Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 33
Le mouvement circulaire non uniforme
Je sais étudier un mouvement circulaire dont la vitesse varie, en particulier le mouvement circulaire uniformément varié, et calculer ses accélérations tangentielle et normale.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'accélération angulaire et la relier à l'accélération tangentielle
- Établir et utiliser les équations horaires du mouvement circulaire uniformément varié
- Calculer les accélérations tangentielle et normale et la norme de l'accélération
- Déterminer un nombre de tours, une durée de démarrage ou de freinage
Avant de commencer : Les leçons « Le mouvement circulaire uniforme » (θ, ω, v = Rω, a = v²/R) et « Les mouvements rectilignes » (équations du mouvement uniformément varié).
1Je découvre
À l'atelier de soudure de Mamadou, à Boké, la meuleuse est posée sur l'établi. Quand il appuie sur l'interrupteur, le disque ne passe pas instantanément à sa vitesse de travail : il accélère pendant une ou deux secondes. Quand il relâche, le disque continue de tourner un bon moment en ralentissant, avant de s'arrêter.
Son apprenti Sékou, qui prépare le BAC, observe les étincelles : elles partent tangentiellement au disque, comme les grains de mil du moulin. Mais il se demande : « Pendant le démarrage, la vitesse de rotation change. Le mouvement est circulaire, mais il n'est plus uniforme. L'accélération est-elle encore dirigée vers le centre ? Combien de tours le disque fait-il avant de s'arrêter ? »
Comment décrire un mouvement circulaire dont la vitesse varie, et comment calculer son accélération, sa durée de démarrage ou de freinage et le nombre de tours effectués ?
2Je comprends
1. Définition et accélération angulaire
Un mouvement est circulaire non uniforme si la trajectoire est un cercle de rayon R mais si la valeur de la vitesse varie : v et ω changent avec le temps. Le vecteur vitesse change alors en valeur et en direction.
Pour décrire la variation de la vitesse angulaire, on définit l'accélération angulaire :
ddotθ = dωdt = d2θdt2, en rad·s-2.
On la note souvent ddotθ ou α. Si ddotθ et ω ont le même signe, la rotation accélère ; s'ils ont des signes contraires, elle ralentit.
2. Les deux composantes de l'accélération
On reprend le repère de Frenet (M ; tau,n) vu dans la leçon sur les vecteurs cinématiques :
a = at tau + an n.
- Accélération tangentielle : at = dvdt = d(Rω)dt = R ddotθ. Elle traduit la variation de la valeur de la vitesse.
- Accélération normale : an = v2R = R ω2. Elle traduit la variation de la direction de la vitesse ; elle est toujours dirigée vers le centre.
- Norme : a = √at2 + an2.
Dans un mouvement circulaire non uniforme, a n'est donc plus dirigé vers le centre : il fait avec le rayon MO un angle β tel que tanβ = atan.
- ω constante
- a_t = 0
- a_n = Rω², constante
- a dirigée vers le centre
- ω varie
- a_t = R·θ̈ ≠ 0
- a_n = Rω², variable
- a inclinée par rapport au rayon
3. Le mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)
Un mouvement circulaire est uniformément varié si l'accélération angulaire est constante : ddotθ = constante. C'est le cas d'une meule qui démarre ou freine « régulièrement ».
Les équations sont les mêmes que pour le mouvement rectiligne uniformément varié, en remplaçant x par θ, v par ω et a par ddotθ :
| Mouvement rectiligne uniformément varié | Mouvement circulaire uniformément varié |
|---|---|
| a = constante | ddotθ = constante |
| v = a t + v0 | ω = ddotθ t + ω0 |
| x = 12a t2 + v0 t + x0 | θ = 12ddotθ t2 + ω0 t + θ0 |
| v2 - v02 = 2a(x - x0) | ω2 - ω02 = 2ddotθ (θ - θ0) |
On passe à l'abscisse curviligne en multipliant par R : s = Rθ, v = Rω, at = Rddotθ.
Pour compter les tours : nombre de tours n = θ - θ02π.
Remarque utile : dans tout MCUV, l'angle parcouru vaut aussi Δθ = ω0 + ω2 Δ t (vitesse angulaire moyenne multipliée par la durée).
Méthode
Pour résoudre un exercice de mouvement circulaire uniformément varié :
- Je convertis toutes les vitesses de rotation en rad/s (tr/min ÷ 60 × 2π).
- Je fixe l'origine des dates et des angles, et j'écris ω₀ et θ₀.
