Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 44
Demi-droites et segments
Je sais distinguer une droite, une demi-droite et un segment, les noter correctement et les tracer.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une demi-droite et son origine
- Définir un segment et ses extrémités
- Utiliser les notations (AB), [AB), [AB] et AB
- Reconnaître des demi-droites opposées
Avant de commencer : Droites et points alignés (notation (AB), symboles ∈ et ∉).
1Je découvre
Le soir, au bord du fleuve Niger à Siguiri, Ousmane allume sa lampe torche et la pointe vers l'autre rive. Le faisceau part de la lampe et file tout droit dans la nuit. Sa sœur Hawa remarque : « Ton rayon de lumière a un début, c'est ta lampe, mais il n'a pas de fin : il continue tant que rien ne l'arrête. »
Le lendemain, Ousmane mesure la corde qui attache la pirogue de leur père à un piquet. Cette fois, la corde a un début (le piquet) et une fin (l'anneau de la pirogue) : on peut la mesurer.
Et la route bien droite dont on ne voit ni le début ni la fin, qui disparaît à l'horizon dans les deux sens ? Elle ressemble à la droite de la leçon précédente.
Trois objets, trois « lignes droites » différentes : une sans début ni fin, une avec un début mais sans fin, une avec un début et une fin.
Comment appelle-t-on et comment note-t-on ces trois sortes de lignes droites ?
2Je comprends
1. Rappel : la droite
Une droite est illimitée dans les deux sens. La droite qui passe par A et B se note (AB). On peut aussi la noter (BA).
2. La demi-droite
Un point A d'une droite partage cette droite en deux parties. Chacune de ces parties, avec le point A, s'appelle une demi-droite d'origine A.
Définition. Une demi-droite est une partie de droite limitée d'un seul côté par un point appelé origine. De l'autre côté, elle est illimitée.
La demi-droite d'origine A qui passe par le point B se note [AB) : le crochet est du côté de A, car la demi-droite s'arrête en A ; la parenthèse est du côté de B, car elle continue au-delà de B.
Attention : [AB) et [BA) ne sont pas la même demi-droite. [AB) part de A et passe par B ; [BA) part de B et passe par A. Elles vont dans des directions opposées.
On peut aussi nommer une demi-droite par son origine et une lettre minuscule : la demi-droite [Ox) a pour origine O.
3. Le segment
Définition. Un segment est une partie de droite limitée des deux côtés. Les deux points qui le limitent sont ses extrémités.
Le segment d'extrémités A et B se note [AB] (crochets des deux côtés). Ici, [AB] et [BA] désignent le même segment.
La longueur du segment [AB] se note AB, sans crochets ni parenthèses. On écrira par exemple AB = 5 cm. Tu apprendras à mesurer les segments dans la leçon suivante.
4. Tableau récapitulatif des notations
| Objet | Notation | Limité ? | Se lit |
|---|---|---|---|
| Droite | (AB) | jamais | la droite AB |
| Demi-droite | [AB) | seulement en A | la demi-droite d'origine A passant par B |
| Segment | [AB] | en A et en B | le segment AB |
| Longueur | AB | c'est un nombre | la longueur AB |
Moyen de retenir : le crochet [ « ferme » l'objet (il s'arrête là), la parenthèse ( « laisse ouvert » (il continue).
5. Appartenance
Les symboles ∈ et ∉ s'utilisent aussi avec les demi-droites et les segments.
Exemple
On place, dans cet ordre, quatre points alignés M, N, P, Q sur une droite. Compléter avec ∈ ou ∉.
N ∈ [MP] : N est entre M et P.
Q ∉ [MP] : Q est au-delà de P, en dehors du segment.
Q ∈ [MP) : la demi-droite part de M, passe par P et continue, donc elle atteint Q.
M ∉ [NP) : la demi-droite part de N vers P ; M est de l'autre côté de N.
M ∈ [PN) : la demi-droite part de P, passe par N et continue jusqu'à M.
6. Demi-droites opposées
Définition. Deux demi-droites de même origine, portées par la même droite et de sens contraires sont dites opposées. Leur réunion forme la droite entière.
Exemple
Sur une droite, on place trois points alignés dans l'ordre A, O, B.
Les demi-droites [OA) et [OB) ont la même origine O et partent dans des sens contraires : elles sont opposées.
Réunies, elles forment la droite (AB).
En revanche, [AO) et [OB) ne sont pas opposées : elles n'ont pas la même origine.
Méthode
Pour nommer correctement un objet tracé :
- Je regarde s'il est limité à gauche et à droite.
