Karamö, le prof virtuelLeçon 29 sur 33
Les phénomènes vibratoires
Je sais reconnaître un phénomène vibratoire périodique, déterminer sa période et sa fréquence, décrire un mouvement sinusoïdal et utiliser un stroboscope ou un oscilloscope pour l'étudier.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un phénomène périodique, sa période T et sa fréquence N = 1/T
- Décrire une vibration sinusoïdale par son amplitude, sa pulsation et sa phase
- Interpréter l'immobilité apparente et le mouvement ralenti observés au stroboscope
- Mesurer une période à l'oscilloscope
Avant de commencer : Le mouvement circulaire uniforme (vitesse angulaire ω) et les fonctions sinus et cosinus.
1Je découvre
Lors d'une fête de mariage à Siguiri, Fatoumata observe le joueur de balafon. Quand il frappe une lame de bois, celle-ci tremble très vite, puis s'arrête ; plus la lame est courte, plus le son est aigu. Sur le djembé, la peau tendue vibre sous la main du batteur. Et le grand-père, assis sous le manguier, fait tourner doucement un chapelet qui oscille comme un pendule.
Dans tous ces cas, un objet effectue un mouvement de va-et-vient autour d'une position d'équilibre, qui se répète. Fatoumata remarque aussi que ces vibrations sont souvent trop rapides pour que l'œil puisse les suivre : on voit la lame du balafon « floue ».
Comment décrire et mesurer un mouvement qui se répète très vite, et comment « ralentir » ce que l'œil ne peut pas voir ?
2Je comprends
1. Phénomènes périodiques et vibratoires
Un phénomène est périodique s'il se reproduit identique à lui-même à intervalles de temps égaux. Exemples : la rotation de la Terre, le battement du cœur au repos, la rotation d'un ventilateur, les oscillations d'un pendule.
Un phénomène vibratoire (ou oscillatoire) est un mouvement périodique de va-et-vient d'un système autour d'une position d'équilibre : lame de balafon, corde de kora ou de guitare, membrane de djembé ou de haut-parleur, masse accrochée à un ressort.
- La période T est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit identique à lui-même. Elle s'exprime en secondes (s).
- La fréquence N (on note aussi f) est le nombre de périodes par seconde. Elle s'exprime en hertz (Hz).
N = 1T
Exemple : une corde qui vibre 440 fois par seconde a une fréquence de 440 Hz et une période T = 1440 ≈ 2,27 × 10-3 s, soit environ 2,3 ms.
Une vibration dont l'amplitude reste constante est dite entretenue ; si l'amplitude diminue au cours du temps (lame de balafon après le coup de mailloche), elle est amortie.
2. La vibration sinusoïdale
La vibration la plus simple, et la plus importante, est la vibration sinusoïdale. L'élongation y (écart par rapport à la position d'équilibre) varie au cours du temps selon :
y(t) = Ym sin(ω t + varphi) (ou avec un cosinus)
- Ym : amplitude (élongation maximale), en mètres ; y varie entre -Ym et +Ym ;
- ω : pulsation, en rad/s, avec ω = 2π N = 2πT ;
- ω t + varphi : phase à la date t, en radians ; varphi est la phase à l'origine (à t = 0).
Lien avec le mouvement circulaire uniforme : la projection sur un diamètre d'un point qui tourne à vitesse angulaire constante ω sur un cercle de rayon Ym effectue exactement une vibration sinusoïdale de pulsation ω. Un tour du point correspond à une période de la vibration.
Exemple
Une lame vibre selon y(t) = 3,0 × 10⁻³ sin(1 000 π t), avec y en mètres et t en secondes. Déterminer l'amplitude, la pulsation, la fréquence et la période, puis l'élongation à t = 0,50 ms.
Amplitude : Ym = 3,0 × 10⁻³ m = 3,0 mm.
Pulsation : ω = 1 000 π rad/s ≈ 3,14 × 10³ rad/s.
Fréquence : N = ω / 2π = 1 000 π / 2π = 500 Hz.
Période : T = 1 / N = 1 / 500 = 2,0 × 10⁻³ s = 2,0 ms.
À t = 0,50 ms = 5,0 × 10⁻⁴ s : phase = 1 000 π × 5,0 × 10⁻⁴ = 0,5 π rad, et sin(π/2) = 1.
Donc y = 3,0 mm : la lame est à son élongation maximale, un quart de période après le départ.
3. Comparer deux vibrations de même fréquence : le déphasage
Deux vibrations de même pulsation, y1 = Ym sin(ω t + varphi1) et y2 = Ym sin(ω t + varphi2), présentent un déphasage Δvarphi = varphi2 - varphi1.
- Δvarphi = 2kπ : elles sont en phase (elles passent en même temps par leurs maximums).
