Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 33
La dispersion de la lumière
Je sais expliquer la décomposition de la lumière blanche par un prisme et calculer la déviation d'un rayon avec les formules du prisme.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire et interpréter la décomposition de la lumière blanche par un prisme
- Distinguer lumière monochromatique et lumière polychromatique
- Établir et utiliser les formules du prisme, y compris au minimum de déviation
- Relier la dispersion à la variation de l'indice avec la couleur et expliquer l'arc-en-ciel
Avant de commencer : La leçon « La réfraction de la lumière » (loi de Snell-Descartes, angle limite, réflexion totale) et la somme des angles d'un triangle et d'un quadrilatère.
1Je découvre
En août, pendant la saison des pluies à Labé, une averse s'arrête brusquement et le soleil de l'après-midi réapparaît. Face aux collines, Alpha voit un grand arc coloré dans le ciel : rouge à l'extérieur, violet à l'intérieur, avec toutes les couleurs entre les deux. Le même jour, au lycée, son professeur de physique fait passer un mince faisceau de lumière du soleil à travers un morceau de verre taillé en forme de prisme : sur le mur apparaît la même bande de couleurs.
Alpha s'étonne : la lumière du soleil paraît blanche, sans couleur. D'où viennent donc ces couleurs ? Le verre et les gouttes de pluie les fabriquent-ils, ou bien étaient-elles déjà cachées dans la lumière blanche ?
Comment un prisme décompose-t-il la lumière blanche, et comment calculer la déviation qu'il fait subir à un rayon lumineux ?
2Je comprends
1. L'expérience de Newton
Au XVIIᵉ siècle, Isaac Newton fait passer un faisceau étroit de lumière solaire à travers un prisme de verre. Sur un écran, il observe une bande colorée continue allant du rouge au violet, en passant par l'orange, le jaune, le vert, le bleu et l'indigo : c'est le spectre de la lumière blanche.
Il fait ensuite deux observations décisives :
- s'il isole une seule couleur (par une fente) et la fait passer dans un second prisme, elle est déviée mais n'est plus décomposée ;
- si l'on superpose toutes les couleurs du spectre (avec une lentille, ou en faisant tourner très vite un disque peint des différentes couleurs), on retrouve du blanc.
Conclusion : le prisme ne crée pas les couleurs, il les sépare. La lumière blanche est un mélange de lumières colorées.
- 1Un faisceau étroit de lumière blanche (soleil ou lampe) arrive sur la face d'un prisme de verre.
- 2Il est réfracté une première fois en entrant dans le verre, puis une seconde fois en sortant.
- 3Chaque couleur est déviée d'un angle différent : le rouge le moins, le violet le plus.
- 4Sur l'écran apparaît un spectre continu, du rouge au violet.
- 5Une couleur isolée, envoyée dans un second prisme, n'est plus décomposée : elle est monochromatique.
2. Lumière monochromatique et lumière polychromatique
- Une lumière monochromatique ne contient qu'une seule radiation : elle n'est pas décomposée par un prisme. Exemple : la lumière d'un laser.
- Une lumière polychromatique est un mélange de plusieurs radiations. Exemple : la lumière blanche du soleil ou d'une lampe à incandescence.
Chaque radiation est caractérisée par sa longueur d'onde dans le vide λ (tu l'étudieras en détail avec les ondes). Pour l'œil humain, le domaine visible s'étend environ de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge) (1 nm = 10-9 m). Au-delà du rouge se trouve l'infrarouge, en deçà du violet l'ultraviolet, tous deux invisibles.
3. Le prisme : description
Un prisme est un milieu transparent limité par deux faces planes non parallèles.
- La droite commune aux deux faces est l'arête du prisme.
- L'angle A entre les deux faces est l'angle du prisme.
- La face opposée à l'arête est la base.
- On travaille dans une section principale, un plan perpendiculaire à l'arête, qui contient le rayon incident.
4. Les formules du prisme
Notons n l'indice du prisme placé dans l'air. En I (entrée) : angle d'incidence i, angle de réfraction r. En J (sortie) : angle d'incidence r' dans le verre, angle d'émergence i' dans l'air.
On démontre, avec les lois de Descartes et la géométrie du triangle formé par l'arête et les deux normales, les quatre formules du prisme :
sin i = n sin r ; sin i' = n sin r' ; A = r + r' ; D = i + i' - A
où D est la déviation, l'angle entre la direction du rayon incident et celle du rayon émergent. Le rayon est toujours dévié vers la base du prisme.
