Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 44
Triangles et quadrilatères
Je sais nommer et décrire un triangle ou un quadrilatère, reconnaître les triangles et quadrilatères particuliers et construire un triangle dont on connaît les côtés.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des polygones (sommet, côté, angle, diagonale)
- Reconnaître les triangles particuliers (isocèle, équilatéral, rectangle)
- Construire un triangle connaissant ses trois côtés
- Utiliser la somme des angles d'un triangle
- Reconnaître les quadrilatères particuliers
Avant de commencer : Segments et mesure des longueurs ; droites perpendiculaires et parallèles ; le cercle et le compas ; les angles.
1Je découvre
À Boké, Sékou regarde son père tendre des cordes pour délimiter un nouveau champ d'arachide. Le père plante quatre piquets et les relie par une corde : le champ a quatre côtés. Plus loin, le voisin a un petit terrain coincé entre deux chemins et le fleuve : trois piquets suffisent, le terrain a trois côtés.
Le père explique : « Pour le terrain à trois côtés, si je connais la longueur des trois cordes, je peux le retracer exactement ailleurs. Pour le champ à quatre côtés, ce n'est pas si simple : il peut se déformer. »
Sékou remarque aussi que certains terrains ont des côtés de même longueur, ou des coins bien droits comme ceux d'une case carrée, et d'autres non.
Comment décrire, nommer et construire ces figures à trois et à quatre côtés ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire des polygones
Un polygone est une figure fermée formée de segments. Chaque segment est un côté ; chaque extrémité commune de deux côtés est un sommet.
- Un polygone à 3 côtés est un triangle.
- Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère.
On nomme un polygone en citant ses sommets dans l'ordre, en faisant le tour de la figure : le triangle ABC, le quadrilatère MNPQ.
2. Le triangle
Un triangle ABC a :
- 3 sommets : A, B, C ;
- 3 côtés : [AB], [BC], [CA] ;
- 3 angles : BAC, ABC, ACB.
Le côté [BC] est dit opposé au sommet A (il ne passe pas par A).
Propriété. La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à 180°.
Tu peux le constater : découpe un triangle en papier, déchire ses trois coins et place-les côte à côte, sommets réunis. Ils forment un angle plat.
Exemple
Dans un triangle ABC, BAC = 50° et ABC = 70°. Combien mesure ACB ?
La somme des trois angles vaut 180° :
ACB = 180° − (50° + 70°) = 180° − 120° = 60°.
3. Les triangles particuliers
| Triangle | Définition | Codage et propriété |
|---|---|---|
| isocèle en A | deux côtés de même longueur : AB = AC | A est le sommet principal, [BC] la base ; les angles à la base sont égaux : ABC = ACB |
| équilatéral | trois côtés de même longueur | ses trois angles mesurent chacun 60° |
| rectangle en A | un angle droit en A | [BC], opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse ; les deux autres angles sont complémentaires |
| rectangle isocèle en A | angle droit en A et AB = AC | ses deux autres angles mesurent 45° |
Un triangle qui n'a aucune de ces particularités est dit quelconque.
4. Construire un triangle connaissant ses trois côtés
Méthode
Pour construire un triangle ABC connaissant AB, AC et BC :
- Je trace à la règle le côté [AB] à la bonne longueur.
- Je prends un écartement de compas égal à AC, je pique en A et je trace un arc.
- Je prends un écartement égal à BC, je pique en B et je trace un arc qui coupe le premier.
- Le point d'intersection des deux arcs est C. Je trace [AC] et [BC].
- Je vérifie les trois longueurs à la règle et je code les côtés égaux s'il y en a.
Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
- Je trace [AB] de 6 cm.
- Arc de centre A et de rayon 4 cm.
- Arc de centre B et de rayon 5 cm ; les arcs se coupent en C.
- Je trace [AC] et [BC]. Le triangle obtenu est quelconque.
Attention : ce n'est pas toujours possible. Avec AB = 10 cm, AC = 3 cm et BC = 4 cm, les arcs ne se coupent pas, car 3 + 4 = 7 est plus petit que 10. Pour qu'un triangle existe, chaque côté doit être plus petit que la somme des deux autres. C'est l'inégalité triangulaire.
5. Le quadrilatère
Un quadrilatère ABCD a 4 sommets, 4 côtés et 4 angles.
- Les côtés [AB] et [CD] sont opposés (ils n'ont pas de sommet commun) ; de même [BC] et [DA].
- Les côtés [AB] et [BC] sont consécutifs (ils ont le sommet B en commun).
- Les segments qui joignent deux sommets non consécutifs sont les diagonales : [AC] et [BD].
Attention à l'ordre des lettres : ABCD et ACBD ne désignent pas le même quadrilatère.
6. Les quadrilatères particuliers
| Quadrilatère | Définition |
|---|---|
| trapèze | deux côtés opposés parallèles |
| parallélogramme | côtés opposés parallèles deux à deux |
| rectangle | quatre angles droits |
| losange | quatre côtés de même longueur |
| carré | quatre angles droits et quatre côtés de même longueur |
Le carré est à la fois un rectangle et un losange. Tu étudieras en détail le parallélogramme, le rectangle et le carré dans les prochaines leçons.
