Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 19
Paramètres de dispersion : variance et écart type
Je sais calculer la variance et l'écart type d'une série, en valeurs ou en classes, et les utiliser pour comparer la régularité de deux séries.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comprendre pourquoi la moyenne ne suffit pas à décrire une série
- Calculer la variance et l'écart type avec la définition ou avec la formule de König
- Calculer la variance d'une série en classes à l'aide des centres
- Interpréter l'écart type et comparer la dispersion de deux séries
Avant de commencer : La moyenne, la médiane et les quartiles (leçon précédente), le calcul des carrés et des racines carrées.
1Je découvre
Au marché de Kankan, deux vendeuses de fruits, Fanta et Hawa, comparent leurs recettes de la semaine (en milliers de GNF, valeurs imaginées) :
| Jour | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi |
|---|---|---|---|---|---|
| Fanta | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| Hawa | 20 | 30 | 50 | 70 | 80 |
Elles calculent leur recette moyenne : 2505 = 50 pour les deux ! Leurs médianes sont aussi égales (50). Pourtant, leurs semaines sont très différentes : Fanta gagne à peu près la même chose tous les jours, alors qu'Hawa alterne les très mauvais et les très bons jours. Pour Hawa, il est difficile de prévoir si elle pourra payer ses fournisseurs à temps.
Les paramètres de position (moyenne, médiane) disent autour de quelle valeur se trouvent les données, mais pas à quel point elles sont regroupées ou étalées. Il faut un autre outil.
Comment mesurer par un nombre l'étalement des valeurs autour de la moyenne ?
2Je comprends
1. Des écarts à la moyenne à la variance
Une première idée est de regarder les écarts à la moyenne xi - x. Pour Hawa : -30 ; -20 ; 0 ; 20 ; 30. Mais leur somme est toujours nulle (les écarts positifs et négatifs se compensent) : ce n'est pas une bonne mesure.
On élève donc les écarts au carré, pour qu'ils soient tous positifs, puis on en fait la moyenne. C'est la variance.
Définition. La variance d'une série de valeurs xi d'effectifs ni (effectif total N, moyenne x) est :
V = n1(x1 - x)2 + n2(x2 - x)2 + … + np(xp - x)2N.
L'écart type est la racine carrée de la variance :
σ = √V.
L'écart type s'exprime dans la même unité que les données (ici en milliers de GNF), ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.
Exemple
Calculer la variance et l'écart type des recettes de Fanta et d'Hawa.
Fanta : écarts −10 ; −5 ; 0 ; 5 ; 10. Carrés : 100 ; 25 ; 0 ; 25 ; 100. Somme : 250.
V = 250/5 = 50 et σ = √50 ≈ 7,07.
Hawa : écarts −30 ; −20 ; 0 ; 20 ; 30. Carrés : 900 ; 400 ; 0 ; 400 ; 900. Somme : 2 600.
V = 2 600/5 = 520 et σ = √520 ≈ 22,80.
Même moyenne, mais l'écart type d'Hawa est plus de trois fois plus grand : ses recettes sont beaucoup plus dispersées.
- Moyenne : 50
- Écart type : environ 7,07
- Recettes regroupées
- Revenu régulier, facile à prévoir
- Moyenne : 50
- Écart type : environ 22,80
- Recettes très étalées
- Revenu irrégulier, difficile à prévoir
2. La formule de König (formule de calcul)
En développant les carrés, on démontre une formule plus rapide, surtout avec une calculatrice ou un tableau :
V = n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2N - x2.
On la retient ainsi : la variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
Exemple
Nombre d'enfants des 40 familles (0 : 3 ; 1 : 5 ; 2 : 8 ; 3 : 10 ; 4 : 7 ; 5 : 4 ; 6 : 3), de moyenne x̄ = 2,925.
Somme des nᵢxᵢ² : 0 × 3 + 1 × 5 + 4 × 8 + 9 × 10 + 16 × 7 + 25 × 4 + 36 × 3
= 0 + 5 + 32 + 90 + 112 + 100 + 108 = 447.
Moyenne des carrés : 447/40 = 11,175.
V = 11,175 − 2,925² = 11,175 − 8,555625 = 2,619375.
σ = √2,619375 ≈ 1,62 enfant.
3. Série regroupée en classes
Pour une série en classes, on remplace chaque classe par son centre ci, comme pour la moyenne. On obtient une valeur approchée de la variance :
V ≈ Σ ni ci2N - x2.
Exemple
Dépenses de transport de 50 élèves (milliers de GNF) : centres 5, 15, 25, 35, 45 ; effectifs 6, 14, 17, 9, 4 ; moyenne 23,2.
Somme des nᵢcᵢ² : 25 × 6 + 225 × 14 + 625 × 17 + 1 225 × 9 + 2 025 × 4
= 150 + 3 150 + 10 625 + 11 025 + 8 100 = 33 050.
Moyenne des carrés : 33 050/50 = 661.
V = 661 − 23,2² = 661 − 538,24 = 122,76 et σ ≈ 11,08 milliers de GNF.
Méthode
Pour calculer une variance et un écart type avec un tableau :
- Je calcule la moyenne x̄ (avec les centres si la série est en classes).
- J'ajoute une colonne nᵢxᵢ² (ou nᵢcᵢ²) et j'en fais la somme.
- Je divise cette somme par N : c'est la moyenne des carrés.
- Je retire x̄² : j'obtiens V (elle doit être positive ; sinon, j'ai fait une erreur).
