ≠ 0 et si H est le barycentre de {(B, b) ; (C, c)}, alors G est le barycentre de {(A, a) ; (H, b + c)}. On peut donc remplacer deux points par leur barycentre, affecté de la somme de leurs coefficients.
Par exemple, pour l'isobarycentre G du triangle ABC : si A' est le milieu de [BC], G est le barycentre de {(A, 1) ; (A', 2)}, donc overrightarrowAG = 23 overrightarrowAA'. On retrouve que le centre de gravité est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Exemple
A(1 ; 2), B(4 ; −1) et C(−2 ; 5). Calculer les coordonnées du barycentre G de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)}.
Somme des coefficients : 1 + 2 + 3 = 6 ≠ 0, donc G existe.
x_G = (1 × 1 + 2 × 4 + 3 × (−2))/6 = (1 + 8 − 6)/6 = 3/6 = 1/2.
y_G = (1 × 2 + 2 × (−1) + 3 × 5)/6 = (2 − 2 + 15)/6 = 15/6 = 5/2.
G(1/2 ; 5/2).
4. Réduction d'une somme vectorielle
C'est la propriété la plus utile en exercice. Si G est le barycentre de {(A, a) ; (B, b)} avec a + b ≠ 0, alors pour tout point M :
a overrightarrowMA + b overrightarrowMB = (a + b) overrightarrowMG.
(Même chose avec trois points : a overrightarrowMA + b overrightarrowMB + c overrightarrowMC = (a + b + c) overrightarrowMG.)
Preuve. a overrightarrowMA + b overrightarrowMB = a(overrightarrowMG + overrightarrowGA) + b(overrightarrowMG + overrightarrowGB) = (a + b) overrightarrowMG + underbracea overrightarrowGA + b overrightarrowGB0.
Si a + b = 0, la somme ne dépend pas de M : a overrightarrowMA - a overrightarrowMB = a overrightarrowBA.
Méthode
Pour trouver l'ensemble des points M tels que ‖a MA + b MB‖ = k (avec a + b ≠ 0) :
- J'introduis G, barycentre de {(A, a) ; (B, b)}, et je le place avec AG = b/(a + b) AB.
- Je réduis : a MA + b MB = (a + b) MG, donc la condition devient |a + b| × MG = k.
- J'en déduis MG = k/|a + b|.
- Je conclus : c'est le cercle de centre G et de rayon k/|a + b| (réduit au point G si k = 0).
Exemple
AB = 6. Déterminer l'ensemble des points M tels que ‖2MA + MB‖ = 6.
G barycentre de {(A, 2) ; (B, 1)} : 2 + 1 = 3 ≠ 0 et AG = (1/3) AB, donc AG = 2.
2MA + MB = 3MG, donc la condition s'écrit 3MG = 6, soit MG = 2.
L'ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon 2.
5. Retour à la perche d'Ibrahima
Le point d'équilibre est le barycentre G de {(A, 20) ; (B, 10)}, ou, par homogénéité, de {(A, 2) ; (B, 1)} :
overrightarrowAG = 13 overrightarrowAB, donc AG = 1,53 = 0,5 m.
Ibrahima doit placer son épaule à 50 cm du bidon, soit à 1 m du sac. Vérification : 20 × 0,5 = 10 × 1 : les « moments » sont égaux, comme en physique.
3Je retiens
Je retiens
Si a + b ≠ 0, le barycentre G de {(A, a) ; (B, b)} est l'unique point tel que a GA + b GB = 0 (vecteurs).
AG = b/(a + b) AB ; x_G = (a x_A + b x_B)/(a + b), idem pour y_G.
Si a + b = 0, il n'y a pas de barycentre.
Homogénéité : multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas G.
Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Réduction : pour tout M, a MA + b MB + c MC = (a + b + c) MG.
Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre des sommets, aux 2/3 de chaque médiane depuis le sommet.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper de coefficient dans AG = b/(a + b) AB : au numérateur, on met le coefficient de B (l'autre point), pas celui de A.
- Oublier de vérifier que la somme des coefficients n'est pas nulle avant de parler du barycentre.
