Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 44
Les fractions égales
Je sais reconnaître et fabriquer des fractions égales, et vérifier si deux fractions sont égales.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Rappeler le sens d'une fraction (numérateur, dénominateur)
- Obtenir une fraction égale en multipliant ou divisant ses deux termes par un même nombre
- Vérifier l'égalité de deux fractions (produits en croix, écriture décimale)
- Compléter des égalités de fractions et réduire au même dénominateur
Avant de commencer : Les multiples et les diviseurs d'un nombre entier ; la multiplication et la division ; les nombres décimaux.
1Je découvre
Pour la fête de la Tabaski, Fanta et Mariama ont chacune reçu un gâteau de même taille. Fanta a coupé le sien en 4 parts égales et en a mangé 3. Mariama a coupé le sien en 8 parts égales et en a mangé 6.
Mariama proteste : « J'ai mangé 6 parts et toi seulement 3, j'ai donc mangé deux fois plus que toi ! » Fanta secoue la tête : « Mais tes parts sont deux fois plus petites que les miennes… »
Leur grand frère Mamadou pose les deux plats côte à côte : les deux morceaux restants ont exactement la même taille. Les deux filles ont donc mangé la même quantité de gâteau, même si les nombres de parts sont différents.
En fractions, Fanta a mangé 34 du gâteau et Mariama 68.
Comment deux fractions écrites différemment peuvent-elles représenter la même quantité, et comment le reconnaître ?
2Je comprends
1. Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?
Dans la fraction ab (avec b ≠ 0) :
- b est le dénominateur : il indique en combien de parts égales on partage l'unité ;
- a est le numérateur : il indique combien de parts on prend.
ab est aussi le quotient de a par b : 34 = 3 ÷ 4 = 0,75.
2. Définition des fractions égales
Deux fractions sont égales lorsqu'elles représentent la même quantité, c'est-à-dire lorsqu'elles ont le même quotient.
34 = 0,75 et 68 = 6 ÷ 8 = 0,75, donc 34 = 68.
3. La propriété fondamentale
Propriété. On ne change pas la valeur d'une fraction quand on multiplie (ou quand on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k (avec k ≠ 0).
C'est ce qui s'est passé avec le gâteau : Mariama a coupé chaque part de Fanta en 2. Il y a deux fois plus de parts (dénominateur × 2) et elle en prend deux fois plus (numérateur × 2).
Exemple
Écrire trois fractions égales à 2/3.
2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6
2/3 = (2 × 5)/(3 × 5) = 10/15
2/3 = (2 × 10)/(3 × 10) = 20/30
Il existe une infinité de fractions égales à 2/3.
Exemple
Compléter : 5/7 = …/35 et 18/24 = 3/….
Pour passer de 7 à 35, on multiplie par 5 (35 ÷ 7 = 5). On fait pareil en haut : 5 × 5 = 25. Donc 5/7 = 25/35.
Pour passer de 18 à 3, on divise par 6 (18 ÷ 6 = 3). On fait pareil en bas : 24 ÷ 6 = 4. Donc 18/24 = 3/4.
Méthode
Pour compléter une égalité de fractions :
- Je compare les deux termes connus qui se correspondent (les deux numérateurs ou les deux dénominateurs).
- Je trouve par quel nombre on multiplie (ou divise) pour passer de l'un à l'autre.
- J'applique la même opération à l'autre terme.
- Je vérifie avec les produits en croix.
Attention : on n'obtient pas une fraction égale en ajoutant le même nombre en haut et en bas : 12 ≠ 1 + 12 + 1 = 23 (en effet 0,5 ≠ 0,666…).
4. Reconnaître deux fractions égales
Méthode 1 : chercher le multiplicateur. 49 et 1227 : 4 × 3 = 12 et 9 × 3 = 27. Même multiplicateur, donc les fractions sont égales.
Méthode 2 : les produits en croix.
ab = cd si et seulement si a × d = b × c.
Exemple
Les fractions 6/15 et 10/25 sont-elles égales ?
Produits en croix : 6 × 25 = 150 et 15 × 10 = 150.
Les produits sont égaux, donc 6/15 = 10/25.
(Vérification : 6 ÷ 15 = 0,4 et 10 ÷ 25 = 0,4.)
Exemple
Les fractions 3/5 et 5/8 sont-elles égales ?
3 × 8 = 24 et 5 × 5 = 25. Les produits sont différents : 3/5 ≠ 5/8.
