Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 19
Systèmes d'inéquations à deux inconnues : résolution graphique
Je sais représenter dans un repère l'ensemble des points qui vérifient un système d'inéquations et l'utiliser pour prendre la meilleure décision de production.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Représenter le demi-plan solution d'une inéquation ax + by + c ≤ 0
- Résoudre graphiquement un système d'inéquations à deux inconnues
- Traduire des contraintes économiques en système d'inéquations
- Trouver le sommet de la région qui rend un bénéfice maximal
Avant de commencer : Tracer une droite d'équation y = mx + p ou ax + by = c, les systèmes d'équations et les inéquations du premier degré.
1Je découvre
Sékou est menuisier à Mamou. Chaque semaine, il fabrique des tabourets et des bancs. Un tabouret demande 1 planche et 2 heures de travail ; un banc demande 2 planches et 1 heure de travail. Il ne reçoit que 16 planches par semaine et ne peut pas travailler plus de 20 heures sur ces meubles. Il gagne 5 000 GNF sur chaque tabouret et 8 000 GNF sur chaque banc (chiffres imaginés pour l'exemple).
S'il fabrique x tabourets et y bancs, il doit respecter :
begincases x + 2y ≤ 16 & (planches)
2x + y ≤ 20 & (heures)
x ≥ 0, y ≥ 0 endcases
Ce ne sont plus des équations mais des inéquations à deux inconnues : il n'y a pas une seule solution, mais toute une région de possibilités. Sékou veut savoir quelles productions sont possibles, et laquelle lui rapporte le plus.
Comment représenter les solutions d'un système d'inéquations à deux inconnues, et comment y trouver la meilleure décision ?
2Je comprends
1. Une droite partage le plan en deux demi-plans
Dans un repère, la droite D d'équation ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans. On admet que :
- en tout point M(x ; y) de l'un des demi-plans, ax + by + c > 0 ;
- en tout point de l'autre demi-plan, ax + by + c < 0 ;
- sur la droite elle-même, ax + by + c = 0.
La droite D s'appelle la droite frontière. Pour savoir quel demi-plan convient, il suffit donc de tester un seul point qui n'est pas sur la droite : c'est le point test. On choisit souvent l'origine O(0 ; 0) car le calcul est immédiat.
Convention. Dans ce cours, on hachure la partie qui ne convient pas : la région des solutions reste propre et lisible. La frontière est tracée en trait plein si l'inégalité est large ( ≤ ou ≥ , elle fait partie des solutions) et en pointillés si l'inégalité est stricte (< ou >).
Exemple
Représenter l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2x − y + 4 > 0.
Droite frontière : 2x − y + 4 = 0, soit y = 2x + 4. Elle passe par (0 ; 4) et (−2 ; 0).
Point test O(0 ; 0) : 2 × 0 − 0 + 4 = 4 > 0. L'inégalité est vraie.
La solution est le demi-plan qui contient O. On hachure l'autre demi-plan.
L'inégalité est stricte : la droite est tracée en pointillés (elle est exclue).
2. Système d'inéquations : intersection de demi-plans
Un point est solution d'un système d'inéquations s'il vérifie toutes les inéquations à la fois. L'ensemble des solutions est donc l'intersection des demi-plans solutions : c'est la région qui n'est hachurée par aucune inéquation. Quand elle est limitée de tous les côtés, cette région est un polygone dont on calcule les sommets en résolvant des systèmes de deux équations.
Méthode
Pour résoudre graphiquement un système d'inéquations :
- Pour chaque inéquation, je trace la droite frontière (deux points suffisent).
- Je choisis un point test hors de la droite et je regarde si l'inéquation est vraie.
- Je hachure le demi-plan qui NE convient PAS.
- Je répète pour chaque inéquation, dans le même repère.
- La partie restée blanche est l'ensemble des solutions ; je calcule ses sommets en résolvant les systèmes formés par deux frontières.
