Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 23
Géométrie analytique
Je sais utiliser les coordonnées dans un repère orthonormé pour calculer des distances, écrire des équations de droites et de cercles, et démontrer parallélisme, alignement ou perpendicularité.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer distance, milieu, coordonnées de vecteurs et produit scalaire en repère orthonormé
- Écrire une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur ou normal
- Étudier le parallélisme et la perpendicularité de deux droites, calculer la distance d'un point à une droite
- Écrire et reconnaître l'équation d'un cercle
Avant de commencer : Les vecteurs et le produit scalaire (leçon « Géométrie plane »), les équations du premier degré, les systèmes d'équations linéaires.
1Je découvre
Le comité de quartier de Kaloum dessine sur du papier quadrillé le plan de son quartier pour prévoir un nouveau forage. Chaque carreau représente 100 m. On prend l'école comme origine du repère : le marché est au point A(1 ; 2), le dispensaire en B(5 ; 4) et la mosquée en C(2 ; -1).
Kadiatou, élève de 12e, se voit poser trois questions :
- quelle est la distance à vol d'oiseau entre le marché et le dispensaire ?
- une piste droite relie le marché au dispensaire : comment la décrire par une équation ?
- on veut tracer, depuis la mosquée, le chemin le plus court jusqu'à cette piste : quelle est sa longueur ?
Avec une règle, elle aurait des valeurs approchées. Avec les coordonnées, elle peut obtenir des résultats exacts par le calcul.
Comment traduire les questions de géométrie (distances, droites, cercles, angles droits) en calculs sur les coordonnées ?
2Je comprends
Dans toute la leçon, le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j) : les axes sont perpendiculaires et ont la même unité.
1. Les formules de base
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB), u(x ; y) et v(x' ; y').
| Notion | Formule |
|---|---|
| Coordonnées de overrightarrowAB | (xB - xA ; yB - yA) |
| Milieu I de [AB] | (xA + xB2 ; yA + yB2) |
| Norme | ‖u‖ = √x2 + y2 |
| Distance | AB = √(xB - xA)2 + (yB - yA)2 |
| Produit scalaire | u · v = xx' + yy' |
| Colinéarité | u et v colinéaires ⇔ xy' - x'y = 0 |
| Orthogonalité | u ⊥ v ⇔ xx' + yy' = 0 |
Le nombre xy' - x'y s'appelle le déterminant de u et v, noté det(u, v).
2. Équation cartésienne d'une droite
Un vecteur directeur d'une droite (D) est un vecteur non nul qui a la même direction que (D). Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à (D).
Théorème. Toute droite a une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Réciproquement, une telle équation est celle d'une droite, qui admet :
- u(-b ; a) comme vecteur directeur ;
- n(a ; b) comme vecteur normal.
Si b ≠ 0, on peut écrire l'équation réduite y = mx + p : m est le coefficient directeur (la pente) et p l'ordonnée à l'origine. Un vecteur directeur est alors (1 ; m).
Méthode
Pour écrire une équation de la droite passant par A(x_A ; y_A) :
- Avec un vecteur directeur u(α ; β) : M(x ; y) est sur la droite ⟺ AM et u sont colinéaires ⟺ (x − x_A) β − (y − y_A) α = 0. Je développe.
- Avec un vecteur normal n(a ; b) : M est sur la droite ⟺ AM · n = 0 ⟺ a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0. Je développe.
- Je simplifie si possible (diviser par un facteur commun).
- Je vérifie que les coordonnées de A (et d'un second point connu) vérifient l'équation.
Exemple
Écrire une équation de la droite (AB) avec A(1 ; 2) et B(5 ; 4).
AB(4 ; 2) est un vecteur directeur. M(x ; y) ∈ (AB) ⟺ det(AM, AB) = 0 :
(x − 1) × 2 − (y − 2) × 4 = 0
2x − 2 − 4y + 8 = 0
2x − 4y + 6 = 0, soit, en divisant par 2 : x − 2y + 3 = 0.
Vérification : A donne 1 − 4 + 3 = 0 ; B donne 5 − 8 + 3 = 0. Juste.
3. Positions relatives de deux droites
Soient (D) : ax + by + c = 0 et (D') : a'x + b'y + c' = 0.
- (D) ∥ (D') ⇔ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ⇔ ab' - a'b = 0. Avec les équations réduites : même coefficient directeur, m = m'.
