Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 23
La statistique
Je sais organiser une série statistique, calculer ses paramètres de position (mode, moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, variance, écart type) et les interpréter.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Organiser une série en tableau (effectifs, fréquences, effectifs cumulés) et la représenter
- Calculer le mode, la moyenne, la médiane et les quartiles d'une série discrète ou regroupée en classes
- Calculer la variance et l'écart type
- Comparer deux séries à l'aide de leurs paramètres
Avant de commencer : Le calcul de moyennes et de pourcentages (collège), la notion de fréquence, l'usage de la calculatrice.
1Je découvre
Monsieur Camara, professeur de mathématiques dans un lycée de Kindia, vient de corriger le devoir de sa classe de 12e. Il a relevé les notes sur 20 de 20 élèves (série prise comme exemple pour la leçon) :
| Note xi | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ni | 2 | 5 | 6 | 4 | 3 |
Le proviseur lui demande : « Comment la classe a-t-elle réussi ? » Donner les 20 notes une à une n'est pas une réponse claire. Le professeur veut résumer la série par quelques nombres : une valeur qui indique le niveau moyen de la classe, et une autre qui indique si les notes sont regroupées ou au contraire très étalées.
Son collègue d'une autre classe annonce la même moyenne, mais avec des notes qui vont de 2 à 19. Les deux classes ont-elles vraiment le même profil ?
Quels nombres permettent de résumer une série statistique, et comment les calculer et les interpréter ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
- La population est l'ensemble étudié (les élèves de la classe) ; chaque élément est un individu.
- Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe : il est quantitatif (une note, une taille) ou qualitatif (une couleur, une région).
- Un caractère quantitatif est discret s'il prend des valeurs isolées (nombre d'enfants) et continu s'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (on regroupe alors les valeurs en classes [a ; b[).
- L'effectif ni d'une valeur est le nombre d'individus qui ont cette valeur ; l'effectif total est N = Σ ni.
- La fréquence d'une valeur est fi = niN (entre 0 et 1, ou en pourcentage). La somme des fréquences vaut 1.
- L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à celle-ci.
Pour représenter une série, on utilise un diagramme en bâtons (caractère discret), un histogramme (classes) ou un diagramme circulaire (caractère qualitatif).
2. Les paramètres de position
Le mode est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.
La moyenne : x = n1 x1 + n2 x2 + … + np xpN = 1NΣ ni xi, ou encore x = Σ fi xi.
Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre a + b2.
La médiane Me partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à Me et au moins la moitié sont supérieures ou égales.
- Si N est impair, Me est la valeur de rang N + 12.
- Si N est pair, Me est la moyenne des valeurs de rangs N2 et N2 + 1.
Les quartiles.
- Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : c'est la valeur dont le rang est le premier entier supérieur ou égal à N4.
- Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : rang = premier entier supérieur ou égal à 3N4.
La moitié centrale de la série est comprise entre Q1 et Q3.
Exemple
Calculer le mode, la moyenne, la médiane et les quartiles de la série des notes (N = 20).
Mode : 12 (effectif 6, le plus grand).
Moyenne : (2 × 8 + 5 × 10 + 6 × 12 + 4 × 14 + 3 × 16)/20 = (16 + 50 + 72 + 56 + 48)/20 = 242/20 = 12,1.
Effectifs cumulés croissants : 2 ; 7 ; 13 ; 17 ; 20.
Médiane : N = 20 est pair ; on prend les valeurs de rangs 10 et 11. Les rangs 8 à 13 correspondent à la note 12, donc Me = (12 + 12)/2 = 12.
Q1 : N/4 = 5, rang 5. Les rangs 3 à 7 ont la note 10, donc Q1 = 10.
Q3 : 3N/4 = 15, rang 15. Les rangs 14 à 17 ont la note 14, donc Q3 = 14.
3. Les paramètres de dispersion
- L'étendue : plus grande valeur − plus petite valeur.
- L'écart interquartile : Q3 - Q1 (largeur de la moitié centrale de la série).
- La variance : moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V = 1NΣ ni (xi - x)2 = 1NΣ ni xi2 - x2.
- L'écart type : σ = √V. Il s'exprime dans la même unité que les valeurs.
Plus l'écart type est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne ; plus il est grand, plus elles sont dispersées. La deuxième formule de la variance (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ») est souvent plus rapide.