Exemple
Résoudre graphiquement : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 6 ; y ≤ x + 2.
x ≥ 0 et y ≥ 0 : on garde le quart de plan en haut à droite des axes.
x + y ≤ 6 : frontière passant par (6 ; 0) et (0 ; 6). Test O : 0 ≤ 6, vrai : on garde le côté de O.
y ≤ x + 2 : frontière passant par (0 ; 2) et (−2 ; 0). Test O : 0 ≤ 2, vrai : on garde le côté de O.
Sommets : O(0 ; 0), A(6 ; 0), C(0 ; 2) et B, intersection de x + y = 6 et y = x + 2 : x + x + 2 = 6, donc x = 2 et y = 4.
La solution est le quadrilatère OABC, bords compris. Par exemple, le point (1 ; 1) convient : 1 + 1 ≤ 6 et 1 ≤ 3.
3. Retour à l'atelier de Sékou
Traçons les frontières :
- x + 2y = 16 passe par (0 ; 8) et (16 ; 0) ; le test de O donne 0 ≤ 16, vrai ;
- 2x + y = 20 passe par (10 ; 0) et (0 ; 20) ; le test de O donne 0 ≤ 20, vrai.
Le sommet commun aux deux frontières vérifie x + 2y = 16 et 2x + y = 20. De la seconde, y = 20 - 2x ; donc x + 40 - 4x = 16, -3x = -24, x = 8 et y = 4.
La région des productions possibles est le quadrilatère de sommets O(0 ; 0), R(10 ; 0), Q(8 ; 4) et P(0 ; 8).
4. Chercher la meilleure décision
Le bénéfice de Sékou vaut B = 5 000x + 8 000y. On admet le résultat suivant, très utilisé en économie : quand la région des solutions est un polygone, le bénéfice (ou le coût) le plus grand ou le plus petit est atteint en l'un de ses sommets. Il suffit donc de calculer B en chaque sommet.
| Sommet | x | y | B = 5 000x + 8 000y |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | 0 GNF |
| R | 10 | 0 | 50 000 GNF |
| Q | 8 | 4 | 72 000 GNF |
| P | 0 | 8 | 64 000 GNF |
La meilleure décision est de fabriquer 8 tabourets et 4 bancs : Sékou gagne alors 72 000 GNF par semaine, et il utilise toutes ses planches (8 + 8 = 16) et toutes ses heures (16 + 4 = 20).
3Je retiens
Je retiens
La droite ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans : l'un où ax + by + c > 0, l'autre où ax + by + c < 0.
Pour trouver le bon demi-plan, on teste un point hors de la droite (souvent O).
Inégalité large : frontière en trait plein (incluse) ; inégalité stricte : frontière en pointillés (exclue).
On hachure la partie qui ne convient pas ; la solution d'un système est la région restée blanche.
Les sommets de la région s'obtiennent en résolvant les systèmes formés par deux frontières.
Un bénéfice ou un coût du type px + qy atteint son maximum ou son minimum en un sommet de la région.
4Erreurs fréquentes
- Choisir comme point test un point situé sur la droite frontière : on obtient 0 et on ne peut pas conclure. Si la droite passe par O, teste par exemple (1 ; 0).
- Oublier les contraintes x ≥ 0 et y ≥ 0 : une quantité produite ne peut pas être négative.
- Mal lire un sommet sur le dessin au lieu de le calculer : on résout toujours le système des deux frontières.
- Confondre la région hachurée et la région solution : relis la convention choisie et écris-la sur ta copie.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Représente dans un repère l'ensemble des points M(x ; y) qui vérifient :
a) x + 2y - 4 ≤ 0
b) 3x - y > 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Frontière x + 2y - 4 = 0 : elle passe par (4 ; 0) et (0 ; 2). Test de O : -4 ≤ 0, vrai. La solution est le demi-plan qui contient O, frontière incluse (trait plein) ; on hachure l'autre côté.
b) Frontière 3x - y = 3, soit y = 3x - 3 : elle passe par (1 ; 0) et (0 ; -3). Test de O : 0 > 3, faux. La solution est le demi-plan qui ne contient pas O ; on hachure le côté de O ; la frontière est en pointillés (inégalité stricte).