Méthode
Pour calculer la déviation d'un rayon par un prisme :
- Première face : sin r = sin i / n, j'en déduis r.
- J'en déduis r' = A − r.
- Je vérifie que r' est inférieur à l'angle limite λ (sin λ = 1/n) ; sinon, il y a réflexion totale sur la deuxième face et aucun rayon ne sort.
- Deuxième face : sin i' = n sin r', j'en déduis i'.
- Déviation : D = i + i' − A.
Exemple
Un prisme d'angle A = 60° et d'indice n = 1,5 reçoit un rayon sous une incidence i = 45°. Calculer la déviation.
sin r = sin 45° / 1,5 = 0,707 / 1,5 = 0,471, donc r ≈ 28,1°.
r' = A − r = 60° − 28,1° = 31,9°.
Angle limite : sin λ = 1/1,5, λ ≈ 41,8° ; r' < λ, le rayon ressort.
sin i' = 1,5 × sin 31,9° = 1,5 × 0,528 = 0,792, donc i' ≈ 52,4°.
D = i + i' − A = 45° + 52,4° − 60° = 37,4°.
5. Le minimum de déviation
Quand on fait varier l'angle d'incidence, la déviation passe par une valeur minimale Dm. On montre qu'elle est obtenue quand le trajet est symétrique : i = i' et r = r' = A2. Alors Dm = 2i - A, donc i = A + Dm2, et la formule sin i = n sin r donne :
n = sin A + Dm2sin A2.
Cette relation permet de mesurer l'indice d'un verre au laboratoire : on mesure A et Dm avec un goniomètre.
Prisme de petit angle (en plus pour SM) : si A et i sont petits (moins d'une dizaine de degrés), on peut confondre le sinus et l'angle en radians, et l'on obtient D ≈ (n - 1)A.
Exemple
Un prisme d'angle A = 60° présente, pour une lumière jaune, un minimum de déviation Dm = 38,9°. Calculer l'indice du verre pour cette lumière.
(A + Dm) / 2 = (60° + 38,9°) / 2 = 49,45°.
n = sin 49,45° / sin 30° = 0,760 / 0,5 ≈ 1,52.
6. Pourquoi le prisme disperse-t-il la lumière ?
L'indice d'un milieu transparent dépend de la couleur (de la longueur d'onde) de la lumière. Pour le verre, l'indice est plus grand pour le violet que pour le rouge : nviolet > nrouge. D'après les formules du prisme, plus n est grand, plus la déviation est grande : le violet est le plus dévié, le rouge le moins dévié. C'est la dispersion de la lumière. Un milieu dont l'indice varie avec la longueur d'onde est dit dispersif.
En plus pour SM : dans le visible, l'indice d'un verre suit approximativement la loi de Cauchy n = a + bλ2, où a et b sont des constantes positives du verre : n diminue quand λ augmente.
Exemple
Un prisme d'angle 60° a pour indices n(rouge) = 1,51 et n(violet) = 1,53. Un rayon de lumière blanche arrive sous l'incidence i = 50°. Calculer la déviation du rouge et du violet.
Rouge : sin r = sin 50° / 1,51 = 0,766 / 1,51 = 0,507, r ≈ 30,5° ; r' = 29,5° ; sin i' = 1,51 × sin 29,5° = 0,744, i' ≈ 48,1° ; D ≈ 50° + 48,1° − 60° = 38,1°.
Violet : sin r = 0,766 / 1,53 = 0,501, r ≈ 30,0° ; r' ≈ 30,0° ; sin i' = 1,53 × 0,500 = 0,765, i' ≈ 49,8° ; D ≈ 39,8°.
Le violet est plus dévié que le rouge d'environ 1,7° : le faisceau blanc s'est étalé en éventail.
7. L'arc-en-ciel
Un arc-en-ciel apparaît quand le soleil est dans le dos de l'observateur et que des gouttes de pluie sont devant lui. Dans chaque goutte, la lumière subit une réfraction à l'entrée, une réflexion sur le fond de la goutte, puis une réfraction à la sortie. Comme l'indice de l'eau dépend de la couleur, chaque couleur ressort dans une direction un peu différente : les gouttes placées plus haut envoient du rouge vers l'œil, les plus basses envoient du violet. C'est pourquoi l'arc principal est rouge à l'extérieur et violet à l'intérieur.
3Je retiens
Je retiens
La lumière blanche est polychromatique : un prisme la décompose en un spectre continu du rouge au violet. Une lumière monochromatique (laser) n'est pas décomposée.
Domaine visible : environ 400 nm (violet) à 800 nm (rouge).