- Écrire MG = k au lieu de (a + b) MG = k : il ne faut pas oublier le facteur a + b quand on réduit la somme.
- Placer G près du point de plus petit coefficient : G est attiré par le point le plus « lourd ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
A et B sont deux points tels que AB = 8 cm. Construis le barycentre :
a) G1 de {(A, 1) ; (B, 3)} ;
b) G2 de {(A, 2) ; (B, -3)}.
Pour chacun, donne overrightarrowAG en fonction de overrightarrowAB et la distance AG.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1 + 3 = 4 ≠ 0. overrightarrowAG1 = 34 overrightarrowAB, donc AG1 = 6 cm : G1 est sur [AB], à 6 cm de A et 2 cm de B.
b) 2 + (-3) = -1 ≠ 0. overrightarrowAG2 = -3-1 overrightarrowAB = 3 overrightarrowAB, donc AG2 = 24 cm : G2 est sur la demi-droite [AB), au-delà de B (du côté de B, dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue).
Contrôle : 2 overrightarrowG2A - 3 overrightarrowG2B = 2 overrightarrowG2A - 3(overrightarrowG2A + overrightarrowAB) = -overrightarrowG2A - 3 overrightarrowAB = overrightarrowAG2 - 3 overrightarrowAB = 0.
2Exercice 2
Dans un repère, A(2 ; -1) et B(-4 ; 5). Calcule les coordonnées du barycentre G de {(A, 2) ; (B, 1)}.
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2 + 1 = 3.
xG = 2 × 2 + 1 × (-4)3 = 03 = 0 ; yG = 2 × (-1) + 1 × 53 = 33 = 1. Donc G(0 ; 1).
3Exercice 3
Dans un repère, A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 6).
a) Calcule les coordonnées de l'isobarycentre G de A, B, C.
b) Calcule les coordonnées du barycentre K de {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.
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a) xG = 0 + 6 + 03 = 2 ; yG = 0 + 0 + 63 = 2. G(2 ; 2).
b) Somme : 2 + 1 + 1 = 4. xK = 2 × 0 + 6 + 04 = 32 ; yK = 0 + 0 + 64 = 32. K(32 ; 32).
4Exercice 4
ABC est un triangle et G le barycentre de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)}.
a) Construis le barycentre I de {(B, 2) ; (C, 3)}.
b) Montre que G est le barycentre de {(A, 1) ; (I, 5)} et exprime overrightarrowAG en fonction de overrightarrowAI.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2 + 3 = 5 ≠ 0 : overrightarrowBI = 35 overrightarrowBC. I est sur [BC], aux trois cinquièmes à partir de B.
b) Par associativité, on remplace (B, 2) et (C, 3) par (I, 5) : G est le barycentre de {(A, 1) ; (I, 5)}. Donc overrightarrowAG = 51 + 5 overrightarrowAI = 56 overrightarrowAI.
5Exercice 5
(Type examen) A et B sont deux points tels que AB = 6.
a) Construis le barycentre G de {(A, 2) ; (B, 1)}.
b) Montre que, pour tout point M, overrightarrowMA - overrightarrowMB = overrightarrowBA.
c) Détermine et construis l'ensemble (Gamma) des points M du plan tels que ‖2overrightarrowMA + overrightarrowMB‖ = ‖overrightarrowMA - overrightarrowMB‖.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2 + 1 = 3 ≠ 0 et overrightarrowAG = 13 overrightarrowAB, donc G est sur [AB] avec AG = 2.
b) overrightarrowMA - overrightarrowMB = overrightarrowMA + overrightarrowBM = overrightarrowBM + overrightarrowMA = overrightarrowBA (relation de Chasles).
c) Pour tout M : 2 overrightarrowMA + overrightarrowMB = 3 overrightarrowMG et overrightarrowMA - overrightarrowMB = overrightarrowBA.
La condition devient 3MG = BA, soit 3MG = 6 et MG = 2.
(Gamma) est le cercle de centre G et de rayon 2. Comme GA = 2, ce cercle passe par A.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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