Exemple
Un quadrilatère EFGH a quatre angles droits, EF = 7 cm et FG = 4 cm. Quelle est sa nature ?
Il a quatre angles droits : c'est un rectangle. Ses côtés consécutifs EF et FG ne sont pas égaux (7 cm et 4 cm) : ce n'est pas un carré.
7. Retour au champ de Sékou
Le terrain à trois côtés est un triangle : connaître ses trois côtés suffit pour le reconstruire, grâce au compas. Le champ à quatre côtés est un quadrilatère : avec seulement les quatre longueurs, il peut « s'aplatir » comme un cadre articulé. C'est pour cela que les charpentiers ajoutent une barre en diagonale : elle découpe le quadrilatère en deux triangles, qui ne se déforment pas.
3Je retiens
Je retiens
Triangle : 3 sommets, 3 côtés, 3 angles ; la somme de ses angles vaut 180°.
Isocèle : 2 côtés égaux (angles à la base égaux). Équilatéral : 3 côtés égaux (3 angles de 60°). Rectangle : un angle droit (côté opposé = hypoténuse).
Pour construire un triangle connaissant ses 3 côtés : règle pour le premier côté, compas pour les deux autres.
Un triangle existe seulement si chaque côté est plus petit que la somme des deux autres.
Quadrilatère : 4 côtés ; côtés opposés, côtés consécutifs, 2 diagonales.
Trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré sont des quadrilatères particuliers.
4Erreurs fréquentes
- Nommer les sommets dans le désordre : ABCD se lit en faisant le tour de la figure ; ACBD serait un autre quadrilatère.
- Confondre côté et diagonale : une diagonale relie deux sommets qui ne se suivent pas.
- Oublier que le sommet principal d'un triangle isocèle est celui où arrivent les deux côtés égaux.
- Construire un triangle « à l'œil » au lieu d'utiliser le compas : les longueurs deviennent approximatives.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On considère le quadrilatère RSTU. a) Cite ses côtés. b) Cite ses diagonales. c) Cite deux côtés opposés et deux côtés consécutifs.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les côtés sont [RS], [ST], [TU] et [UR].
b) Les diagonales sont [RT] et [SU].
c) Côtés opposés : [RS] et [TU] (ou [ST] et [UR]). Côtés consécutifs : [RS] et [ST] (ils ont le sommet S en commun).
2Exercice 2
Donne la nature de chaque triangle : a) DEF avec DE = DF = 5 cm et EF = 3 cm ; b) GHI avec GH = HI = IG = 4 cm ; c) KLM avec KLM = 90° ; d) NOP avec PNO = 90° et NO = NP.
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a) DE = DF : triangle isocèle en D (et non équilatéral car EF = 3 cm).
b) Trois côtés égaux : triangle équilatéral.
c) Angle droit en L : triangle rectangle en L.
d) Angle droit en N et NO = NP : triangle rectangle isocèle en N.
3Exercice 3
Calcule le troisième angle du triangle : a) 30° et 80° ; b) triangle rectangle avec un angle de 35° ; c) triangle isocèle dont le sommet principal mesure 40°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 180° - (30° + 80°) = 180° - 110° = 70°.
b) Les angles sont 90°, 35° et 180° - (90° + 35°) = 55°.
c) Les deux angles à la base sont égaux et valent ensemble 180° - 40° = 140° ; chacun mesure 140° ÷ 2 = 70°.
4Exercice 4
Construis le triangle IJK tel que IJ = 7 cm, IK = 5 cm et JK = 5 cm. Quelle est sa nature ? Explique ta construction.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Je trace [IJ] de 7 cm. Je trace un arc de centre I et de rayon 5 cm, puis un arc de centre J et de rayon 5 cm ; ils se coupent en K. Je trace [IK] et [JK]. Comme KI = KJ = 5 cm, le triangle IJK est isocèle en K.
5Exercice 5
Peut-on construire un triangle avec ces longueurs ? Justifie. a) 3 cm, 5 cm, 6 cm ; b) 2 cm, 3 cm, 8 cm.
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a) Le plus grand côté est 6 cm et 3 + 5 = 8 ; 6 < 8 : oui, le triangle existe.
b) Le plus grand côté est 8 cm et 2 + 3 = 5 ; 8 > 5 : non, les arcs ne se coupent pas.
6Exercice 6
(Problème) Un menuisier de Mamou veut fabriquer une étagère triangulaire en forme de triangle équilatéral de 40 cm de côté.
a) Quelle longueur totale de baguette de bois lui faut-il pour le contour ?
b) Quelle est la mesure de chacun des angles ?
c) Il coupe ensuite le triangle en deux en suivant la bissectrice d'un angle. Combien mesurent les deux angles obtenus au sommet ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le triangle a trois côtés de 40 cm : 3 × 40 = 120 cm de baguette, soit 1,20 m.
b) Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180° : chacun mesure 180° ÷ 3 = 60°.
c) La bissectrice partage l'angle de 60° en deux angles de 60° ÷ 2 = 30°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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