Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 44
Le carré
Je sais reconnaître et construire un carré, utiliser toutes ses propriétés et calculer son périmètre.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le carré
- Savoir qu'un carré est à la fois un rectangle et un losange
- Connaître les propriétés de ses diagonales
- Démontrer qu'un quadrilatère est un carré
- Construire un carré et calculer son périmètre
Avant de commencer : Le parallélogramme ; le rectangle ; la définition du losange ; les droites perpendiculaires.
1Je découvre
À Kankan, Kadiatou et son frère Ousmane découpent des carreaux de tissu pour coudre une couverture en patchwork. Chaque carreau doit être un carré parfait, sinon les morceaux ne s'emboîteront pas.
Ousmane découpe un morceau avec quatre côtés de 20 cm : « Voilà un carré ! » Kadiatou le pose sur la table : le morceau est tout aplati, comme un losange. « Quatre côtés égaux, ça ne suffit pas, il faut aussi des coins droits ! »
Kadiatou découpe alors un morceau avec quatre coins droits, mais il fait 20 cm sur 25 cm : c'est un rectangle allongé. Ousmane rit : « Des coins droits, ça ne suffit pas non plus ! »
Qu'est-ce qui fait qu'un quadrilatère est un vrai carré, et comment le vérifier rapidement ?
2Je comprends
1. Définition
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
La longueur commune des côtés est souvent notée c (le « côté » du carré).
2. Le carré, figure « championne »
- Il a quatre angles droits : c'est un rectangle.
- Il a quatre côtés de même longueur : c'est un losange (tu te souviens : un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur).
- Rectangle et losange sont des parallélogrammes : le carré est donc aussi un parallélogramme.
Le carré réunit toutes les propriétés de ces trois figures.
- 4 angles droits
- diagonales de même longueur
- 2 axes de symétrie
- un centre de symétrie
- 4 côtés égaux
- diagonales perpendiculaires
- 2 axes de symétrie
- un centre de symétrie
3. Les diagonales du carré
Propriété. Les diagonales d'un carré :
- ont le même milieu (comme pour tout parallélogramme) ;
- ont la même longueur (comme pour le rectangle) ;
- sont perpendiculaires (comme pour le losange).
Chaque diagonale est aussi la bissectrice des deux angles droits qu'elle traverse : elle les coupe en deux angles de 45°.
Conséquence : si O est le centre du carré ABCD, les quatre triangles OAB, OBC, OCD et ODA sont rectangles et isocèles en O.
Le carré possède quatre axes de symétrie (ses deux diagonales et les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés) et un centre de symétrie O.
4. Démontrer qu'un quadrilatère est un carré
On peut utiliser l'une de ces propriétés :
- un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un carré ;
- un losange qui a un angle droit est un carré ;
- un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré ;
- un losange dont les diagonales ont la même longueur est un carré.
Exemple
ABCD est un rectangle avec AB = 5 cm et BC = 5 cm. Est-ce un carré ?
ABCD est un rectangle et ses côtés consécutifs [AB] et [BC] ont la même longueur.
Or un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.
Donc ABCD est un carré.
Exemple
Les diagonales [EG] et [FH] d'un quadrilatère EFGH se coupent en I, avec IE = IF = IG = IH = 3 cm et (EG) perpendiculaire à (FH). Quelle est la nature de EFGH ?
I est le milieu des deux diagonales : EFGH est un parallélogramme.
EG = FH = 6 cm : les diagonales ont la même longueur, donc c'est un rectangle.
Ses diagonales sont perpendiculaires : un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré.
Donc EFGH est un carré.
5. Construire un carré
Méthode
Pour construire un carré ABCD de côté c :
- Je trace [AB] de longueur c.
- Avec l'équerre, je trace les perpendiculaires à (AB) en A et en B.
- Au compas, je reporte la longueur c sur chaque perpendiculaire, du même côté : j'obtiens D et C.
- Je trace [DC] et je vérifie : DC = c et les diagonales AC et BD sont égales.
Avec les diagonales : on trace deux segments perpendiculaires, de même longueur, qui se coupent en leur milieu. Leurs quatre extrémités sont les sommets d'un carré. C'est pratique quand on connaît la diagonale.
6. Le périmètre du carré
Un carré a quatre côtés de même longueur c :
P = 4 × c et, dans l'autre sens, c = P ÷ 4.
Exemple
Un jardin carré de Labé a 12,5 m de côté. Quel est son périmètre ?