(3 ÷ 5 = 0,6 et 5 ÷ 8 = 0,625.)
Méthode 3 : l'écriture décimale, quand la division tombe juste : on calcule les deux quotients et on compare.
5. Réduire deux fractions au même dénominateur
Grâce aux fractions égales, on peut écrire deux fractions avec le même dénominateur. C'est très utile pour les comparer ou, plus tard, pour les additionner.
Exemple
Écrire 2/3 et 3/4 avec le même dénominateur, puis les comparer.
On cherche un multiple commun de 3 et de 4 : 12.
2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12 et 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12.
Comme 8 < 9, on a 8/12 < 9/12, donc 2/3 < 3/4.
6. Retour au gâteau de la Tabaski
34 et 68 : on passe de l'une à l'autre en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2. Produits en croix : 3 × 8 = 24 et 4 × 6 = 24. Les fractions sont égales : Fanta et Mariama ont mangé exactement la même quantité de gâteau.
3Je retiens
Je retiens
Dans a/b, b est le dénominateur (nombre de parts égales), a est le numérateur (parts prises) ; a/b = a ÷ b.
Deux fractions sont égales si elles représentent la même quantité (même quotient).
On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.
Produits en croix : a/b = c/d si et seulement si a × d = b × c.
On n'obtient pas une fraction égale en ajoutant ou en retirant le même nombre en haut et en bas.
Pour comparer deux fractions, on peut les écrire avec le même dénominateur.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier seulement le numérateur (ou seulement le dénominateur) : 2/3 n'est pas égal à 4/3.
- Ajouter le même nombre en haut et en bas : 1/2 n'est pas égal à 2/3.
- Croire que la fraction qui a les plus grands nombres est la plus grande : 6/8 n'est pas plus grand que 3/4, ils sont égaux.
- Se tromper dans les produits en croix en multipliant les deux numérateurs : on multiplie le numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris trois fractions égales à : a) 13 ; b) 52 ; c) 710.
Voir le corrigéCacher le corrigé
(Il y a d'autres réponses possibles.)
a) 13 = 26 = 39 = 1030.
b) 52 = 104 = 156 = 5020.
c) 710 = 1420 = 2130 = 70100.
2Exercice 2
Complète : a) 38 = …40 ; b) 45 = 28… ; c) 2135 = 3… ; d) …9 = 4072.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 40 ÷ 8 = 5, donc 3 × 5 = 15 : 38 = 1540.
b) 28 ÷ 4 = 7, donc 5 × 7 = 35 : 45 = 2835.
c) 21 ÷ 3 = 7, donc 35 ÷ 7 = 5 : 2135 = 35.
d) 72 ÷ 9 = 8, donc 40 ÷ 8 = 5 : 59 = 4072.
3Exercice 3
Utilise les produits en croix pour dire si les fractions sont égales : a) 46 et 1015 ; b) 79 et 911 ; c) 1216 et 1520.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 × 15 = 60 et 6 × 10 = 60 : égales.
b) 7 × 11 = 77 et 9 × 9 = 81 : pas égales.
c) 12 × 20 = 240 et 16 × 15 = 240 : égales (toutes deux valent 0,75).
4Exercice 4
Écris chaque paire de fractions avec le même dénominateur, puis range-les : a) 35 et 710 ; b) 56 et 34.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 35 = 610 ; comme 6 < 7, 35 < 710.
b) Dénominateur commun 12 : 56 = 1012 et 34 = 912 ; comme 9 < 10, 34 < 56.
5Exercice 5
(Problème) À la coopérative agricole de Guéckédou, Hawa a vendu 912 de sa récolte de café et Ibrahima 1520 de la sienne.
a) Montre que les deux fractions sont égales à 34.
b) Leurs récoltes étaient de 480 kg chacune. Quelle masse chacun a-t-il vendue ?
c) Lansana, lui, a vendu 45 de sa récolte. A-t-il vendu une plus grande part de sa récolte qu'Hawa ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 912 = 9 ÷ 312 ÷ 3 = 34 et 1520 = 15 ÷ 520 ÷ 5 = 34.
b) Les deux ont vendu les 34 de 480 kg : 480 ÷ 4 = 120, puis 120 × 3 = 360 kg chacun.
c) On compare 45 et 34 avec le dénominateur 20 : 45 = 1620 et 34 = 1520. Comme 16 > 15, Lansana a vendu une plus grande part de sa récolte qu'Hawa.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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