Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 19
Généralités sur les fonctions : ensemble de définition, parité, sens de variation
Je sais trouver l'ensemble de définition d'une fonction, étudier sa parité et démontrer ou lire son sens de variation.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction (quotient, racine carrée)
- Étudier la parité d'une fonction et l'interpréter sur la courbe
- Démontrer le sens de variation d'une fonction simple et dresser un tableau de variations
- Exploiter un tableau de variations pour comparer des images
Avant de commencer : Les intervalles, la résolution des inéquations du premier et du second degré, les fonctions de référence vues en 11e (carré, inverse, racine carrée, affine).
1Je découvre
Reprenons Kadiatou, la savonnière de Kankan. Ses charges fixes mensuelles sont de 150 000 GNF et chaque savon lui coûte 1 500 GNF de matières. Pour fixer son prix de vente, elle veut connaître le coût moyen d'un savon, c'est-à-dire le coût total divisé par le nombre de savons fabriqués :
CM(x) = 150 000 + 1 500xx, où x est le nombre de savons.
Sa fille Fanta, élève en 12e SS, remarque tout de suite deux choses. D'abord, on ne peut pas calculer CM(0) : on ne divise jamais par zéro. Ensuite, en essayant x = 50 puis x = 100, elle trouve 4 500 GNF puis 3 000 GNF : le coût moyen semble diminuer quand la production augmente.
Pour quelles valeurs une fonction est-elle calculable, et comment prouver qu'elle augmente ou diminue ?
2Je comprends
1. Fonction et ensemble de définition
Une fonction f associe à chaque réel x d'un ensemble Df un seul réel noté f(x), appelé image de x. Si f(a) = b, on dit que a est un antécédent de b. L'ensemble Df des réels qui ont une image s'appelle l'ensemble de définition de f.
Pour trouver Df, on cherche les « interdits » :
- un dénominateur ne doit jamais être nul ;
- une expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle ;
- une racine carrée au dénominateur doit être strictement positive.
Les polynômes (comme 3x2 - x + 7) sont définis sur ℝ tout entier.
Exemple
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = (2x + 1)/(x² − 4) et de g(x) = √(6 − 2x).
Pour f : le dénominateur s'annule quand x² − 4 = 0, soit (x − 2)(x + 2) = 0, donc x = 2 ou x = −2.
Df = ℝ \ {−2 ; 2} = ]−∞ ; −2[ ∪ ]−2 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
Pour g : il faut 6 − 2x ≥ 0, soit −2x ≥ −6, donc x ≤ 3 (on a divisé par −2, le sens change).
Dg = ]−∞ ; 3].
Dans une situation concrète, l'ensemble d'étude peut être plus petit que Df : pour le coût moyen de Kadiatou, x est un nombre de savons, donc x > 0.
2. La parité
On dit que Df est symétrique par rapport à 0 si, pour tout x de Df, -x est aussi dans Df. Par exemple ℝ, [-5 ; 5] ou ℝ setminus {-2 ; 2} le sont ; ]-∞ ; 3] ne l'est pas.
- f est paire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(-x) = f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- f est impaire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(-x) = -f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
Une fonction peut n'être ni paire ni impaire : un seul contre-exemple suffit à le prouver.
Exemple
Étudier la parité de f(x) = x⁴ − 3x² + 1, g(x) = x³ − 3x et h(x) = x² + x.
Les trois fonctions sont définies sur ℝ, symétrique par rapport à 0.
f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x) : f est paire.
g(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −g(x) : g est impaire.
h(1) = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0 : h(−1) n'est égal ni à h(1) ni à −h(1). h n'est ni paire ni impaire.
Intérêt pratique : si f est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur Df ∩ [0 ; +∞[, puis de compléter la courbe par symétrie.
3. Le sens de variation
Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans Df.
- f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) (les images sont rangées dans le même ordre).
- f est décroissante sur I si : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) (l'ordre est inversé).