- Je calcule l'accélération angulaire : θ̈ = Δω / Δt (négative en cas de freinage si ω > 0).
- J'écris ω(t) et θ(t) ; si la durée n'est ni donnée ni demandée, j'utilise ω² − ω₀² = 2θ̈(θ − θ₀).
- Je convertis l'angle en tours (÷ 2π) si on me demande un nombre de tours.
- Pour un point à la distance R de l'axe : a_t = Rθ̈, a_n = Rω², a = √(a_t² + a_n²).
Exemple
Un ventilateur de plafond démarre du repos et atteint 240 tr/min en 5,0 s, avec une accélération angulaire constante. Calculer θ̈, le nombre de tours pendant le démarrage, puis l'accélération d'un point situé à 50 cm de l'axe à t = 2,0 s.
Vitesse finale : N = 240 / 60 = 4,0 tr/s, ω = 2π × 4,0 = 8π ≈ 25,1 rad/s.
Accélération angulaire : θ̈ = (25,1 − 0) / 5,0 ≈ 5,03 rad/s².
Angle parcouru : θ = ½ θ̈ t² = ½ × 5,03 × 5,0² ≈ 62,8 rad, soit 62,8 / 2π = 10 tours.
Vérification : θ = (0 + 25,1)/2 × 5,0 ≈ 62,8 rad.
À t = 2,0 s : ω = 5,03 × 2,0 ≈ 10,1 rad/s.
a_t = R θ̈ = 0,50 × 5,03 ≈ 2,5 m/s².
a_n = R ω² = 0,50 × 10,1² ≈ 50,5 m/s².
a = √(2,5² + 50,5²) ≈ 50,6 m/s². Dès que la rotation est rapide, l'accélération normale domine.
Exemple
Le disque de la meuleuse de Mamadou tourne à ω₀ = 30 rad/s quand on coupe le courant. Il s'arrête en 20 s, avec une décélération angulaire constante. Combien de tours fait-il pendant l'arrêt ?
θ̈ = (0 − 30) / 20 = −1,5 rad/s² (négative : la rotation ralentit).
θ = ½ θ̈ t² + ω₀ t = ½ × (−1,5) × 20² + 30 × 20 = −300 + 600 = 300 rad.
Nombre de tours : 300 / (2π) ≈ 47,7 tours.
Contrôle avec ω² − ω₀² = 2θ̈θ : 0 − 900 = 2 × (−1,5) × θ, donc θ = 900 / 3 = 300 rad. C'est cohérent.
4. Cas général
Si la loi θ(t) n'est pas du second degré (par exemple θ = 2t3), le mouvement est circulaire non uniforme sans être uniformément varié. La méthode reste la même : on dérive pour obtenir ω(t) = dotθ et ddotθ(t), puis on calcule at = Rddotθ et an = Rω2 à la date demandée.
Exemple
Un point décrit un cercle de rayon R = 0,40 m avec θ = 2t³ (SI). Calculer v, a_t, a_n et a à t = 1,0 s.
ω = dθ/dt = 6t² ; θ̈ = dω/dt = 12t.
À t = 1,0 s : ω = 6,0 rad/s ; θ̈ = 12 rad/s².
v = R ω = 0,40 × 6,0 = 2,4 m/s.
a_t = R θ̈ = 0,40 × 12 = 4,8 m/s².
a_n = R ω² = 0,40 × 36 = 14,4 m/s².
a = √(4,8² + 14,4²) = √(23,04 + 207,36) = √230,4 ≈ 15,2 m/s².
Remarque de série : ce chapitre est surtout exigé en SM. En SE, retiens au minimum la distinction entre accélération tangentielle et normale et les équations du MCUV, qui resserviront pour le solide en rotation.
3Je retiens
Je retiens
Mouvement circulaire non uniforme : trajectoire circulaire, v et ω variables.
Accélération angulaire : θ̈ = dω/dt, en rad·s⁻².
a_t = dv/dt = R θ̈ (variation de la valeur) ; a_n = v²/R = R ω² (variation de la direction) ; a = √(a_t² + a_n²).
MCUV : θ̈ constante ; ω = θ̈ t + ω₀ ; θ = ½ θ̈ t² + ω₀ t + θ₀ ; ω² − ω₀² = 2 θ̈ (θ − θ₀).
Nombre de tours : n = Δθ / 2π.
θ̈ et ω de même signe : rotation accélérée ; de signes contraires : rotation ralentie.