- Δvarphi = (2k + 1)π : elles sont en opposition de phase (quand l'une est au maximum, l'autre est au minimum).
- Δvarphi = π2 (à kπ près) : elles sont en quadrature.
Un décalage de temps θ entre les deux courbes correspond au déphasage |Δvarphi| = ω θ = 2π θT.
4. L'étude stroboscopique
Un stroboscope émet des éclairs très brefs, à une fréquence Ne réglable (période Te = 1Ne). On éclaire avec lui, dans l'obscurité, un objet qui vibre ou qui tourne à la fréquence N. L'œil ne voit l'objet qu'au moment des éclairs, et garde chaque image environ un dixième de seconde (persistance rétinienne).
Immobilité apparente. Si, entre deux éclairs, l'objet effectue exactement un nombre entier k de périodes, il est éclairé chaque fois dans la même position : il paraît immobile.
Te = k T, soit N = k Ne (k entier ≥ 1).
La plus grande fréquence des éclairs donnant l'immobilité apparente (avec une seule image) est Ne = N : c'est ainsi qu'on mesure N.
Mouvement apparent ralenti. Si Ne est légèrement inférieure à N, l'objet a effectué un peu plus d'une période entre deux éclairs : il semble avancer lentement dans le sens réel (mouvement ralenti direct). Si Ne est légèrement supérieure à N, il semble reculer lentement (mouvement ralenti rétrograde). Dans les deux cas, la fréquence du mouvement apparent vaut :
Na = |N - Ne|
Images multiples. Si Ne = 2N, on éclaire l'objet deux fois par période : on voit deux images immobiles (par exemple, pour un disque avec un seul rayon, deux rayons opposés).
- 1On règle le stroboscope sur une fréquence élevée, puis on la diminue lentement.
- 2On voit d'abord plusieurs images immobiles (Ne = 2N, 3N…) : on continue à diminuer.
- 3Pour Ne = N, on voit pour la première fois une seule image immobile : c'est la fréquence cherchée.
- 4Pour des fréquences plus faibles (Ne = N/2, N/3…), on revoit une seule image immobile.
Exemple
Un disque blanc portant un seul rayon noir tourne à 50 tours par seconde. Qu'observe-t-on quand on l'éclaire avec un stroboscope réglé sur 50 Hz, 25 Hz, 100 Hz, 49 Hz et 51 Hz ?
N = 50 Hz.
Ne = 50 Hz : un tour entre deux éclairs, une seule image immobile.
Ne = 25 Hz : deux tours entre deux éclairs (k = 2), une seule image immobile aussi.
Ne = 100 Hz : l'éclair se produit tous les demi-tours ; on voit deux rayons immobiles, opposés.
Ne = 49 Hz : Ne légèrement inférieure à N, le rayon semble tourner lentement dans le sens réel, à Na = 50 − 49 = 1 tour par seconde.
Ne = 51 Hz : le rayon semble tourner lentement en sens inverse, à 1 tour par seconde.
5. L'oscilloscope
Un oscilloscope affiche sur son écran la tension qu'on lui applique en fonction du temps. Un capteur (microphone, capteur de vibrations) transforme la vibration en une tension de même fréquence. On lit :
- la période : nombre de divisions horizontales occupées par une période × durée de balayage (en ms/div ou µs/div) ;
- l'amplitude de la tension : nombre de divisions verticales × sensibilité verticale (en V/div).
Méthode
Pour mesurer une période et une fréquence à l'oscilloscope :
- Je repère deux points identiques consécutifs de la courbe (deux sommets, par exemple).
- Je compte le nombre n de divisions horizontales qui les séparent (je mesure plusieurs périodes si possible, pour plus de précision).
- Je calcule T = n × (durée de balayage), en secondes.
- J'en déduis N = 1 / T et, si besoin, ω = 2π N.
- Pour l'amplitude : Um = nombre de divisions verticales entre l'axe et un sommet × sensibilité verticale.
Exemple
Sur l'écran, trois périodes occupent exactement 6,0 divisions horizontales ; la durée de balayage vaut 0,5 ms/div. Le sommet est à 2,5 divisions de l'axe, la sensibilité verticale est 2 V/div.
Une période occupe 6,0 / 3 = 2,0 divisions : T = 2,0 × 0,5 = 1,0 ms = 1,0 × 10⁻³ s.
N = 1 / T = 1 000 Hz ; ω = 2π × 1 000 ≈ 6,3 × 10³ rad/s.
Amplitude : Um = 2,5 × 2 = 5,0 V.
3Je retiens
Je retiens
Phénomène périodique : il se reproduit identique à lui-même ; période T (en s), fréquence N = 1/T (en Hz).
Vibration sinusoïdale : y = Ym sin(ωt + φ) ; Ym amplitude, ω = 2πN = 2π/T pulsation, φ phase à l'origine.