- Avec des inégalités strictes, on dit strictement croissante ou décroissante. Une fonction qui ne change pas de sens sur I est dite monotone sur I.
On résume les variations dans un tableau de variations : une flèche montante pour « croissante », descendante pour « décroissante », avec les images aux bornes.
Deux méthodes pour démontrer un sens de variation.
- Enchaîner les inégalités à partir de a < b, en utilisant les fonctions de référence : x mapsto x2 est croissante sur [0 ; +∞[ et décroissante sur ]-∞ ; 0] ; x mapsto 1x est décroissante sur ]0 ; +∞[ et sur ]-∞ ; 0[ ; x mapsto √x est croissante sur [0 ; +∞[.
- Le taux de variation : pour a ≠ b dans I, on calcule T = f(b) - f(a)b - a. Si T > 0 pour tous a ≠ b de I, f est strictement croissante sur I ; si T < 0, elle est strictement décroissante.
Exemple
Montrer que f(x) = x² + 2x est strictement croissante sur [−1 ; +∞[.
Soit a et b deux réels distincts de [−1 ; +∞[.
f(b) − f(a) = b² − a² + 2b − 2a = (b − a)(b + a) + 2(b − a) = (b − a)(a + b + 2).
Donc T = (f(b) − f(a)) / (b − a) = a + b + 2.
Comme a ≥ −1 et b ≥ −1, et qu'ils ne sont pas tous deux égaux à −1, on a a + b > −2, donc T > 0.
f est strictement croissante sur [−1 ; +∞[.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I :
- Je prends deux réels a et b de I avec a < b (ou a ≠ b pour le taux).
- Soit j'enchaîne les inégalités en partant de a < b, en utilisant les fonctions de référence ; soit je calcule et je simplifie T = (f(b) − f(a)) / (b − a).
- Je conclus : ordre conservé ou T > 0 : croissante ; ordre inversé ou T < 0 : décroissante.
- Je dresse le tableau de variations avec les images aux bornes.
4. Retour au coût moyen
CM(x) = 150 000x + 1 500 pour x > 0. Soit 0 < a < b. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, donc 1a > 1b. En multipliant par 150 000 > 0 puis en ajoutant 1 500 : CM(a) > CM(b). Le coût moyen est strictement décroissant : plus Kadiatou produit, moins chaque savon lui coûte en moyenne.
3Je retiens
Je retiens
Ensemble de définition : dénominateur ≠ 0 ; sous une racine ≥ 0 ; racine au dénominateur > 0.
f paire : Df symétrique par rapport à 0 et f(−x) = f(x) ; courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
f impaire : Df symétrique par rapport à 0 et f(−x) = −f(x) ; courbe symétrique par rapport à l'origine.
f croissante sur I : a < b entraîne f(a) ≤ f(b) ; décroissante : a < b entraîne f(a) ≥ f(b).
Taux de variation T = (f(b) − f(a)) / (b − a) : T > 0 donne croissante, T < 0 donne décroissante.
Carré : décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[. Inverse : décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
4Erreurs fréquentes
- Conclure qu'une fonction est paire sans vérifier que Df est symétrique : f(x) = x² définie sur [−1 ; 3] n'est pas paire.
- Croire qu'une fonction non paire est forcément impaire : beaucoup de fonctions ne sont ni l'une ni l'autre.
- Vérifier f(−x) = f(x) sur un seul exemple pour prouver la parité : un exemple suffit pour dire NON, mais il faut un calcul général pour dire OUI.
- Dire que la fonction inverse est décroissante sur ℝ* : c'est faux, car −1 < 1 et pourtant 1/(−1) < 1/1. Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = 3x - 12x + 6
b) g(x) = √4 - x + 1x
c) h(x) = 5x2 - 9
d) k(x) = 1x2 + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2x + 6 = 0 ⇔ x = -3. Df = ℝ setminus {-3}.
b) Il faut 4 - x ≥ 0, soit x ≤ 4, et x ≠ 0. Dg = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 4].
c) x2 - 9 = 0 ⇔ x = -3 ou x = 3. Dh = ℝ setminus {-3 ; 3}.
d) x2 + 1 ≥ 1 > 0 pour tout x : le dénominateur ne s'annule jamais. Dk = ℝ.
