Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 23
Les probabilités
Je sais décrire une expérience aléatoire, calculer la probabilité d'un événement (en particulier en situation d'équiprobabilité) et étudier une variable aléatoire et son espérance.
- 1 h 10
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des probabilités (univers, événement, contraire, intersection, réunion, incompatibles)
- Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité à l'aide du dénombrement
- Utiliser les formules p(Ā) = 1 − p(A) et p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
- Déterminer la loi d'une variable aléatoire et calculer son espérance
Avant de commencer : La leçon « Le dénombrement » (arrangements, combinaisons), le calcul sur les fractions.
1Je découvre
Pour la fête de fin d'année d'un collège de Boké, Aïssatou tient un stand de jeu. Le principe : le joueur paie 500 GNF et lance un dé ordinaire à six faces.
- S'il obtient 6, il reçoit 2 000 GNF.
- S'il obtient 5, il reçoit 1 000 GNF.
- Sinon, il ne reçoit rien.
Le directeur veut que le jeu soit équitable : ni le joueur ni le stand ne doivent être avantagés « en moyenne », si on joue un très grand nombre de fois.
Aïssatou ne peut pas prévoir le résultat d'un lancer : c'est le hasard. Pourtant, elle sent qu'on peut mesurer les chances de chaque résultat et calculer un gain moyen.
Comment mesurer les chances qu'un événement se produise, et comment calculer le gain moyen d'un jeu de hasard ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une boule d'une urne).
- Chaque résultat possible est une éventualité (ou issue). L'ensemble de toutes les éventualités est l'univers, noté Ω.
- Un événement est une partie de l'univers. Un événement formé d'une seule éventualité est un événement élémentaire.
- Ω est l'événement certain ; ∅ est l'événement impossible.
| Notation | Nom | Se réalise quand… |
|---|---|---|
| A | contraire de A | A ne se réalise pas |
| A ∩ B | « A et B » | A et B se réalisent tous les deux |
| A ∪ B | « A ou B » | au moins l'un des deux se réalise |
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A ∩ B = ∅.
2. Probabilité sur un univers fini
Définir une probabilité p sur Ω = {e1 ; e2 ; … ; en}, c'est associer à chaque éventualité ei un nombre pi tel que :
- 0 ≤ pi ≤ 1 ;
- p1 + p2 + … + pn = 1.
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des éventualités qui le composent.
Propriétés. Pour tous événements A et B :
- p(∅) = 0, p(Ω) = 1 et 0 ≤ p(A) ≤ 1 ;
- p(A) = 1 - p(A) ;
- p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) ;
- si A et B sont incompatibles : p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
3. L'équiprobabilité
Quand toutes les éventualités ont la même probabilité (dé bien équilibré, pièce non truquée, tirage « au hasard »), on dit qu'il y a équiprobabilité. Chaque éventualité a alors la probabilité 1card(Ω) et :
p(A) = card(A)card(Ω) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.
C'est ici que le dénombrement devient indispensable.
Exemple
On lance un dé équilibré. A : « obtenir un nombre pair », B : « obtenir au moins 4 ». Calculer p(A), p(B), p(A ∩ B) et p(A ∪ B).
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, équiprobabilité.
A = {2 ; 4 ; 6} : p(A) = 3/6 = 1/2.
B = {4 ; 5 ; 6} : p(B) = 3/6 = 1/2.
A ∩ B = {4 ; 6} : p(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.
p(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 − 1/3 = 2/3.
Contrôle : A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}, soit 4 cas sur 6, et 4/6 = 2/3. Juste.
Exemple
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules. Calculer la probabilité des événements E : « exactement 2 boules rouges » et F : « au moins une boule bleue ».
Tirages simultanés au hasard : équiprobabilité, card(Ω) = C_8^3 = 56.
card(E) = C_5^2 × C_3^1 = 10 × 3 = 30, donc p(E) = 30/56 = 15/28.
F̄ : « trois boules rouges », card(F̄) = C_5^3 = 10, donc p(F̄) = 10/56 = 5/28.
p(F) = 1 − 5/28 = 23/28.
Méthode
Pour calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité :
- Je décris l'expérience et je justifie l'équiprobabilité (« au hasard », « équilibré », « indiscernables »).
- Je choisis le bon modèle de dénombrement pour Ω (p-listes, arrangements ou combinaisons) et je calcule card(Ω).
- Je dénombre les cas favorables à l'événement, AVEC LE MÊME MODÈLE.
- Je fais le quotient et je simplifie la fraction.
- Pour « au moins un », je calcule d'abord la probabilité du contraire.
4. Variable aléatoire, loi et espérance
Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque éventualité (un gain, un nombre de boules rouges, une somme de points…).
Donner la loi de probabilité de X, c'est donner les valeurs possibles x1, x2, …, xk de X et les probabilités p(X = xi), en général dans un tableau. La somme de ces probabilités vaut 1.
L'espérance mathématique de X est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités :
E(X) = x1 p(X = x1) + x2 p(X = x2) + … + xk p(X = xk).
Si X est un gain, E(X) est le gain moyen par partie, sur un très grand nombre de parties. Un jeu est équitable si E(X) = 0, favorable au joueur si E(X) > 0, défavorable si E(X) < 0.
La variance mesure la dispersion : V(X) = Σ pi (xi - E(X))2 = E(X2) - [E(X)]2, et l'écart type vaut σ(X) = √V(X).
