Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 19
Dénombrement : arrangements, permutations, combinaisons
Je sais compter méthodiquement les possibilités d'une situation en choisissant le bon outil : principe multiplicatif, p-listes, arrangements, permutations ou combinaisons.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le principe multiplicatif et un arbre de choix
- Calculer des factorielles, des arrangements et des combinaisons
- Reconnaître si l'ordre compte et s'il y a répétition pour choisir la bonne formule
- Dénombrer des tirages avec conditions (« exactement », « au moins »)
Avant de commencer : Les calculs sur les entiers et les puissances ; aucune connaissance préalable de dénombrement n'est nécessaire.
1Je découvre
Le club de lecture du lycée de Faranah compte 12 membres. Cette année, il doit faire deux choses :
- élire un bureau : un président, un secrétaire et un trésorier (trois personnes différentes) ;
- choisir une délégation de 3 membres pour représenter le club à une rencontre régionale.
Sékou, le secrétaire sortant, se demande combien de bureaux différents sont possibles, et combien de délégations. Il remarque une différence importante : dans le bureau, l'ordre compte (Fanta présidente et Alpha secrétaire, ce n'est pas la même chose qu'Alpha président et Fanta secrétaire), alors que dans la délégation, seule compte la liste des trois personnes, sans rôle particulier.
Écrire toutes les possibilités une par une prendrait des heures. Il faut des méthodes de calcul.
Comment compter rapidement le nombre de possibilités, et comment savoir quelle formule utiliser ?
2Je comprends
1. Le principe multiplicatif
Principe multiplicatif. Si un choix se fait en plusieurs étapes successives, avec n1 possibilités à la première étape, n2 à la deuxième (quel que soit le premier choix), etc., alors le nombre total de possibilités est le produit n1 × n2 × ….
On peut le visualiser avec un arbre : chaque étape ajoute un niveau de branches.
Exemple : un restaurant de Labé propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Un menu (une entrée, un plat, un dessert) peut être choisi de 3 × 4 × 2 = 24 façons.
2. Les p-listes (ordre et répétitions)
Une p-liste d'un ensemble à n éléments est une suite ordonnée de p éléments, pas forcément distincts. Il y a n choix pour chaque place, donc :
nombre de p-listes = np.
C'est le modèle des tirages successifs avec remise. Exemple : un code secret de 4 chiffres (de 0 à 9, répétitions permises) : 104 = 10 000 codes.
3. Factorielle et permutations
Pour un entier naturel n ≥ 1, la factorielle de n est n! = n × (n - 1) × … × 2 × 1. Par convention, 0! = 1.
Exemples : 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120 ; 6! = 720.
Une permutation de n éléments est une façon de les ranger tous dans un ordre. Il y a n choix pour la 1re place, n - 1 pour la 2e, etc. :
nombre de permutations de n éléments = n!.
Exemple : 5 livres différents peuvent être rangés sur une étagère de 5! = 120 façons.
4. Les arrangements (l'ordre compte, sans répétition)
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une suite ordonnée de p éléments distincts. Il y a n choix, puis n - 1, …, jusqu'à n - p + 1 :
Anp = n × (n - 1) × … × (n - p + 1) = n!(n - p)!.
C'est le modèle des tirages successifs sans remise et des attributions de rôles différents.
Exemple
Combien de bureaux (président, secrétaire, trésorier) peut-on former parmi les 12 membres du club ?
L'ordre compte (les rôles sont différents) et une personne ne peut pas avoir deux rôles.
A₁₂³ = 12 × 11 × 10 = 1 320 bureaux possibles.
5. Les combinaisons (l'ordre ne compte pas)
Une combinaison de p éléments parmi n est une partie (un sous-ensemble) de p éléments distincts, sans ordre. Chaque combinaison correspond à p! arrangements (toutes les façons d'ordonner ses éléments), donc :
Cnp = binomnp = Anpp! = n!p! (n - p)!.
C'est le modèle des tirages simultanés (on prend une poignée d'un coup) et des groupes sans rôle.
Exemple
Combien de délégations de 3 membres peut-on former parmi les 12 membres ?
L'ordre ne compte pas : C₁₂³ = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 1 320/6 = 220 délégations.
On retrouve que chaque délégation correspond à 3! = 6 bureaux.
Propriétés des combinaisons.
- Cn0 = Cnn = 1 ; Cn1 = n.
- Symétrie : Cnp = Cnn-p (choisir les p qui partent revient à choisir les n - p qui restent).
- Relation de Pascal : Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p. Elle permet de construire le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus.
| n \ p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
6. Choisir le bon outil
- 1Lire la situation : combien d'éléments n au départ ? combien p à choisir ?
- 2L'ordre compte-t-il (rôles, rangs, tirages successifs) ?
- 3Si oui et avec répétition possible (avec remise) : n puissance p.
- 4Si oui et sans répétition (sans remise) : arrangements, et n! si on range tous les éléments.
- 5Si l'ordre ne compte pas (groupe, tirage simultané) : combinaisons.