Méthode
Pour calculer la moyenne, la variance et l'écart type d'une série :
- Je complète le tableau avec les colonnes n_i x_i et n_i x_i² (pour des classes, x_i est le centre de la classe).
- Je calcule la moyenne : x̄ = (Σ n_i x_i)/N.
- Je calcule la variance : V = (Σ n_i x_i²)/N − x̄².
- Je calcule l'écart type σ = √V et j'arrondis à la fin seulement.
- Je vérifie à la calculatrice (mode statistique) et j'interprète : moyenne = niveau, écart type = dispersion.
Exemple
Calculer la variance et l'écart type de la série des notes.
Σ n_i x_i² = 2 × 64 + 5 × 100 + 6 × 144 + 4 × 196 + 3 × 256 = 128 + 500 + 864 + 784 + 768 = 3 044.
V = 3 044/20 − 12,1² = 152,2 − 146,41 = 5,79.
σ = √5,79 ≈ 2,41.
Interprétation : en moyenne, les notes s'écartent d'environ 2,4 points de la moyenne 12,1 : la classe est assez homogène.
4. Séries regroupées en classes
Pour une série en classes, la moyenne et l'écart type se calculent avec les centres des classes. La classe modale est celle de plus grand effectif. La médiane s'estime par interpolation linéaire dans la classe qui contient la valeur de rang N2.
Exemple
Durée du trajet domicile-lycée de 30 élèves (en minutes) : [0 ; 10[ : 4 ; [10 ; 20[ : 10 ; [20 ; 30[ : 12 ; [30 ; 40[ : 4.
Centres : 5, 15, 25, 35. Moyenne : (4 × 5 + 10 × 15 + 12 × 25 + 4 × 35)/30 = (20 + 150 + 300 + 140)/30 = 610/30 ≈ 20,3 min.
Classe modale : [20 ; 30[.
Effectifs cumulés : 4 ; 14 ; 26 ; 30. La valeur de rang N/2 = 15 est dans [20 ; 30[, qui commence à l'effectif cumulé 14.
Interpolation : Me ≈ 20 + 10 × (15 − 14)/12 ≈ 20 + 0,83 ≈ 20,8 min.
5. Effet d'un changement de valeurs
Si on transforme chaque valeur par yi = a xi + b : y = a x + b et σy = |a| σx. Ajouter une constante décale la moyenne mais ne change pas l'écart type ; multiplier par a multiplie les deux.
6. Retour aux deux classes
La classe de Monsieur Camara a une moyenne de 12,1 et un écart type d'environ 2,4. Si l'autre classe a une moyenne voisine mais des notes de 2 à 19, son écart type sera beaucoup plus grand : les élèves y sont moins homogènes, avec à la fois de très bons et de grands besoins de soutien. La moyenne seule ne suffit jamais : il faut toujours un indicateur de dispersion.
3Je retiens
Je retiens
Fréquence : f_i = n_i / N ; la somme des fréquences vaut 1.
Moyenne : x̄ = (Σ n_i x_i)/N (centres des classes pour une série en classes).
Médiane : partage la série ordonnée en deux moitiés ; N pair : moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2 + 1.
Q1 : valeur de rang ≥ N/4 ; Q3 : valeur de rang ≥ 3N/4 (premier entier supérieur ou égal).
Variance : V = (Σ n_i x_i²)/N − x̄² ; écart type : σ = √V.
Si y = a x + b : ȳ = a x̄ + b et σ_y = |a| σ_x.
Position (moyenne, médiane) et dispersion (écart type, écart interquartile) se lisent toujours ensemble.
4Erreurs fréquentes
- Chercher la médiane sans avoir rangé les valeurs dans l'ordre croissant.
- Diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l'effectif total N pour calculer la moyenne.
- Oublier de retrancher x̄² dans la formule de la variance, ou prendre σ² pour l'écart type.
- Arrondir la moyenne trop tôt avant de calculer la variance : on garde la valeur exacte jusqu'au bout.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Voici les températures maximales relevées pendant 6 jours (série d'exemple) : 31, 27, 34, 30, 28, 36 (en °C).
Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue de cette série.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Somme : 31 + 27 + 34 + 30 + 28 + 36 = 186, donc x = 1866 = 31 °C.