- (D) ⊥ (D') ⇔ leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ⇔ aa' + bb' = 0. Avec les équations réduites : m × m' = -1.
- Si elles sont sécantes, on trouve le point d'intersection en résolvant le système formé par les deux équations.
Exemple
Écrire une équation de la droite (Δ) perpendiculaire à (AB) et passant par C(2 ; −1).
(Δ) est perpendiculaire à (AB), donc AB(4 ; 2) est un vecteur normal de (Δ).
Équation : 4(x − 2) + 2(y + 1) = 0, soit 4x + 2y − 6 = 0, ou encore 2x + y − 3 = 0.
Vérification : 2 × 2 + (−1) − 3 = 0. Juste.
Point d'intersection H de (Δ) et (AB) : on résout x − 2y + 3 = 0 et 2x + y − 3 = 0.
De la seconde, y = 3 − 2x ; dans la première, x − 6 + 4x + 3 = 0, donc x = 3/5 et y = 3 − 6/5 = 9/5.
H(3/5 ; 9/5) : c'est le projeté orthogonal de C sur (AB).
4. Distance d'un point à une droite
La distance du point M0(x0 ; y0) à la droite (D) : ax + by + c = 0 est :
d(M0, D) = |a x0 + b y0 + c|√a2 + b2.
C'est la longueur M0H, où H est le projeté orthogonal de M0 sur (D) : le plus court chemin de M0 à la droite.
5. Équation d'un cercle
Le cercle (mathcalC) de centre Ω(α ; β) et de rayon r > 0 est l'ensemble des points M tels que Ω M = r, soit Ω M2 = r2 :
(x - α)2 + (y - β)2 = r2.
En développant, on obtient une équation de la forme x2 + y2 - 2α x - 2β y + c = 0. Pour retrouver centre et rayon à partir d'une telle équation, on utilise la forme canonique : x2 - 2α x = (x - α)2 - α2.
Autre caractérisation (vue dans la leçon précédente) : le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que overrightarrowMA · overrightarrowMB = 0.
Exemple
Reconnaître l'ensemble d'équation x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0.
x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 6y = (y + 3)² − 9.
L'équation devient (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 25.
C'est le cercle de centre Ω(2 ; −3) et de rayon √25 = 5.
Attention : si on avait trouvé un nombre négatif à droite, l'ensemble serait vide ; si on avait trouvé 0, ce serait le seul point Ω.
6. Retour au plan du quartier
- Distance marché-dispensaire : AB = √42 + 22 = √20 = 2√5 ≈ 4,47 carreaux, soit environ 447 m.
- La piste (AB) a pour équation x - 2y + 3 = 0.
- Distance de la mosquée C(2 ; -1) à la piste : |2 - 2 × (-1) + 3|√12 + (-2)2 = 7√5 = 7√55 ≈ 3,13 carreaux, soit environ 313 m.
Contrôle avec le point H(35 ; 95) trouvé plus haut : CH2 = (75)2 + (145)2 = 49 + 19625 = 24525 = 495, et (7√5)2 = 495. Les deux méthodes concordent.
3Je retiens
Je retiens
En repère orthonormé : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) ; u · v = xx' + yy' ; det(u, v) = xy' − x'y.
Colinéaires ⟺ déterminant nul ; orthogonaux ⟺ produit scalaire nul.
Droite ax + by + c = 0 : vecteur directeur (−b ; a), vecteur normal (a ; b).
Parallèles ⟺ ab' − a'b = 0 (ou m = m') ; perpendiculaires ⟺ aa' + bb' = 0 (ou m m' = −1).
Distance de M_0 à (D) : |a x_0 + b y_0 + c| / √(a² + b²).
Cercle de centre Ω(α ; β) et de rayon r : (x − α)² + (y − β)² = r².
4Erreurs fréquentes
- Confondre vecteur directeur et vecteur normal : pour ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b) est NORMAL ; le vecteur directeur est (−b ; a).
- Oublier la valeur absolue ou la racine au dénominateur dans la formule de la distance.
- Lire le centre d'un cercle avec le mauvais signe : (x + 1)² + (y − 2)² = 9 a pour centre (−1 ; 2), pas (1 ; −2).
