Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 44
Points symétriques par rapport à un point
Je sais construire le symétrique d'un point par rapport à un autre point, sur papier blanc et sur quadrillage.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le symétrique d'un point par rapport à un point O
- Construire ce symétrique à la règle graduée ou au compas
- Construire ce symétrique sur un quadrillage ou dans un repère
- Justifier que deux points sont symétriques par rapport à O
Avant de commencer : Le milieu d'un segment ; les points alignés ; le compas ; la lecture de coordonnées sur un quadrillage.
1Je découvre
Dans la cour de l'école de Faranah, les élèves jouent à « la ronde du baobab ». Kadiatou se place d'un côté du baobab, à 6 pas du tronc. Le maître demande à Alpha de se placer « exactement en face » d'elle, de l'autre côté du tronc.
Alpha se met en face, mais à 10 pas du tronc. « Non ! » crie Kadiatou, « tu dois être aussi loin que moi ! » Alpha s'approche, mais il se décale un peu vers la gauche. « Encore faux : le baobab doit être pile entre nous deux, sur la même ligne ! »
Finalement, Alpha trouve la bonne place : Kadiatou, le tronc et lui sont alignés, et il est lui aussi à 6 pas du tronc. On dit qu'Alpha est le symétrique de Kadiatou par rapport au baobab.
Comment trouver avec précision le symétrique d'un point par rapport à un autre point ?
2Je comprends
1. Définition
Soit O un point fixé, appelé centre de symétrie.
Le symétrique d'un point A par rapport au point O est le point A' tel que O est le milieu du segment [AA'].
Cela veut dire deux choses à la fois :
- les points A, O et A' sont alignés ;
- OA = OA'.
On dit aussi que A' est l'image de A par la symétrie de centre O (on dit aussi symétrie centrale).
Remarques importantes :
- Si A' est le symétrique de A, alors A est aussi le symétrique de A' : on dit que A et A' sont symétriques par rapport à O.
- Le symétrique du point O lui-même est O : le centre est le seul point qui ne bouge pas.
La symétrie centrale correspond à un demi-tour autour du point O : si tu fais tourner la feuille d'un demi-tour en tenant la pointe du compas sur O, le point A vient se placer en A'.
2. Construire le symétrique à la règle graduée
Méthode
Pour construire le symétrique A' de A par rapport à O, à la règle graduée :
- Je trace la demi-droite [AO) qui part de A et passe par O.
- Je mesure la longueur OA.
- Sur la demi-droite, au-delà de O, je place le point A' tel que OA' = OA.
- Je code la figure : deux petits traits identiques sur [OA] et [OA'].
Exemple
OA = 3,5 cm. Construire A', symétrique de A par rapport à O.
Je trace la demi-droite [AO). Je mesure : OA = 3,5 cm. Je place A' sur cette demi-droite, de l'autre côté de O, à 3,5 cm de O. Alors AA' = 3,5 + 3,5 = 7 cm et O est le milieu de [AA'].
3. Construire le symétrique au compas
Cette méthode est plus précise, car on ne lit aucune graduation.
Méthode
Pour construire A' au compas et à la règle non graduée :
- Je trace la demi-droite [AO).
- Je pique le compas en O et je prends l'écartement OA.
- Je trace un arc de cercle de centre O qui coupe la demi-droite de l'autre côté de O.
- Le point d'intersection est A'. Je code OA = OA'.
L'arc est un morceau du cercle de centre O et de rayon OA : tous ses points sont à la distance OA de O. Le point A' est donc à la bonne distance et sur la bonne ligne.
4. Sur un quadrillage ou dans un repère
Sur un quadrillage, on compte les carreaux : pour aller de A à O, on fait un certain déplacement ; pour aller de O à A', on refait exactement le même déplacement, dans le même sens.
Exemple
Dans un repère, O(1 ; 1) et A(4 ; 3). Trouver les coordonnées de A'.
Pour aller de A à O : on recule de 3 carreaux vers la gauche (4 → 1) et on descend de 2 carreaux (3 → 1).
Pour aller de O à A' : on refait le même déplacement, 3 vers la gauche (1 → −2) et 2 vers le bas (1 → −1).
Donc A'(−2 ; −1).
Vérification : le milieu de [AA'] a pour coordonnées ((4 + (−2)) ÷ 2 ; (3 + (−1)) ÷ 2) = (1 ; 1). C'est bien O.
Exemple
Dans un repère d'origine O(0 ; 0), quel est le symétrique de B(2 ; −5) par rapport à O ?
On fait le demi-tour autour de l'origine : les deux coordonnées changent de signe. B'(−2 ; 5).
Cas particulier : par rapport à l'origine O(0 ; 0) d'un repère, le symétrique du point (x ; y) est le point (-x ; -y).
5. Justifier que deux points sont symétriques
Pour prouver que M et N sont symétriques par rapport à O, il faut montrer que O est le milieu de [MN], c'est-à-dire :
- M, O, N sont alignés ;
- OM = ON.