P = 4 × 12,5 = 50 m.
Exemple
Un carré a un périmètre de 38 cm. Quel est son côté ?
c = 38 ÷ 4 = 9,5 cm.
7. Tableau de synthèse des quadrilatères étudiés
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Carré |
|---|---|---|---|
| côtés opposés parallèles | oui | oui | oui |
| quatre côtés égaux | non (en général) | non (en général) | oui |
| quatre angles droits | non (en général) | oui | oui |
| diagonales de même milieu | oui | oui | oui |
| diagonales de même longueur | non (en général) | oui | oui |
| diagonales perpendiculaires | non (en général) | non (en général) | oui |
8. Retour au patchwork
Le morceau d'Ousmane avait quatre côtés égaux mais pas d'angle droit : c'était un losange. Celui de Kadiatou avait quatre angles droits mais des côtés inégaux : c'était un rectangle. Un vrai carré doit avoir les deux. Pour vérifier vite un carreau, Kadiatou peut mesurer un côté de plus : si le rectangle a deux côtés consécutifs égaux, c'est un carré.
3Je retiens
Je retiens
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Un carré est à la fois un rectangle, un losange et un parallélogramme.
Ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires.
Rectangle + deux côtés consécutifs égaux = carré. Losange + un angle droit = carré.
Périmètre : P = 4 × c ; côté : c = P ÷ 4.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'un quadrilatère à quatre côtés égaux est un carré : c'est seulement un losange s'il n'a pas d'angle droit.
- Oublier que le carré est aussi un rectangle : on peut lui appliquer toutes les propriétés du rectangle.
- Construire un carré « à l'œil » sans équerre : les angles ne sont pas droits.
- Calculer le périmètre avec 2 × c au lieu de 4 × c.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le périmètre d'un carré de côté : a) 7 cm ; b) 2,5 m ; c) 0,8 km.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 × 7 = 28 cm. b) 4 × 2,5 = 10 m. c) 4 × 0,8 = 3,2 km.
2Exercice 2
Calcule le côté d'un carré de périmètre : a) 36 cm ; b) 50 m ; c) 6 cm.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 36 ÷ 4 = 9 cm. b) 50 ÷ 4 = 12,5 m. c) 6 ÷ 4 = 1,5 cm.
3Exercice 3
ABCD est un carré de centre O et AC = 8 cm. Calcule BD, OA et OB. Quelle est la mesure de l'angle AOB ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les diagonales d'un carré ont la même longueur : BD = AC = 8 cm. Elles ont le même milieu O : OA = OB = 8 ÷ 2 = 4 cm. Elles sont perpendiculaires : AOB = 90°.
4Exercice 4
Vrai ou faux ? Justifie. a) Tout carré est un rectangle. b) Tout rectangle est un carré. c) Un losange qui a un angle droit est un carré. d) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Vrai : un carré a quatre angles droits, c'est donc un rectangle.
b) Faux : un rectangle de 5 cm sur 3 cm n'a pas quatre côtés égaux.
c) Vrai : c'est une des propriétés pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré.
d) Faux : les diagonales d'un losange quelconque sont perpendiculaires, et ce n'est pas un carré. Il faut aussi des diagonales de même milieu et de même longueur.
5Exercice 5
Construis un carré dont les diagonales mesurent 6 cm. Explique ta méthode.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Je trace un segment [AC] de 6 cm et son milieu O. Avec l'équerre, je trace la perpendiculaire à (AC) passant par O. Au compas, je place sur cette perpendiculaire B et D de part et d'autre de O, avec OB = OD = 3 cm. Je trace ABCD. Les diagonales ont le même milieu, la même longueur (6 cm) et sont perpendiculaires : ABCD est un carré.
6Exercice 6
(Problème) Pour la fête de l'école de Kindia, Sékou fabrique un cadre carré en bambou. Il dispose d'une tige de 3 m et veut utiliser toute la longueur pour le contour.
a) Quelle sera la longueur de chaque côté du cadre (en cm) ?
b) Pour rigidifier le cadre, il ajoute deux bambous en diagonale. Elles se croisent au point O. Quelle propriété lui permet d'être sûr que O est au milieu des deux diagonales ?
c) Quel angle font les deux diagonales entre elles ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 m = 300 cm. Côté : 300 ÷ 4 = 75 cm.
b) Un carré est un parallélogramme, et les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu : O est le milieu des deux bambous.
c) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : elles forment un angle de 90°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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