4Erreurs fréquentes
- Dire que l'accélération est dirigée vers le centre : c'est vrai seulement si a_t = 0 (mouvement uniforme). Sinon, a est inclinée.
- Oublier la composante normale : même pendant un démarrage, a_n = Rω² existe dès que ω ≠ 0.
- Confondre l'angle en radians et le nombre de tours : 300 rad ne font pas 300 tours mais environ 47,7.
- Mélanger tr/min et rad/s dans une même formule.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une roue passe de 0 à 20 rad/s en 4,0 s avec une accélération angulaire constante.
a) Calcule ddotθ.
b) Calcule l'angle parcouru et le nombre de tours.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ddotθ = 20 - 04,0 = 5,0 rad/s².
b) θ = 12 × 5,0 × 4,02 = 40 rad ; n = 402π ≈ 6,4 tours.
2Exercice 2
Un point est à 0,20 m de l'axe d'un disque. À un instant donné, ω = 10 rad/s et ddotθ = 5,0 rad/s².
a) Calcule v, at, an et a.
b) Calcule l'angle β entre a et le rayon.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v = Rω = 0,20 × 10 = 2,0 m/s ; at = Rddotθ = 0,20 × 5,0 = 1,0 m/s² ; an = Rω2 = 0,20 × 100 = 20 m/s² ; a = √1,02 + 202 = √401 ≈ 20,0 m/s².
b) tanβ = atan = 1,020 = 0,05, donc β ≈ 2,9° : l'accélération est presque dirigée vers le centre.
3Exercice 3
Un moteur tournant à 3 000 tr/min s'arrête après avoir effectué 500 tours, avec une décélération angulaire constante.
a) Convertis la vitesse initiale en rad/s.
b) Calcule l'accélération angulaire.
c) Calcule la durée de l'arrêt.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) N = 3 00060 = 50 tr/s ; ω0 = 2π × 50 = 100π ≈ 314 rad/s.
b) Δθ = 500 × 2π = 1 000π rad. 0 - ω02 = 2ddotθ Δθ, donc ddotθ = -(100π)22 × 1 000π = -10 000π22 000π = -5π ≈ -15,7 rad/s².
c) 0 = ddotθ t + ω0, donc t = 100π5π = 20 s.
4Exercice 4
Un point décrit un cercle de rayon R = 1,5 m selon θ(t) = t2 + 2t (SI).
a) Justifie que le mouvement est circulaire uniformément varié.
b) Donne ω0 et ddotθ.
c) Calcule v et a à t = 2,0 s.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ω = dotθ = 2t + 2 et ddotθ = 2 rad/s², constante : le mouvement est circulaire uniformément varié (accéléré, car ω et ddotθ sont positifs).
b) ω0 = 2 rad/s ; ddotθ = 2 rad/s².
c) À t = 2,0 s : ω = 6,0 rad/s ; v = 1,5 × 6,0 = 9,0 m/s. at = 1,5 × 2 = 3,0 m/s² ; an = 1,5 × 36 = 54 m/s² ; a = √9 + 2 916 = √2 925 ≈ 54,1 m/s².
5Exercice 5
(Type examen) Une poulie de puits, de rayon R = 10 cm, sert à remonter un seau. La corde s'enroule sans glisser. Partant du repos, le seau monte avec une accélération constante de 0,50 m/s² pendant 4,0 s, puis à vitesse constante.
a) Calcule l'accélération angulaire de la poulie pendant la première phase.
b) Calcule la vitesse du seau et la vitesse angulaire de la poulie à t = 4,0 s.
c) Calcule le nombre de tours de la poulie pendant la première phase et la hauteur dont le seau est monté.
d) Calcule l'accélération d'un point de la gorge de la poulie à t = 4,0 s, juste avant la fin de la phase accélérée.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La corde ne glisse pas : l'accélération du seau est égale à l'accélération tangentielle d'un point de la gorge, at = Rddotθ. ddotθ = 0,500,10 = 5,0 rad/s².
b) v = a t = 0,50 × 4,0 = 2,0 m/s ; ω = vR = 2,00,10 = 20 rad/s (ou ω = 5,0 × 4,0 = 20 rad/s).
c) θ = 12 × 5,0 × 16 = 40 rad, soit 402π ≈ 6,4 tours. Hauteur : h = Rθ = 0,10 × 40 = 4,0 m (on vérifie : 12 × 0,50 × 16 = 4,0 m).
d) at = 0,50 m/s² ; an = Rω2 = 0,10 × 400 = 40 m/s² ; a = √0,25 + 1 600 ≈ 40,0 m/s².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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