Formules du prisme : sin i = n sin r ; sin i' = n sin r' ; A = r + r' ; D = i + i' − A. Le rayon est dévié vers la base.
Minimum de déviation : i = i', r = r' = A/2 et n = sin((A + Dm)/2) / sin(A/2).
Dispersion : l'indice dépend de la couleur ; n(violet) > n(rouge), donc le violet est le plus dévié.
Arc-en-ciel : réfraction, réflexion puis réfraction dans les gouttes de pluie, soleil dans le dos.
4Erreurs fréquentes
- Croire que le prisme « colore » la lumière : il ne fait que séparer des couleurs déjà présentes dans la lumière blanche.
- Penser que le rouge est le plus dévié : c'est le violet, car l'indice du verre est plus grand pour le violet.
- Oublier de vérifier que r' est inférieur à l'angle limite : sinon il y a réflexion totale et la formule sin i' = n sin r' donne un sinus supérieur à 1.
- Écrire D = i + i' sans retrancher A, ou prendre r' = r en dehors du minimum de déviation.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète : « La lumière du soleil est une lumière ……… . Un prisme la ……… en un spectre ……… allant du ……… au ……… . La radiation la plus déviée est le ……… . La lumière d'un laser est ……… : elle n'est pas décomposée. »
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« La lumière du soleil est une lumière polychromatique. Un prisme la décompose en un spectre continu allant du rouge au violet. La radiation la plus déviée est le violet. La lumière d'un laser est monochromatique : elle n'est pas décomposée. »
2Exercice 2
Un prisme d'angle A = 30° et d'indice n = 1,5 reçoit un rayon perpendiculairement à sa première face.
a) Quelles sont les valeurs de i et r ?
b) Calcule r', puis l'angle d'émergence i'.
c) Calcule la déviation D.
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a) Incidence normale : i = 0, donc r = 0.
b) r' = A - r = 30°. sin i' = 1,5 × sin 30° = 1,5 × 0,5 = 0,75, donc i' ≈ 48,6° (r' = 30° est bien inférieur à l'angle limite 41,8°).
c) D = i + i' - A = 0 + 48,6° - 30° = 18,6°.
3Exercice 3
Un prisme d'angle 60° est taillé dans un verre d'indice 1,62 pour une certaine lumière.
a) Calcule l'angle d'incidence qui donne le minimum de déviation.
b) Calcule la déviation minimale Dm.
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a) Au minimum de déviation, r = A2 = 30° et sin i = n sin r = 1,62 × 0,5 = 0,81, donc i ≈ 54,1°.
b) Dm = 2i - A = 2 × 54,1° - 60° ≈ 48,2°.
4Exercice 4
Un prisme de petit angle A = 8° a pour indices nR = 1,51 (rouge) et nV = 1,53 (violet). On l'éclaire en lumière blanche, sous faible incidence.
a) Calcule la déviation du rouge et celle du violet (formule des petits angles).
b) Calcule l'étalement angulaire du spectre.
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a) DR = (nR - 1)A = 0,51 × 8° = 4,08° ; DV = (nV - 1)A = 0,53 × 8° = 4,24°.
b) Étalement : DV - DR = 4,24° - 4,08° = 0,16°.
5Exercice 5
(Problème de synthèse) Un prisme d'angle A = 60° et d'indice n = 1,5.
a) Calcule l'angle limite λ du verre.
b) Montre que, si r' > λ, aucun rayon ne sort par la deuxième face.
c) Un rayon arrive sous une incidence i = 20°. Calcule r puis r'. Le rayon sort-il par la deuxième face ?
d) Explique pourquoi, pour ce prisme, il existe une incidence minimale en dessous de laquelle aucun rayon n'émerge.
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a) sin λ = 11,5 = 0,667, donc λ ≈ 41,8°.
b) En J, la lumière va du verre vers l'air (milieu moins réfringent). Si l'angle d'incidence r' dépasse l'angle limite λ, il y a réflexion totale : aucun rayon ne sort par cette face.
c) sin r = sin 20°1,5 = 0,3421,5 = 0,228, donc r ≈ 13,2°. r' = 60° - 13,2° = 46,8°. Comme 46,8° > 41,8°, il y a réflexion totale : le rayon ne sort pas par la deuxième face.
d) Pour que le rayon sorte, il faut r' ≤ λ, c'est-à-dire r ≥ A - λ = 60° - 41,8° = 18,2°. Il faut donc une incidence assez grande : sin i ≥ 1,5 × sin 18,2° ≈ 0,469, soit i ≥ 28° environ. En dessous, aucun rayon n'émerge.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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