- 6S'il y a plusieurs étapes ou plusieurs catégories : multiplier les résultats.
| Situation | Ordre | Répétition | Nombre |
|---|---|---|---|
| Tirages successifs avec remise | oui | oui | np |
| Tirages successifs sans remise | oui | non | Anp |
| Rangement de tous les éléments | oui | non | n! |
| Tirage simultané, groupe | non | non | Cnp |
7. Dénombrer avec des conditions
Quand l'ensemble est formé de plusieurs catégories, on choisit dans chaque catégorie et on multiplie.
Pour « au moins un », il est souvent plus simple de compter le contraire (« aucun ») et de le retirer du total.
Exemple
Un club compte 6 filles et 4 garçons. Combien de comités de 3 personnes comprennent exactement 2 filles ? Au moins un garçon ?
Exactement 2 filles (donc 1 garçon) : C₆² × C₄¹ = 15 × 4 = 60 comités.
Au moins un garçon : total moins « aucun garçon » (3 filles).
Total : C₁₀³ = 120 ; aucun garçon : C₆³ = 20. Donc 120 − 20 = 100 comités.
Méthode
Pour résoudre un exercice de dénombrement :
- J'identifie l'ensemble de départ (n éléments) et ce que je forme (p éléments).
- Je me demande : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles possibles ?
- J'applique la formule correspondante ; s'il y a des catégories, je multiplie les choix de chaque catégorie.
- Pour « au moins un », je calcule total − « aucun ».
- Je vérifie que le résultat est un entier et qu'il est cohérent (une combinaison est plus petite que l'arrangement correspondant).
3Je retiens
Je retiens
Principe multiplicatif : plusieurs étapes successives, on multiplie les nombres de choix.
p-listes (ordre, avec répétition) : nᵖ.
Permutations de n éléments : n! = n × (n − 1) × … × 1 ; 0! = 1.
Arrangements (ordre, sans répétition) : Aₙᵖ = n!/(n − p)! = n(n − 1)…(n − p + 1).
Combinaisons (sans ordre) : Cₙᵖ = n!/[p!(n − p)!] = Aₙᵖ/p!.
Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ ; Cₙᵖ = Cₙ₋₁ᵖ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵖ (triangle de Pascal).
Au moins un = total − aucun.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser les combinaisons alors que l'ordre compte (rôles différents, classement) : il faut les arrangements.
- Additionner au lieu de multiplier les choix de plusieurs catégories : 2 filles ET 1 garçon, c'est C₆² × C₄¹.
- Écrire « au moins un » = « exactement un » : « au moins un » compte aussi les cas avec deux, trois… éléments.
- Oublier que 0! = 1, ce qui fausse C₅⁵ = 5!/(5! × 0!) = 1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
a) Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus différents ?
b) Combien de codes de 4 chiffres tous différents peut-on former avec les chiffres 0 à 9 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 × 4 × 2 = 24 menus.
b) L'ordre compte, sans répétition : A104 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes.
2Exercice 2
Calcule : 6! ; A72 ; C83 ; C108.
Voir le corrigéCacher le corrigé
6! = 720 ; A72 = 7 × 6 = 42 ; C83 = 8 × 7 × 63 × 2 × 1 = 3366 = 56 ; C108 = C102 = 10 × 92 = 45.
3Exercice 3
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes.
a) On tire simultanément 3 boules. Combien de tirages possibles ? Combien contiennent exactement 2 boules rouges ?
b) On tire successivement 3 boules sans remise. Combien de tirages possibles ?
c) On tire successivement 3 boules avec remise. Combien de tirages possibles ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Tirage simultané : C83 = 56. Exactement 2 rouges (et 1 verte) : C52 × C31 = 10 × 3 = 30.
b) Successifs sans remise : A83 = 8 × 7 × 6 = 336.
c) Successifs avec remise : 83 = 512.
4Exercice 4
Une classe de 12e SS compte 30 élèves : 18 filles et 12 garçons.
a) De combien de façons peut-on élire un délégué et un délégué adjoint ?
b) Combien de délégations de 4 élèves peut-on former ?
c) Combien de ces délégations comptent exactement 2 filles ?
d) Combien comptent au moins un garçon ?
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a) Deux rôles différents : A302 = 30 × 29 = 870.
b) Groupe sans rôle : C304 = 30 × 29 × 28 × 2724 = 27 405.
c) C182 × C122 = 153 × 66 = 10 098.
d) Aucun garçon : C184 = 3 060. Au moins un garçon : 27 405 - 3 060 = 24 345.
5Exercice 5
(Type BAC) Un panier contient 10 mangues, dont 3 sont abîmées. Une cliente en prend 4 au hasard, simultanément.
a) Combien de choix de 4 mangues sont possibles ?
b) Combien de choix ne contiennent aucune mangue abîmée ?
c) Combien de choix contiennent exactement une mangue abîmée ? exactement deux ? exactement trois ?
d) Combien de choix contiennent au moins une mangue abîmée ? Vérifie avec la question c).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) C104 = 10 × 9 × 8 × 724 = 210.
b) 4 mangues parmi les 7 saines : C74 = 35.
c) Exactement une abîmée : C31 × C73 = 3 × 35 = 105. Exactement deux : C32 × C72 = 3 × 21 = 63. Exactement trois : C33 × C71 = 1 × 7 = 7.
d) Au moins une abîmée : 210 - 35 = 175. Vérification : 105 + 63 + 7 = 175. Juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 12e SS
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