Un seul de ces deux points ne suffit pas. Par exemple, si OM = ON = 4 cm mais que M, O, N forment un triangle, M et N ne sont pas symétriques par rapport à O : c'était l'erreur d'Alpha quand il s'était décalé.
| Situation | Symétriques par rapport à O ? |
|---|---|
| alignés et OM = ON | oui |
| alignés mais OM ≠ ON | non |
| OM = ON mais non alignés | non |
| M et N du même côté de O | non |
6. Retour à la ronde du baobab
Le baobab joue le rôle du centre O. Kadiatou est le point A, Alpha le point A'. Pour être le symétrique, Alpha devait être sur la ligne « Kadiatou – tronc », de l'autre côté du tronc, et à la même distance : 6 pas. Le tronc est alors le milieu du segment qui les relie.
3Je retiens
Je retiens
A' est le symétrique de A par rapport à O lorsque O est le milieu de [AA'].
Cela signifie : A, O, A' alignés et OA = OA'.
Le symétrique de O par rapport à O est O lui-même.
Construction : je trace [AO), puis je reporte la longueur OA au-delà de O (règle graduée ou compas).
Sur un quadrillage : de O à A', je refais le même déplacement que de A à O.
Par rapport à l'origine d'un repère, le symétrique de (x ; y) est (−x ; −y).
4Erreurs fréquentes
- Placer A' du même côté que A : le point A' doit être de l'autre côté de O.
- Vérifier seulement la distance (OA = OA') en oubliant l'alignement : les deux conditions sont obligatoires.
- Sur un quadrillage, inverser le sens d'un déplacement : si l'on va vers le bas de A à O, on continue vers le bas de O à A'.
- Confondre le symétrique de A par rapport à O avec le milieu de [AO] : le milieu est entre A et O, le symétrique est au-delà de O.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace un segment [AO] de 4 cm. Construis le point A' symétrique de A par rapport à O. Combien mesure AA' ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Je trace la demi-droite [AO) et je reporte au-delà de O la longueur OA = 4 cm : j'obtiens A' avec OA' = 4 cm. O est le milieu de [AA'], donc AA' = 4 + 4 = 8 cm.
2Exercice 2
Place trois points R, S, T non alignés. Construis au compas : a) R', symétrique de R par rapport à S ; b) T', symétrique de T par rapport à S.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Je trace [RS), je pique le compas en S avec l'écartement SR et je trace un arc qui coupe la demi-droite au-delà de S : c'est R'. On a SR = SR' et S milieu de [RR'].
b) Même méthode : je trace [TS), je reporte ST au-delà de S et j'obtiens T' avec S milieu de [TT'].
3Exercice 3
Dans un repère, on donne O(0 ; 0). Donne les coordonnées des symétriques par rapport à O de : A(3 ; 2), B(-4 ; 1), C(0 ; 5), D(-2 ; -6).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Par rapport à l'origine, les deux coordonnées changent de signe :
A'(-3 ; -2) ; B'(4 ; -1) ; C'(0 ; -5) ; D'(2 ; 6).
4Exercice 4
Dans un repère, K(2 ; 1) est le centre de symétrie. Trouve le symétrique de M(5 ; 3) et celui de N(0 ; 4) par rapport à K. Vérifie avec le milieu.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour M : de M(5 ; 3) à K(2 ; 1), on va de 3 vers la gauche et de 2 vers le bas. De K, on refait le même déplacement : M'(2 - 3 ; 1 - 2) = M'(-1 ; -1).
Vérification : milieu de [MM'] : (5 + (-1)2 ; 3 + (-1)2) = (2 ; 1), c'est K.
Pour N : de N(0 ; 4) à K(2 ; 1), on va de 2 vers la droite et de 3 vers le bas. Donc N'(2 + 2 ; 1 - 3) = N'(4 ; -2).
Vérification : (0 + 42 ; 4 + (-2)2) = (2 ; 1), c'est K.
5Exercice 5
(Problème) Sur une piste droite qui mène au marché de Siguiri, la borne kilométrique O est à 1,8 km de la maison de Lansana. Son ami Ousmane habite sur la même piste, de l'autre côté de la borne, et sa maison est la symétrique de celle de Lansana par rapport à la borne.
a) À quelle distance de la borne habite Ousmane ?
b) Quelle distance sépare les deux maisons ?
c) Mariama dit : « J'habite aussi à 1,8 km de la borne, donc ma maison est la symétrique de celle de Lansana. » A-t-elle forcément raison ? Explique.
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a) La borne O est le milieu du segment qui relie les deux maisons : Ousmane habite à 1,8 km de la borne.
b) 1,8 + 1,8 = 3,6 km.
c) Non, pas forcément. Pour être symétrique, la maison de Mariama devrait aussi être alignée avec la maison de Lansana et la borne, de l'autre côté de la borne. Si elle habite à 1,8 km mais sur un autre chemin, sa maison n'est pas la symétrique. (Si elle est sur la même piste, de l'autre côté, alors elle est la voisine d'Ousmane : c'est la même position.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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