Série rangée : 27 ; 28 ; 30 ; 31 ; 34 ; 36. N = 6 est pair : Me = 30 + 312 = 30,5 °C.
Étendue : 36 - 27 = 9 °C.
2Exercice 2
On a demandé à 25 élèves combien ils ont de frères et sœurs :
| Nombre xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ni | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
a) Calcule les fréquences en pourcentage et les effectifs cumulés croissants.
b) Donne le mode, la médiane, Q1 et Q3.
c) Calcule la moyenne, la variance et l'écart type (arrondi au centième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Fréquences : 325 = 12 \% ; 20 \% ; 32 \% ; 24 \% ; 12 \% (total 100 %). Effectifs cumulés : 3 ; 8 ; 16 ; 22 ; 25.
b) Mode : 2. N = 25 est impair : la médiane est la valeur de rang 13, qui se trouve dans les rangs 9 à 16, donc Me = 2.
N4 = 6,25 : rang 7, donc Q1 = 1. 3N4 = 18,75 : rang 19, qui est dans les rangs 17 à 22, donc Q3 = 3.
c) Σ ni xi = 0 + 5 + 16 + 18 + 12 = 51, donc x = 5125 = 2,04.
Σ ni xi2 = 0 + 5 + 32 + 54 + 48 = 139, donc V = 13925 - 2,042 = 5,56 - 4,1616 = 1,3984.
σ = √1,3984 ≈ 1,18.
3Exercice 3
Une coopérative de Kindia pèse 40 mangues (série d'exemple) :
| Masse (g) | [150 ; 200[ | [200 ; 250[ | [250 ; 300[ | [300 ; 350[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 14 | 16 | 4 |
a) Donne la classe modale.
b) Calcule la masse moyenne.
c) Détermine la médiane par interpolation linéaire.
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a) Classe modale : [250 ; 300[ (effectif 16).
b) Centres : 175 ; 225 ; 275 ; 325.
x = 6 × 175 + 14 × 225 + 16 × 275 + 4 × 32540 = 1 050 + 3 150 + 4 400 + 1 30040 = 9 90040 = 247,5 g.
c) Effectifs cumulés : 6 ; 20 ; 36 ; 40. N2 = 20 : l'effectif cumulé atteint exactement 20 à la fin de la classe [200 ; 250[.
Interpolation : Me = 200 + 50 × 20 - 614 = 200 + 50 = 250 g.
4Exercice 4
Dans une classe, la moyenne d'un devoir est 9,5 et l'écart type 3. Le professeur décide d'ajouter 1,5 point à chaque élève.
a) Quelle est la nouvelle moyenne ? le nouvel écart type ?
b) Il envisage plutôt de multiplier chaque note par 1,2. Que deviennent la moyenne et l'écart type ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) y = x + 1,5 : nouvelle moyenne 9,5 + 1,5 = 11 ; l'écart type ne change pas : 3.
b) y = 1,2 x : moyenne 1,2 × 9,5 = 11,4 ; écart type 1,2 × 3 = 3,6 (les notes s'étalent davantage).
5Exercice 5
(Type examen) Deux groupes de 5 élèves ont obtenu les notes suivantes :
Groupe 1 : 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13.
Groupe 2 : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17.
a) Calcule la moyenne et la médiane de chaque groupe.
b) Calcule la variance et l'écart type de chaque groupe.
c) Rédige une phrase qui compare les deux groupes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Groupe 1 : x1 = 555 = 11 et Me1 = 11. Groupe 2 : x2 = 555 = 11 et Me2 = 11.
b) Groupe 1 : écarts à la moyenne -2, -1, 0, 1, 2 ; V1 = 4 + 1 + 0 + 1 + 45 = 2 ; σ1 = √2 ≈ 1,41.
Groupe 2 : écarts -6, -3, 0, 3, 6 ; V2 = 36 + 9 + 0 + 9 + 365 = 18 ; σ2 = √18 = 3√2 ≈ 4,24.
c) Les deux groupes ont la même moyenne et la même médiane (11), mais l'écart type du groupe 2 est trois fois plus grand : ses notes sont beaucoup plus dispersées. Le groupe 1 est homogène ; le groupe 2 mêle des élèves en difficulté et de très bons élèves.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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