- Je calcule σ = √V et je l'exprime dans l'unité des données.
- J'interprète : plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
4. Interpréter et comparer
- Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont égales à la moyenne.
- Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées ; plus il est petit, plus la série est homogène.
- Pour beaucoup de séries « en cloche », la plupart des valeurs se trouvent dans l'intervalle [x - 2σ ; x + 2σ].
Transformation affine. Si yi = axi + b, alors y = ax + b et σy = |a| σx. Ajouter une même constante à toutes les valeurs ne change pas la dispersion ; multiplier par a multiplie l'écart type par |a|.
Coefficient de variation. Pour comparer la dispersion de deux séries de moyennes très différentes, on utilise CV = σx (souvent en pourcentage) : c'est la dispersion relative.
3Je retiens
Je retiens
Variance : V = [Σ nᵢ(xᵢ − x̄)²]/N (moyenne des carrés des écarts à la moyenne).
Formule de König : V = (Σ nᵢxᵢ²)/N − x̄² (moyenne des carrés moins carré de la moyenne).
Écart type : σ = √V, dans la même unité que les données.
Série en classes : on utilise les centres des classes.
Plus σ est grand, plus la série est dispersée ; σ = 0 si toutes les valeurs sont égales.
Si y = ax + b : ȳ = ax̄ + b et σy = |a| σx.
Coefficient de variation : σ/x̄, pour comparer des séries de moyennes différentes.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de soustraire x̄² dans la formule de König : on obtiendrait la moyenne des carrés, pas la variance.
- Calculer (Σ nᵢxᵢ)² au lieu de Σ nᵢxᵢ² : on élève chaque valeur au carré AVANT de multiplier par son effectif et d'additionner.
- Arrondir la moyenne trop tôt : une petite erreur sur x̄ devient grande sur x̄². Garde toutes les décimales.
- Obtenir une variance négative et continuer : une variance est toujours positive ou nulle, il faut chercher l'erreur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la moyenne, la variance et l'écart type de la série : 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14.
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x = 505 = 10. Écarts : -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; carrés : 16 ; 4 ; 0 ; 4 ; 16 ; somme 40. V = 405 = 8 et σ = √8 ≈ 2,83.
2Exercice 2
Nombre de frères et sœurs de 25 élèves :
| Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 4 | 7 | 6 | 4 | 2 |
La moyenne vaut 2,48. Calcule la variance et l'écart type.
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Σ ni xi2 = 0 + 4 + 28 + 54 + 64 + 50 = 200. Moyenne des carrés : 20025 = 8. V = 8 - 2,482 = 8 - 6,1504 = 1,8496. σ = √1,8496 = 1,36.
3Exercice 3
Âges des 60 membres d'une coopérative : [20 ; 30[ : 9 ; [30 ; 40[ : 18 ; [40 ; 50[ : 21 ; [50 ; 60[ : 12. L'âge moyen est 41 ans. Calcule la variance et l'écart type (au centième).
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Centres : 25 ; 35 ; 45 ; 55. Σ ni ci2 = 625 × 9 + 1 225 × 18 + 2 025 × 21 + 3 025 × 12 = 5 625 + 22 050 + 42 525 + 36 300 = 106 500.
Moyenne des carrés : 106 50060 = 1 775. V = 1 775 - 412 = 1 775 - 1 681 = 94. σ = √94 ≈ 9,70 ans.
4Exercice 4
a) Une série de notes a pour moyenne 10 et pour écart type 3. Le professeur transforme chaque note x en y = 1,5x - 2. Calcule la nouvelle moyenne et le nouvel écart type.
b) Série A : moyenne 50, écart type 5. Série B : moyenne 200, écart type 12. Laquelle est la plus homogène en valeur relative ? Justifie.
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a) y = 1,5 × 10 - 2 = 13 ; σy = 1,5 × 3 = 4,5.
b) CVA = 550 = 10 % ; CVB = 12200 = 6 %. La série B est la plus homogène en valeur relative, bien que son écart type soit plus grand.
5Exercice 5
(Type BAC) Recettes journalières de 80 vendeuses du marché A, en milliers de GNF :
| Recette | [0 ; 20[ | [20 ; 40[ | [40 ; 60[ | [60 ; 80[ | [80 ; 100[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 22 | 28 | 16 | 6 |
a) La recette moyenne est 47,5. Calcule la variance et l'écart type (au centième).
b) Donne l'intervalle [x - σ ; x + σ].
c) Au marché B, la recette moyenne est 45 et l'écart type 12. Compare les deux marchés.
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a) Centres : 10 ; 30 ; 50 ; 70 ; 90. Σ ni ci2 = 800 + 19 800 + 70 000 + 78 400 + 48 600 = 217 600. Moyenne des carrés : 217 60080 = 2 720. V = 2 720 - 47,52 = 2 720 - 2 256,25 = 463,75. σ = √463,75 ≈ 21,53 milliers de GNF.
b) [47,5 - 21,53 ; 47,5 + 21,53] = [25,97 ; 69,03], soit environ de 25 970 GNF à 69 030 GNF.
c) Le marché A a une moyenne un peu plus élevée (47 500 GNF contre 45 000 GNF), mais un écart type presque deux fois plus grand (21 530 GNF contre 12 000 GNF). Les recettes du marché B sont plus régulières ; celles du marché A sont plus élevées en moyenne mais beaucoup plus inégales d'une vendeuse à l'autre.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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