2Exercice 2
On considère le système begincases x + y ≤ 4
2x - y ≥ 1
y ≥ 0 endcases
Les points A(2 ; 1) et B(0 ; 3) sont-ils solutions ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour A(2 ; 1) : 2 + 1 = 3 ≤ 4 vrai ; 4 - 1 = 3 ≥ 1 vrai ; 1 ≥ 0 vrai. A est solution.
Pour B(0 ; 3) : 3 ≤ 4 vrai ; 0 - 3 = -3 ≥ 1 faux. B n'est pas solution (il suffit d'une inéquation fausse).
3Exercice 3
Résous graphiquement le système begincases x ≥ 0
y ≥ 0
x + y ≤ 5
x ≤ 3 endcases et donne les coordonnées des sommets de la région solution.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On garde le quart de plan x ≥ 0, y ≥ 0. La frontière x + y = 5 passe par (5 ; 0) et (0 ; 5) ; O convient. La frontière x = 3 est verticale ; O convient (0 ≤ 3), on garde la gauche.
Sommets : (0 ; 0), (3 ; 0), (0 ; 5) et l'intersection de x = 3 avec x + y = 5, soit (3 ; 2). La solution est le quadrilatère de sommets (0 ; 0), (3 ; 0), (3 ; 2), (0 ; 5).
4Exercice 4
Le triangle OAB a pour sommets O(0 ; 0), A(4 ; 0) et B(0 ; 2). Écris un système de trois inéquations dont l'ensemble des solutions est ce triangle, bords compris.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le côté [OA] est sur l'axe des abscisses : y ≥ 0. Le côté [OB] est sur l'axe des ordonnées : x ≥ 0. La droite (AB) passe par (4 ; 0) et (0 ; 2) : son équation est x + 2y = 4 (vérification : 4 + 0 = 4 et 0 + 4 = 4). O est dans le triangle et 0 ≤ 4 : on garde x + 2y ≤ 4.
Système : x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 4.
5Exercice 5
(Type BAC) Un cultivateur de Faranah dispose de 10 hectares. Il veut cultiver x hectares de riz et y hectares d'arachide. Un hectare de riz demande 30 journées de travail, un hectare d'arachide 10 journées ; il dispose de 180 journées au plus. Un hectare de riz lui rapporte 2 millions de GNF et un hectare d'arachide 1,5 million de GNF (chiffres imaginés pour l'exercice).
a) Justifie que x et y vérifient : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10, 3x + y ≤ 18.
b) Représente la région des solutions et calcule ses sommets.
c) Exprime le revenu R en fonction de x et y, puis détermine le partage qui rapporte le plus.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les surfaces sont positives : x ≥ 0, y ≥ 0. La surface totale ne dépasse pas 10 ha : x + y ≤ 10. Le travail vaut 30x + 10y ≤ 180 ; en divisant par 10 : 3x + y ≤ 18.
b) Frontières : x + y = 10 passe par (10 ; 0) et (0 ; 10) ; 3x + y = 18 passe par (6 ; 0) et (0 ; 18). O vérifie les deux inéquations.
Intersection des deux frontières : en soustrayant, 2x = 8, donc x = 4 et y = 6.
Sommets de la région : (0 ; 0), (6 ; 0), (4 ; 6), (0 ; 10).
c) R = 2x + 1,5y (en millions de GNF). Aux sommets : R(0 ; 0) = 0 ; R(6 ; 0) = 12 ; R(4 ; 6) = 8 + 9 = 17 ; R(0 ; 10) = 15.
Le meilleur choix est de cultiver 4 ha de riz et 6 ha d'arachide, pour un revenu de 17 millions de GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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