Le mouvement circulaire uniforme

1. Définition

Un point M est animé d'un mouvement circulaire uniforme (MCU) si :

• sa trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle) de centre O et de rayon R ;
• la valeur de sa vitesse est constante : v = constante.

Attention : le vecteur vitesse n'est pas constant. Sa norme ne change pas, mais sa direction tourne avec le point (il reste tangent au cercle). C'est pour cela qu'il y a une accélération.

2. Repérer le point : abscisse curviligne et abscisse angulaire

On choisit une origine M₀ sur le cercle et un sens positif de rotation.

• L'abscisse curviligne s est la longueur algébrique de l'arc oversetfrownM₀M (en m).
• L'abscisse angulaire θ est l'angle orienté (overrightarrowOM₀, overrightarrowOM), en radians (rad).

Les deux sont reliées par la longueur de l'arc :

s = R θ (θ obligatoirement en radians).

Rappel : un tour complet vaut 2π rad, donc 360° = 2π rad et 1 rad ≈ 57,3°.

3. Vitesse angulaire et vitesse linéaire

La vitesse angulaire ω est l'angle balayé par unité de temps :

ω = dθdt, en rad·s^-1.

La vitesse linéaire v = dsdt est la vitesse du point sur le cercle. Comme s = Rθ avec R constant :

v = R ω.

Dans un MCU, ω est constante. En intégrant, on obtient l'équation horaire angulaire :

θ(t) = ω t + θ₀ et de même s(t) = v t + s₀.

Cette relation explique l'observation de Kadiatou : la courroie a la même vitesse linéaire v sur les deux poulies, donc R₁ω₁ = R₂ω₂. La poulie de petit rayon tourne avec la plus grande vitesse angulaire.

4. Période et fréquence

Le MCU est périodique : le point repasse à la même position après chaque tour.

• La période T est la durée d'un tour (en s) : T = 2πω.
• La fréquence N (ou f) est le nombre de tours par seconde (en hertz, Hz, ou tr/s) : N = 1T = ω2π.

Donc ω = 2π N = 2πT.

Les vitesses de rotation des moteurs sont souvent données en tours par minute (tr/min). Pour convertir : N (tr/s) = N (tr/min)60, puis ω = 2π N.

5. L'accélération du MCU : accélération centripète

Dans le repère de Frenet, a = dvdt tau + v²R n. Dans un MCU, v est constante, donc dvdt = 0 :

a = v²R n.

Le vecteur accélération d'un MCU est :

• normal à la trajectoire (perpendiculaire à v) ;
• dirigé vers le centre O du cercle : on dit qu'il est centripète ;
• de valeur constante : a = v²R = R ω² = v ω.

On peut aussi écrire a = -ω² overrightarrowOM.

C'est le changement de direction de la vitesse qui crée cette accélération. Pour la produire, il faut une force dirigée vers le centre (la meule qui retient le grain, la tension d'une corde, le frottement des pneus dans un virage, l'attraction de la Terre pour un satellite). Si cette force disparaît, l'objet part en ligne droite selon la tangente, comme le grain de mil.

6. Projection du MCU : lien avec le mouvement sinusoïdal

Plaçons l'origine au centre O et prenons θ₀ = varphi. Les coordonnées de M sont :

x = Rcos(ω t + varphi) et y = Rsin(ω t + varphi).

La projection d'un MCU sur un diamètre est donc un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude R et de même pulsation ω. C'est ce qu'on voit quand on regarde de profil une roue tournante munie d'une marque : la marque monte et descend de façon sinusoïdale.