En phase : Δφ = 2kπ ; en opposition de phase : Δφ = (2k + 1)π ; décalage θ ↔ Δφ = 2πθ/T.
Stroboscope : immobilité apparente si N = k Ne ; la plus grande Ne donnant une seule image immobile est égale à N.
Ne légèrement inférieure à N : ralenti direct ; légèrement supérieure : ralenti rétrograde ; Na = |N − Ne|.
Oscilloscope : T = nombre de divisions × durée de balayage.
4Erreurs fréquentes
- Croire que la plus petite fréquence donnant l'immobilité est la bonne : Ne = N/2, N/3… donnent aussi une image immobile. C'est la plus grande qui donne N.
- Confondre pulsation et fréquence : ω = 2πN ; une pulsation de 100π rad/s correspond à 50 Hz, pas à 100 Hz.
- Lire la période à l'oscilloscope entre un sommet et un creux : cela ne fait qu'une demi-période.
- Oublier de convertir les ms en s avant de calculer N = 1/T.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une masse accrochée à un ressort effectue 20 oscillations en 12 s. Calcule sa période, sa fréquence et sa pulsation.
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T = 1220 = 0,60 s ; N = 10,60 ≈ 1,7 Hz ; ω = 2πT = 2π0,60 ≈ 10,5 rad/s.
2Exercice 2
L'élongation d'un point vibrant est y(t) = 4,0 × 10-2 cos(20π t + π2) (y en m, t en s).
a) Donne l'amplitude, la pulsation, la fréquence, la période et la phase à l'origine.
b) Calcule l'élongation à la date t = 0.
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a) Ym = 4,0 × 10-2 m = 4,0 cm ; ω = 20π rad/s ; N = 20π2π = 10 Hz ; T = 0,10 s ; varphi = π2 rad.
b) y(0) = 4,0 × 10-2 cosπ2 = 0 : le point passe par sa position d'équilibre.
3Exercice 3
Deux vibrations de même période T = 20 ms sont observées sur un oscilloscope. Les sommets de la seconde sont décalés de 5,0 ms par rapport à ceux de la première. Calcule leur déphasage et nomme la situation.
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|Δvarphi| = 2π θT = 2π × 5,020 = π2 rad. Les deux vibrations sont en quadrature.
4Exercice 4
Une lame vibre à une fréquence inconnue. On l'éclaire avec un stroboscope : en partant d'une fréquence élevée et en la diminuant, on observe pour la première fois une seule image immobile de la lame pour Ne = 120 Hz.
a) Quelle est la fréquence de vibration de la lame ?
b) Pour quelles autres fréquences, inférieures à 120 Hz, observe-t-on encore une seule image immobile ? Donne les trois plus grandes.
c) Qu'observe-t-on pour Ne = 118 Hz ? Précise la fréquence du mouvement apparent.
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a) La première immobilité avec une seule image, en venant des hautes fréquences, correspond à Ne = N : N = 120 Hz.
b) Immobilité apparente si Ne = Nk : 60 Hz, 40 Hz, 30 Hz.
c) Ne = 118 Hz est légèrement inférieure à N : on voit la lame vibrer lentement, dans un mouvement ralenti apparent de fréquence Na = 120 - 118 = 2 Hz.
5Exercice 5
(Type examen) Un vibreur est relié à un capteur branché sur un oscilloscope. La courbe observée est une sinusoïde. Quatre périodes occupent 8,0 divisions ; la durée de balayage est 5 ms/div. Le sommet se trouve à 3,0 divisions de l'axe horizontal, avec une sensibilité verticale de 0,5 V/div. À t = 0, la tension est maximale.
a) Calcule la période, la fréquence et la pulsation.
b) Calcule l'amplitude de la tension.
c) Écris l'expression u(t) de la tension avec une fonction cosinus.
d) On éclaire le vibreur avec un stroboscope réglé sur 49 Hz. Décris ce que l'on observe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Une période occupe 8,04 = 2,0 divisions : T = 2,0 × 5 = 10 ms = 1,0 × 10-2 s. N = 1T = 100 Hz. ω = 2π N = 200π ≈ 628 rad/s.
b) Um = 3,0 × 0,5 = 1,5 V.
c) À t = 0 la tension est maximale : u(t) = Um cos(ω t) = 1,5 cos(200π t) (u en V, t en s).
d) N = 100 Hz ; entre deux éclairs (durée 149 s), le vibreur fait 10049 ≈ 2,04 périodes, c'est-à-dire un peu plus de deux. On a N légèrement supérieure à 2Ne = 98 Hz : on observe un mouvement ralenti direct, de fréquence apparente Na = 100 - 2 × 49 = 2 Hz.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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