Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 23
Le dénombrement
Je sais compter méthodiquement le nombre de possibilités d'une situation en choisissant le bon outil : principe multiplicatif, p-listes, arrangements, permutations ou combinaisons.
- 1 h 10
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le principe additif, le principe multiplicatif et le cardinal d'un complémentaire
- Dénombrer des p-listes, des arrangements et des permutations
- Dénombrer des combinaisons et utiliser leurs propriétés (triangle de Pascal)
- Reconnaître le type de tirage (successif avec ou sans remise, simultané)
Avant de commencer : Le calcul sur les entiers et les fractions, la notion d'ensemble (appartenance, intersection, réunion).
1Je découvre
Le club de mathématiques du lycée de Kindia compte 30 élèves. Pour l'année, il doit élire un bureau : un président, un secrétaire et un trésorier (trois élèves différents). Il doit aussi désigner une délégation de 3 élèves qui ira au concours régional.
Fatoumata se demande : « Y a-t-il plus de bureaux possibles ou plus de délégations possibles ? »
Dans le bureau, l'ordre compte : Fatoumata présidente et Sékou secrétaire, ce n'est pas la même chose que Sékou président et Fatoumata secrétaire. Dans la délégation, l'ordre ne compte pas : c'est juste un groupe de trois.
Écrire toutes les possibilités une par une prendrait des jours. Il faut des méthodes de comptage sûres.
Comment compter rapidement et sans erreur le nombre de façons de choisir, ranger ou tirer des objets ?
2Je comprends
1. Vocabulaire et principes de base
Le cardinal d'un ensemble fini E, noté card(E), est le nombre de ses éléments. Dénombrer, c'est calculer un cardinal.
Principe additif. Si A et B n'ont aucun élément commun (ils sont disjoints) : card(A ∪ B) = card(A) + card(B). Dans le cas général :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B).
Complémentaire. Si A ⊂ E et A est le complémentaire de A dans E : card(A) = card(E) - card(A). C'est très utile pour les questions « au moins un ».
Principe multiplicatif. Si une situation se fait en plusieurs étapes successives, avec n1 choix à la première étape, n2 à la deuxième, …, np à la dernière (le nombre de choix ne dépendant pas des choix précédents), alors le nombre total de possibilités est n1 × n2 × … × np.
On représente souvent la situation par un arbre de choix.
Exemple
Un restaurant de Mamou propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus « entrée + plat + dessert » différents peut-on composer ?
Trois étapes indépendantes : 3 choix, puis 4, puis 2.
Nombre de menus : 3 × 4 × 2 = 24.
2. Les p-listes (tirages successifs avec remise)
Une p-liste d'un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de E, pas forcément distincts.
Nombre de p-listes : np.
Exemple : un code de cadenas à 4 chiffres (de 0 à 9, répétitions permises) : 104 = 10 000 codes.
3. Les arrangements (tirages successifs sans remise)
La factorielle de n est n! = n × (n - 1) × … × 2 × 1, avec la convention 0! = 1. Par exemple 5! = 120.
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une suite ordonnée de p éléments distincts. Leur nombre est :
Anp = n × (n - 1) × … × (n - p + 1) = n!(n - p)! (produit de p facteurs).
Une permutation de n éléments est un arrangement des n éléments : il y en a Ann = n!. C'est le nombre de façons de ranger n objets distincts.
Exemple
Combien de bureaux (président, secrétaire, trésorier) peut-on former avec les 30 élèves du club ?
L'ordre compte (chaque poste est différent) et un élève ne peut pas occuper deux postes : ce sont des arrangements de 3 parmi 30.
A_30^3 = 30 × 29 × 28 = 24 360 bureaux possibles.
4. Les combinaisons (tirages simultanés)
Une combinaison de p éléments parmi n est une partie (un sous-ensemble) de p éléments : l'ordre ne compte pas. Leur nombre se note Cnp (ou binomnp) :
Cnp = Anpp! = n!p! (n - p)!.
Pourquoi diviser par p! ? Chaque groupe de p éléments peut être rangé de p! façons : chaque combinaison correspond donc à p! arrangements.
Propriétés.
- Cn0 = Cnn = 1 ; Cn1 = n.
- Symétrie : Cnp = Cnn-p (choisir les p qu'on prend revient à choisir les n - p qu'on laisse).
- Relation de Pascal : Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p pour 1 ≤ p ≤ n - 1.
La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux nombres placés au-dessus de lui (dans la ligne précédente, colonne précédente et même colonne).
| n \ p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Formule du binôme (en plus pour SM). Pour tous réels a et b : (a + b)n = Σp=0n Cnp an-p bp. Par exemple (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 : les coefficients sont ceux de la ligne 4 du triangle.
Exemple
Combien de délégations de 3 élèves peut-on former avec les 30 élèves du club ?
L'ordre ne compte pas : ce sont des combinaisons de 3 parmi 30.
C_30^3 = (30 × 29 × 28)/(3 × 2 × 1) = 24 360/6 = 4 060 délégations.
Il y a 6 fois plus de bureaux que de délégations, car chaque groupe de 3 élèves peut se répartir les 3 postes de 3! = 6 façons.
5. Choisir le bon outil
- 1Lire l'énoncé : combien d'objets au total (n) ? combien en choisit-on (p) ?
- 2L'ordre compte-t-il ? (postes différents, rangement, tirage successif)
- 3Si l'ordre compte et que les répétitions sont permises : p-listes, n^p.
- 4Si l'ordre compte sans répétition : arrangements A_n^p (et n! pour tout ranger).
- 5Si l'ordre ne compte pas (groupe, poignée, tirage simultané) : combinaisons C_n^p.