- Lire le rayon sans racine : (x − 2)² + (y + 3)² = 25 a pour rayon 5, pas 25.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On donne A(-2 ; 1) et B(4 ; -3). Calcule les coordonnées de overrightarrowAB, la distance AB et les coordonnées du milieu I de [AB].
Voir le corrigéCacher le corrigé
overrightarrowAB(4 - (-2) ; -3 - 1) = (6 ; -4).
AB = √36 + 16 = √52 = 2√13 ≈ 7,21.
I(-2 + 42 ; 1 - 32) = (1 ; -1).
2Exercice 2
Les points A(1 ; 1), B(3 ; 5) et C(-1 ; -3) sont-ils alignés ? Justifie avec un déterminant.
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overrightarrowAB(2 ; 4) et overrightarrowAC(-2 ; -4).
det(overrightarrowAB, overrightarrowAC) = 2 × (-4) - (-2) × 4 = -8 + 8 = 0. Les vecteurs sont colinéaires (on voit même que overrightarrowAC = -overrightarrowAB) : les points sont alignés, et A est le milieu de [BC].
3Exercice 3
Soit (D) la droite passant par A(1 ; -2) et de vecteur directeur u(3 ; 1).
a) Écris une équation cartésienne de (D) et donne son coefficient directeur.
b) Écris une équation de la droite parallèle à (D) passant par l'origine, puis de la droite perpendiculaire à (D) passant par l'origine.
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a) M(x ; y) ∈ (D) ⇔ (x - 1) × 1 - (y + 2) × 3 = 0 ⇔ x - 1 - 3y - 6 = 0 ⇔ x - 3y - 7 = 0.
Vérification avec A : 1 + 6 - 7 = 0. Équation réduite : y = 13x - 73, coefficient directeur 13.
b) Parallèle par O : même vecteur directeur, donc x - 3y + c = 0 avec 0 - 0 + c = 0 : x - 3y = 0.
Perpendiculaire par O : u(3 ; 1) est un vecteur normal, donc 3x + y = 0.
Contrôle : pentes 13 et -3, produit -1.
4Exercice 4
Soit (mathcalC) l'ensemble d'équation x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0.
a) Montre que (mathcalC) est un cercle ; donne son centre et son rayon.
b) Le point P(2 ; 2) appartient-il à (mathcalC) ?
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a) x2 + 2x = (x + 1)2 - 1 et y2 - 4y = (y - 2)2 - 4. L'équation devient (x + 1)2 + (y - 2)2 = 1 + 4 + 4 = 9.
C'est le cercle de centre Ω(-1 ; 2) et de rayon 3.
b) (2 + 1)2 + (2 - 2)2 = 9 + 0 = 9 : oui, P ∈ (mathcalC).
5Exercice 5
(Type examen) On donne A(0 ; 4), B(-2 ; 0) et C(8 ; 0).
a) Calcule overrightarrowAB · overrightarrowAC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Écris une équation du cercle circonscrit au triangle ABC et vérifie que A lui appartient.
c) Écris une équation de la droite (AB), puis calcule la distance de C à (AB). Compare avec AC et explique.
d) Calcule l'aire du triangle ABC de deux façons.
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a) overrightarrowAB(-2 ; -4) et overrightarrowAC(8 ; -4). overrightarrowAB · overrightarrowAC = -16 + 16 = 0. Le triangle ABC est rectangle en A.
b) Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse [BC] : K(3 ; 0). Le rayon est BC2 = 102 = 5. Équation : (x - 3)2 + y2 = 25.
Pour A : (0 - 3)2 + 42 = 9 + 16 = 25. Juste.
c) La droite (AB) passe par A(0 ; 4) et B(-2 ; 0) ; sa pente est 4 - 00 - (-2) = 2 et son ordonnée à l'origine 4 : y = 2x + 4, soit 2x - y + 4 = 0.
d(C, (AB)) = |2 × 8 - 0 + 4|√4 + 1 = 20√5 = 4√5.
AC = √64 + 16 = √80 = 4√5 : c'est la même valeur, car (AC) ⊥ (AB), donc le projeté orthogonal de C sur (AB) est A.
d) Avec la base [BC] (sur l'axe des abscisses, BC = 10) et la hauteur issue de A (égale à 4) : mathcalA = 10 × 42 = 20.
Avec l'angle droit en A : mathcalA = AB × AC2 = 2√5 × 4√52 = 402 = 20. Les deux résultats concordent.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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