5. Retour au stand d'Aïssatou
Notons X le gain net du joueur (ce qu'il reçoit moins les 500 GNF payés) :
- 6 : X = 2 000 - 500 = 1 500, probabilité 16 ;
- 5 : X = 1 000 - 500 = 500, probabilité 16 ;
- 1, 2, 3 ou 4 : X = -500, probabilité 46.
| xi (GNF) | -500 | 500 | 1 500 |
|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 46 | 16 | 16 |
E(X) = -500 × 46 + 500 × 16 + 1 500 × 16 = -2 000 + 500 + 1 5006 = 0.
Le jeu est équitable : le directeur sera satisfait. Sur un grand nombre de parties, le stand ne gagne ni ne perd d'argent en moyenne.
3Je retiens
Je retiens
Univers Ω : ensemble des éventualités ; événement : partie de Ω ; A et B incompatibles si A ∩ B = ∅.
0 ≤ p(A) ≤ 1 ; p(Ω) = 1 ; p(Ā) = 1 − p(A).
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ; si A et B sont incompatibles, p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
Équiprobabilité : p(A) = card(A)/card(Ω) = cas favorables / cas possibles.
Loi d'une variable aléatoire X : valeurs x_i et probabilités p_i, avec Σ p_i = 1.
Espérance : E(X) = Σ x_i p_i ; jeu équitable si E(X) = 0.
Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² ; écart type σ(X) = √V(X).
4Erreurs fréquentes
- Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est toujours le signe d'une erreur de calcul ou de dénombrement.
- Additionner p(A) et p(B) sans retirer p(A ∩ B) alors que A et B ne sont pas incompatibles.
- Dénombrer Ω avec des combinaisons et les cas favorables avec des arrangements (ou l'inverse) : il faut le même modèle.
- Oublier la mise dans le calcul du gain : le gain NET est ce qu'on reçoit moins ce qu'on a payé.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements A : « obtenir un multiple de 3 » et B : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ».
a) Écris A, B, A et A ∩ B sous forme d'ensembles.
b) A et B sont-ils incompatibles ? Calcule p(A ∪ B).
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a) A = {3 ; 6} ; B = {1 ; 2} ; A = {1 ; 2 ; 4 ; 5} ; A ∩ B = ∅.
b) A ∩ B = ∅ : ils sont incompatibles. Donc p(A ∪ B) = p(A) + p(B) = 26 + 26 = 46 = 23.
2Exercice 2
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on note les côtés obtenus (P pour pile, F pour face).
a) Combien l'univers compte-t-il d'éventualités ?
b) Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux fois face, puis au moins une fois face.
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a) Chaque lancer a 2 résultats : 23 = 8 éventualités (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF), toutes équiprobables.
b) Exactement deux F : PFF, FPF, FFP, soit 3 cas : probabilité 38.
Au moins un F : contraire de « PPP » : 1 - 18 = 78.
3Exercice 3
A et B sont deux événements tels que p(A) = 0,5, p(B) = 0,3 et p(A ∩ B) = 0,1. Calcule p(A), p(A ∪ B) et la probabilité qu'aucun des deux événements ne se réalise.
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p(A) = 1 - 0,5 = 0,5.
p(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 - 0,1 = 0,7.
« Aucun des deux » est le contraire de A ∪ B : 1 - 0,7 = 0,3.
4Exercice 4
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Calcule la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur, puis deux boules de couleurs différentes.
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a) C102 = 10 × 92 = 45 tirages équiprobables.
b) Même couleur : deux blanches (C42 = 6) ou deux noires (C62 = 15), cas incompatibles : 6 + 15 = 21 cas. Probabilité : 2145 = 715.
Couleurs différentes : c'est le contraire, donc 1 - 715 = 815. Contrôle : C41 × C61 = 24 et 2445 = 815.
5Exercice 5
On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert, et on fait la somme des points.
a) Combien y a-t-il de résultats possibles (couples de points) ?
b) Calcule la probabilité que la somme soit égale à 7, puis qu'elle soit égale à 12.
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a) 6 × 6 = 36 couples équiprobables.
b) Somme 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), soit 6 cas : 636 = 16.
Somme 12 : seulement (6,6) : 136.
6Exercice 6
(Type examen) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 3 jetons marqués 1 000 GNF, 2 jetons marqués 5 000 GNF et 5 jetons blancs (0 GNF). Un joueur tire simultanément 2 jetons et gagne la somme inscrite sur ces jetons. On note X cette somme.
a) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
b) Détermine la loi de probabilité de X.
c) Calcule l'espérance de X.
d) La participation coûte 3 000 GNF. Le jeu est-il favorable au joueur ?
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a) Nombre total de tirages : C102 = 45. Les valeurs possibles de X sont : 0 (deux blancs), 1 000 (un jeton de 1 000 et un blanc), 2 000 (deux jetons de 1 000), 5 000 (un jeton de 5 000 et un blanc), 6 000 (un de 1 000 et un de 5 000), 10 000 (deux jetons de 5 000).
b) Nombre de cas :
- X = 0 : C52 = 10 ;
- X = 1 000 : 3 × 5 = 15 ;
- X = 2 000 : C32 = 3 ;
- X = 5 000 : 2 × 5 = 10 ;
- X = 6 000 : 3 × 2 = 6 ;
- X = 10 000 : C22 = 1.
Contrôle : 10 + 15 + 3 + 10 + 6 + 1 = 45.
| xi (GNF) | 0 | 1 000 | 2 000 | 5 000 | 6 000 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 1045 | 1545 | 345 | 1045 | 645 | 145 |
c) E(X) = 0 + 15 000 + 6 000 + 50 000 + 36 000 + 10 00045 = 117 00045 = 2 600 GNF.
d) Le gain net moyen est 2 600 - 3 000 = -400 GNF par partie. Le jeu est défavorable au joueur : en moyenne, il perd 400 GNF à chaque partie.
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6Je vérifie
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