- 6Contrôler le résultat sur un petit cas ou avec un arbre.
| Type de tirage de p objets parmi n | Ordre | Répétition | Nombre |
|---|---|---|---|
| Successifs avec remise | compte | possible | np |
| Successifs sans remise | compte | impossible | Anp |
| Simultanés | ne compte pas | impossible | Cnp |
Méthode
Pour dénombrer les tirages simultanés vérifiant une condition (« exactement », « au moins ») :
- Je calcule le nombre total de tirages : C_n^p.
- Pour « exactement k objets d'une sorte » : je choisis ces k objets PARMI leur catégorie, et les autres parmi le reste, puis je multiplie.
- Pour « au moins un » : je passe par le contraire (« aucun ») et je soustrais du total.
- Je vérifie que les cas trouvés, additionnés, redonnent le total quand c'est possible.
Exemple
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 3 boules.
Nombre total de tirages : C_8^3 = (8 × 7 × 6)/6 = 56.
Exactement 2 rouges : 2 rouges parmi 5 et 1 bleue parmi 3 : C_5^2 × C_3^1 = 10 × 3 = 30.
Au moins une bleue : contraire de « 3 rouges », qui compte C_5^3 = 10 tirages. Donc 56 − 10 = 46.
Contrôle : 0 rouge : C_3^3 = 1 ; 1 rouge : 5 × C_3^2 = 15 ; 2 rouges : 30 ; 3 rouges : 10. Total : 1 + 15 + 30 + 10 = 56. Juste.
3Je retiens
Je retiens
Principe multiplicatif : plusieurs étapes successives, on multiplie les nombres de choix.
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) ; card(Ā) = card(E) − card(A).
p-listes (ordre, répétitions permises) : n^p.
Arrangements (ordre, sans répétition) : A_n^p = n!/(n − p)! ; permutations : n!.
Combinaisons (sans ordre) : C_n^p = n!/(p!(n − p)!) = A_n^p / p!.
C_n^p = C_n^(n−p) ; relation de Pascal : C_n^p = C_(n−1)^(p−1) + C_(n−1)^p ; 0! = 1.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser des arrangements quand l'ordre ne compte pas (délégation, poignée de boules) : on compte alors chaque groupe plusieurs fois.
- Additionner au lieu de multiplier : pour des étapes successives (entrée ET plat), on multiplie ; pour des cas qui s'excluent (rouge OU bleu), on additionne.
- Oublier de choisir aussi les « autres » objets : « exactement 2 rouges parmi 3 boules » impose de choisir 1 boule non rouge.
- Calculer « au moins un » en énumérant tous les cas et en en oubliant : passer par le contraire est plus sûr.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule : 6! ; A73 ; C73 ; C108.
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6! = 720 ; A73 = 7 × 6 × 5 = 210 ; C73 = 2103! = 2106 = 35 ; C108 = C102 = 10 × 92 = 45.
2Exercice 2
Un code secret est formé de 4 chiffres (de 0 à 9).
a) Combien y a-t-il de codes possibles ?
b) Combien y a-t-il de codes formés de 4 chiffres tous différents ?
c) Combien y a-t-il de codes contenant au moins deux chiffres identiques ?
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a) 4-listes de l'ensemble des 10 chiffres : 104 = 10 000 codes.
b) Arrangements de 4 parmi 10 : A104 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes.
c) C'est le contraire de « tous différents » : 10 000 - 5 040 = 4 960 codes.
3Exercice 3
Huit coureurs participent à la finale du 100 m du championnat scolaire de Nzérékoré.
a) Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ?
b) De combien de façons peut-on ranger les 8 coureurs à l'arrivée (sans ex æquo) ?
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a) L'ordre compte et un coureur ne peut avoir qu'une médaille : A83 = 8 × 7 × 6 = 336 podiums.
b) Permutations des 8 coureurs : 8! = 40 320 classements.
4Exercice 4
Une classe compte 6 filles et 5 garçons. On forme un comité de 4 élèves.
a) Combien de comités différents peut-on former ?
b) Combien comptent exactement 2 filles et 2 garçons ?
c) Combien comptent au moins un garçon ?
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a) Groupe de 4 élèves parmi 11, sans ordre : C114 = 11 × 10 × 9 × 824 = 7 92024 = 330 comités.
b) 2 filles parmi 6 et 2 garçons parmi 5 : C62 × C52 = 15 × 10 = 150 comités.
c) Le contraire est « aucun garçon », c'est-à-dire 4 filles parmi 6 : C64 = C62 = 15. Donc 330 - 15 = 315 comités.
5Exercice 5
(Type examen) Un sac contient 10 jetons numérotés de 0 à 9. On tire 3 jetons.
a) Combien de résultats possibles si on tire les jetons successivement avec remise (on note les numéros dans l'ordre) ?
b) Même question sans remise.
c) Même question si on tire les 3 jetons simultanément.
d) Dans le cas du tirage simultané, combien de tirages contiennent le jeton 0 ? Combien ne contiennent que des numéros pairs ?
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a) 3-listes : 103 = 1 000 résultats.
b) Arrangements : A103 = 10 × 9 × 8 = 720 résultats.
c) Combinaisons : C103 = 7206 = 120 résultats.
d) On prend le jeton 0, puis 2 jetons parmi les 9 autres : C92 = 36 tirages.
Numéros pairs : 0, 2, 4, 6, 8, soit 5 jetons ; tirages de 3 jetons pairs : C53 = 10.
6Exercice 6
(En plus pour SM) À l'aide du triangle de Pascal, développe (x + 2)3 et (x - 1)4.
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Ligne 3 : 1, 3, 3, 1. (x + 2)3 = x3 + 3x2 × 2 + 3x × 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Ligne 4 : 1, 4, 6, 4, 1. (x - 1)4 = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 (les signes alternent car b = -1).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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