2Exercice 2
Étudie la parité de :
a) f(x) = 2x2 - 5
b) g(x) = x3 + 1x
c) h(x) = x2 - 3x
d) k(x) = xx2 + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Df = ℝ ; f(-x) = 2x2 - 5 = f(x) : f est paire.
b) Dg = ℝ^*, symétrique par rapport à 0 ; g(-x) = -x3 - 1x = -g(x) : g est impaire.
c) Dh = ℝ ; h(1) = -2 et h(-1) = 1 + 3 = 4. On n'a ni h(-1) = h(1) ni h(-1) = -h(1) : h n'est ni paire ni impaire.
d) Dk = ℝ ; k(-x) = -xx2 + 1 = -k(x) : k est impaire.
3Exercice 3
a) Montre que f(x) = 4 - 3x est strictement décroissante sur ℝ.
b) À l'aide du taux de variation, montre que g(x) = x2 - 4x est strictement croissante sur [2 ; +∞[.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Soit a < b. En multipliant par -3 < 0 : -3a > -3b ; en ajoutant 4 : 4 - 3a > 4 - 3b, soit f(a) > f(b). L'ordre est inversé : f est strictement décroissante sur ℝ.
b) Pour a ≠ b dans [2 ; +∞[ : g(b) - g(a) = b2 - a2 - 4(b - a) = (b - a)(a + b - 4), donc T = a + b - 4. Comme a ≥ 2, b ≥ 2 et a ≠ b, on a a + b > 4, donc T > 0 : g est strictement croissante sur [2 ; +∞[.
4Exercice 4
Une fonction f définie sur [-3 ; 5] a le tableau de variations suivant : f(-3) = 2 ; f est croissante sur [-3 ; 1] avec f(1) = 6 ; f est décroissante sur [1 ; 5] avec f(5) = -1.
a) Donne le maximum et le minimum de f sur [-3 ; 5].
b) Compare f(-2) et f(0), puis f(2) et f(4).
c) Combien l'équation f(x) = 0 a-t-elle de solutions ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le maximum est 6, atteint en x = 1. Le minimum est le plus petit de f(-3) = 2 et f(5) = -1 : c'est -1, atteint en x = 5.
b) -2 et 0 sont dans [-3 ; 1] où f est croissante, et -2 < 0, donc f(-2) ≤ f(0). 2 et 4 sont dans [1 ; 5] où f est décroissante, et 2 < 4, donc f(2) ≥ f(4).
c) Sur [-3 ; 1], f croît de 2 à 6 : f(x) ≥ 2 > 0, pas de solution. Sur [1 ; 5], f décroît de 6 à -1 en passant une seule fois par 0 (on admet que la courbe est continue, sans saut). L'équation a une seule solution, située entre 1 et 5.
5Exercice 5
(Type BAC) Le coût moyen d'un savon de Kadiatou est CM(x) = 1 500 + 150 000x, en GNF, pour x savons (x > 0).
a) Calcule CM(50) et CM(100).
b) Démontre que CM est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
c) À partir de combien de savons le coût moyen devient-il inférieur à 2 000 GNF ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) CM(50) = 1 500 + 3 000 = 4 500 GNF ; CM(100) = 1 500 + 1 500 = 3 000 GNF.
b) Soit 0 < a < b. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : 1a > 1b. On multiplie par 150 000 > 0 : 150 000a > 150 000b ; on ajoute 1 500 : CM(a) > CM(b). CM est strictement décroissante.
c) CM(x) < 2 000 ⇔ 150 000x < 500 ⇔ 150 000 < 500x (on multiplie par x > 0) ⇔ x > 300. Le coût moyen passe sous 2 000 GNF à partir de 301 savons.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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