- Limité des deux côtés : c'est un segment, je l'écris avec deux crochets [AB].
- Limité d'un seul côté : c'est une demi-droite ; j'écris d'abord l'origine, avec un crochet, puis un autre point, avec une parenthèse : [AB).
- Jamais limité : c'est une droite, j'écris (AB).
7. Combien d'objets ?
Exemple
Trois points alignés A, B, C sont placés dans cet ordre. Combien y a-t-il de segments ayant pour extrémités deux de ces points ?
Les segments sont [AB], [BC] et [AC] : il y en a 3.
Il n'y a qu'une seule droite : (AB), (BC) et (AC) sont la même droite.
Les demi-droites qui ont pour origine l'un des points et passent par un autre sont : [AB) = [AC), [BA), [BC), [CB) = [CA). Il y en a 4 différentes.
3Je retiens
Je retiens
Une droite (AB) est illimitée des deux côtés.
Une demi-droite [AB) a une origine A et continue sans fin après B. [AB) et [BA) sont différentes.
Un segment [AB] est limité par ses deux extrémités A et B. [AB] = [BA].
AB (sans signe) désigne la longueur du segment [AB] : c'est un nombre.
Deux demi-droites de même origine, sur la même droite et de sens contraires, sont opposées.
Le crochet ferme, la parenthèse laisse ouvert.
4Erreurs fréquentes
- Écrire [AB] = 5 cm : un segment n'est pas un nombre. On écrit AB = 5 cm.
- Confondre [AB) et [BA) : l'origine est toujours la lettre placée juste après le crochet.
- Tracer une demi-droite en s'arrêtant au deuxième point : une demi-droite continue au-delà de ce point, il faut prolonger le trait.
- Oublier qu'un point peut appartenir à une demi-droite sans être entre les deux lettres de son nom : si C est après B, alors C ∈ [AB).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trois points alignés A, B, C sont placés dans cet ordre. Réponds par « vrai » ou « faux ».
a) B ∈ [AC] b) C ∈ [AB] c) C ∈ [AB) d) A ∈ [BC)
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a) Vrai : B est entre A et C.
b) Faux : C est au-delà de B, donc hors du segment [AB].
c) Vrai : la demi-droite [AB) continue après B et atteint C.
d) Faux : la demi-droite [BC) part de B vers C ; A est de l'autre côté de B.
2Exercice 2
Écris la notation qui convient.
a) Le segment d'extrémités E et F.
b) La demi-droite d'origine K passant par L.
c) La droite passant par R et S.
d) La longueur du segment d'extrémités T et U.
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a) [EF] (ou [FE]).
b) [KL).
c) (RS) (ou (SR)).
d) TU.
3Exercice 3
Trace une droite (d). Places-y trois points R, S, T dans cet ordre.
a) Colorie en rouge la demi-droite [SR) et en bleu la demi-droite [ST).
b) Que peux-tu dire de ces deux demi-droites ? Justifie.
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a) La demi-droite [SR) part de S et va vers R (et au-delà) ; la demi-droite [ST) part de S et va vers T (et au-delà).
b) Elles ont la même origine S, elles sont portées par la même droite (d) et elles vont dans des sens contraires : ce sont des demi-droites opposées.
4Exercice 4
Place quatre points A, B, C, D, sans que trois d'entre eux soient alignés.
a) Trace les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle figure obtiens-tu ?
b) Trace la demi-droite [AC) et la demi-droite [BD). Se coupent-elles ?
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a) On obtient un quadrilatère ABCD (une figure fermée à quatre côtés).
b) Cela dépend de la position des points. Si ABCD est un quadrilatère « sans creux » (comme un rectangle ou un losange), les demi-droites [AC) et [BD) se coupent à l'intérieur du quadrilatère, au point où se croisent ses diagonales.
5Exercice 5
(Problème) Au bord du fleuve, Ousmane place quatre bornes alignées M, N, P, Q, dans cet ordre, le long d'un chemin droit.
a) Combien de segments différents ont pour extrémités deux de ces bornes ? Nomme-les.
b) Écris deux demi-droites opposées d'origine N.
c) Le point Q appartient-il à la demi-droite [NM) ? Justifie.
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a) Il y a 6 segments : [MN], [MP], [MQ], [NP], [NQ], [PQ].
b) Les demi-droites [NM) et [NP) sont opposées : même origine N, même droite, sens contraires. (On peut aussi écrire [NQ) à la place de [NP), c'est la même demi-droite.)
c) Non. La demi-droite [NM) part de N en direction de M. Or Q est de l'autre côté de N (après P). Donc Q ∉ [NM).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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